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中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似,全等是一种特殊的相似. 本章将在前面对全等形研究的基础上,借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法,研究的主要载体是三角形.此外,教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换,本章将介绍一种新的图形变换——位似.为了进一步培养学生的推理论证能力,本章对许多新结论进行了证明,证明的思路各具特色.全章包括三个小节和两个选学内容,教学时间大约需要14课时,具体安排如下(仅供参考):

27图形的相似                                         2课时

27相似三角形                                         7课时

27位似                                               3课时

数学活动

小结                                                     2课时

一、教科书内容和本章学习目标

1.本章知识结构

本章知识结构如下图所示:

2.教科书内容

在“全等三角形”一章中,学生学习了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法.本章以此为基础,按照研究对象的“一般→特殊→特殊位置关系”的顺序展开研究.首先,教科书从现实世界中形状相同的物体谈起,然后把研究对象确定为形状相同的图形——相似图形,举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系.接着教科书把研究对象缩小为特殊的相似图形——相似多边形,由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质.对于相似多边形的判定,教科书以三角形为载体进行研究,此外,还研究了相似三角形的其他性质和应用.最后,教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形——位似图形.本章的知识不仅将在后面学习“锐角三角函数”和“投影与视图”时得到应用,而且对于建筑设计、测量、绘图等实际工作也具有重要价值.

本章共有三节内容.第1节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念,并给出了相似多边形的性质;第2节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定和性质,以及相似三角形在测量中的应用;第3节“位似”研究了一种特殊的相似图形——位似图形的画法,以及如何在平面直角坐标系中用坐标表示位似变换.

在“271图形的相似”中,教科书首先列举了生活中具有形状相同形象的物体(汽车与它的模型、大小不同的足球、不同尺寸的照片、不同字号的印刷字),接着把形状相同的图形定义为相似图形,然后指出放大和缩小这两种操作与相似图形之间的关系.接下来,教科书给出了特殊的相似图形——相似多边形的定义,并由定义得到了判定两个边数相同的多边形是相似多边形的方法,以及相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质.

教科书接下来在“272 相似三角形”中进一步深入研究了相似三角形,分为相似三角形的判定、性质及应用三部分.在“2721 相似三角形的判定”中,教科书介绍了五种判定方法.其中,为了得到第一种判定方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”,教科书先在探究的基础上介绍了平行线分线段成比例定理,然后将这个定理应用到三角形上得到了一个推论,最后利用这个推论并通过在三角形中平移线段证明了两个三角形相似.接下来的三种判定方法(“三边”“两边及其夹角”“两角”)都是利用第一种判定方法,并构造全等三角形证明的.最后,教科书利用勾股定理证明了判定两个直角三角形相似的方法.

在“2722 相似三角形的性质”中,教科书首先证明了相似三角形对应高的比等于相似比,然后由相似三角形对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比,推广到更一般的结论——相似三角形对应线段的比等于相似比.接着,教科书推出了相似三角形的面积比与相似比之间的关系.相似三角形的判定和性质在实际生活中应用很多,教科书接下来在“2723 相似三角形应用举例”中安排了3个例题(测量金字塔高度、测量河宽、测量特殊条件下的距离),举例说明了相似三角形在测量方面的应用.

在本章的最后一节,位似图形作为一种特殊的相似图形被引入.教科书首先指出日常生活中存在与原图形相似且与原图形的对应顶点的连线交于一点的图形(幻灯机、照相机成像),接着给出了位似图形的概念.然后从定义出发,得到了画一个多边形的给定位似比的位似图形的方法.接下来,与用变换前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示平移、轴对称和旋转类似,教科书研究了用坐标之间的关系表示位似变换的方法.最后教科书简单对学生学过的四种变换进行了总结,让学生在一个设计图案中辨析这些变换.

在本章中,相似三角形的判定和性质是本章的重点内容,相似三角形判定定理的证明是本章的难点内容.此外,综合应用相似三角形的判定和性质,以及学生前面学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识解决问题(包括实际问题)也是本章的一个难点.为了降低学生在推理论证方面的难度,本章加强了证明思路的引导,或者用分析法分析出由条件到结论必需的转化,或者提示了证明的关键环节;为了降低学生在解决实际问题中的难度,本章专门设置了一个小节“2723 相似三角形应用举例”,从不同角度为解决实际问题做出示范.

3.本章学习目标

1)通过具体实例认识图形的相似,了解相似多边形和相似比的含义.

2)掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

3)了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.

4*了解相似三角形判定定理的证明.

5)了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方

6)了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.

7)会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.

二、编写时考虑的几个问题

1.注意渗透研究几何图形的基本套路,体现公理化思想

本套教科书对于几何内容的编写自始至终注意渗透研究几何图形的基本问题和方法,体现了公理化的思想.如在七年级下册“相交线与平行线”一章中,教科书介绍了图形的判定和图形的性质的含义及相互关系,让学生认识到它们是研究几何图形的两个重要方面;对于三角形、全等三角形、平行四边形等几何图形,教科书都重点研究了它们的定义、性质和判定方法.本章对相似图形的研究仍然以公理化思想为指导,注意渗透研究几何图形的基本套路,具体表现为以下几个方面:首先,本章按照“相似形的现实模型→相似图形→相似多边形→相似三角形→位似图形”的从一般到特殊的顺序来呈现研究对象,展开研究.其中,三角形作为最简单而典型的封闭图形被作为载体来研究相似图形的基本内容——定义、性质和判定方法.其次,上一版教科书是按照“判定→应用→周长与面积”的顺序呈现相似三角形的内容的,本次修订后,教科书先介绍相似三角形的判定方法,接着给出相似三角形的性质,最后在“相似三角形应用举例”中应用判定方法和性质.这样的编排使研究几何图形的“判定→性质→应用”的主线更清晰,突出了研究的主要问题.再次,为了研究相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质,教科书改变了上一版教科书依次对相似正三角形、正六边形和一般的相似三角形、四边形进行观察、度量,猜想对应角、对应边的关系,然后从特殊到一般归纳结论的方式,直接给出了相似多边形的定义,并由定义直接得到了相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质.这样做使图形性质的获得更直接,也符合九年级学生的认知水平.最后,在第2722小节研究相似三角形的性质之前,教科书先提出问题“三角形中有各种各样的几何量,例如三条边的长度,三个内角的度数,高、中线、角平分线的长度,以及周长、面积等.如果两个三角形相似,那么它们的这些几何量之间有什么关系呢?”,这样的问题实际上是让学生在“什么是性质”的思想的指导下自己发现相似三角形的性质要研究的内容,改变了以往教学中“给一条性质,证明一条性质”的做法.

2.重视培养学生的推理论证能力

按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标,“相似”处于最后一章,所包含的问题的综合性最强、证明的难度最高.教科书一方面继续运用直观操作和逻辑推理相结合的方式研究几何图形,让学生经历实验→猜想→证明的过程,即先让学生在实验操作中感受几何命题的合理性,再在分析、思考的基础上提出猜想,最后通过证明确认几何命题的合理性.这样的过程有利于提高学生独立发现问题、解决问题的能力.另一方面,教科书加强了证明思路的引导,让学生在理解、感悟、实践证明思路的基础上提高推理论证能力.例如,在用平行线分线段成比例定理的推论证明定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”时,教科书引导学生思考解决问题的关键是证明“”,而“除DE外,AEACBC都在ABC的边上”,由此就得到了通过作平行线将DE也平移到ABC的边上的证明思路.又如,在证明“三边成比例的两个三角形相似”的过程中,教科书提炼出了作一个“中介三角形”使之与要证的三角形相似,再利用已证定理和已知条件证明“中介三角形”与原三角形全等的思路,利用这个思路,让学生自己证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”.

3.加强知识间的联系

相似图形与全等图形之间是一种一般与特殊的关系,教科书在编排相似内容时将其看成全等内容的拓展与延伸,并利用类比来展现二者的关系.例如,章引言类比“全等三角形”一章研究的主要内容,提出本章要研究的主要问题——“在‘全等三角形’”一章中,我们研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法.类似地,两个形状相同、大小不同的三角形,它们的边和角有什么关系?……”.又如,类比存在判定两个三角形全等的简便方法,教科书提出问题“判定两个三角形相似时,是不是也存在简便的判定方法呢”,接着类比判定三角形全等的SSSSASHL方法,让学生分别从三边、两边和夹角、斜边和一条直角边的角度来寻求答案.在章小结中,教科书对这种研究思路进行了总结“全等形是相似比为1的相似图形,因此全等是特殊的相似.利用从特殊推广到一般的方法,由研究全等三角形的思路,可以提出相似三角形的问题和研究方法.”

此外,教科书以平分线分线段成比例定理为起点来证明相似三角形的判定定理,就是利用了这一定理与相似三角形定义中边对应成比例之间的联系.将平分线分线段成比例定理应用到三角形中,就得到了推论“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例”,从而就可以进一步证明“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”了,而这个定理可以作为证明其他判定定理的引理.

4.注意联系实际

相似是生活中常见的现象,日常生活中到处存在着相似的例子,相似图形的性质在实际中有着广泛的应用,能直接应用相似三角形判定和性质的实例也很多.为了让学生认识到这一点,并增强学生发现问题、解决问题的能力,教科书在编写过程中结合具体内容融入了大量实际背景和问题.如在概念的引入环节,为了让学生建立起对相似图形的直观认识,教科书不仅在章头图呈现了两张不同尺寸同底版的万里长城照片,还在第271节给出了汽车和它的模型、大小不同的足球等形象,并通过放映电影、复印机复印等实例让学生感受相似图形与放大、缩小两种操作的关系;在概念的应用环节,教科书在“2723 相似三角形应用举例”中专门安排了相似三角形应用的内容,给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法解决生活中不能直接测量的物体长度的问题,在练习、习题中也编排了应用相似三角形知识的实例.

三、对教学的几个建议

1.在几何教学中坚持渗透研究几何图形的基本套路

学生通过前面对平行线、三角形、全等三角形、平行四边形等几何图形的学习,对于研究几何图形的基本问题、思路和方法已经形成了一定的认识.本章教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验,用研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学.例如,在教授本章之前,可以让学生类比对全等三角形研究的主要内容,提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法,构建本章内容的基本线索,使他们对将学习的内容做到心中有数.又如,过去对图形性质的教学一般是教师先给出性质,然后引导学生证明,而通过前面对几何图形的学习,学生已经了解了性质要研究的是几何图形的基本量之间的关系,因此本章在教学相似三角形的性质之前,可以先让学生自己发现性质,再给出证明.

2.进一步培养学生的推理论证能力

本章的证明所涉及的问题不仅包含相似的知识,也有很多是和三角形、全等、平行、勾股定理、平面直角坐标系等知识融合在一起的,例如相似三角形判定定理的证明中利用了全等三角形作为“桥梁”,性质的证明借助了代数运算,因此推理论证的难度提高了.教学时应注意帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合;也要注意以具体问题为载体,加强证明思路的引导,帮助学生确定证明的关键环节,指导学生写出完整的证明过程.同时注意根据教学内容及时安排相应的训练,让学生能够逐步达到独立分析、完成证明.

3.注意把握好教学要求 

与《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》相比,《义务教育数学课程标准(2011)》突出了以三角形为载体的对相似图形的判定和性质的研究,学习要求也由“探索”变成了“证明”.因此教学中应该注意把握好不同内容的教学要求,突出本章的重点内容.例如,本章中比例和成比例线段的相关内容是为相似多边形的定义服务的,教学中只需在小学数学的基础上给出线段成比例的概念,让学生理解它的基本含义即可.又如,尽管平行线分线段成比例定理是研究相似三角形判定的基本理论,但教学中不应过多涉及这个定理的应用,而是主要由它来推出判定相似三角形的第一种判定方法.而对于本章的重点内容,则不应该满足于“探索”,应该让学生证明相似三角形的性质定理,让学有余力的学生证明相似三角形的判定定理.

    
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