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本章包括反比例函数的概念、图象及其性质.本章首先从现实世界中具有反比例关系的实例出发,从函数角度描述反比例关系,再次经历用函数研究变化规律的过程,认识反比例函数k为常数,k0)中两个变量xy之间的依赖关系:在变量y随变量x的变化而变化的过程中,它们的积xy始终保持不变(xy=k);然后用“描点法”画出反比例函数的图象,观察图象并结合解析式,得出反比例函数的性质;最后运用反比例函数解决简单的实际问题.

本章教学时间约需8课时,具体安排如下(仅供参考):

26.1  反比例函数                                          3课时

26.2  实际问题与反比例函数                                4课时

数学活动

小结                                                      1课时

一、教科书内容和课程学习目标

1. 本章知识结构

本章知识结构如下图所示:

2. 教科书内容

反比例函数是《义务教育数学课程标准(2011年版)》“数与代数”领域的内容.其学习基础是函数的概念、函数的表示方法以及反比例关系;我们类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法,展开反比函数的概念、图象、性质及其应用.

章引言通过生活中常见的路程、速度与时间的关系式s=vt,指出在路程s一定的前提下,平均速度v与运行时间t的成反比例关系.当从函数角度进行研究时,平均速度v随着运动时间t的变化而变化的规律可以用解析式表示,引出本章学习内容——反比例函数.

本章分两节.“26. 1 反比例函数”的内容是反比例函数的概念、图象和性质.本节首先给出“思考”栏目中现实世界和数学中具有反比例关系的三个问题:(1)距离一定时,平均速度v随着运动时间t的关系;(2)矩形面积s一定时,矩形长y与宽x的关系;(3)人均占有土地面积与总人口之间的关系,指出这三个问题中均有三个量,其中一个量不变,另外两个量中一个量随着另一量的变化而变化,而且对于一个量的每一个确定的值,另一个量都有唯一确定的值与它对应,因此上述问题中两个量之间具有函数关系,而且这个函数关系可以用形如的形式表示,从而给出反比例函数的概念:形如k为常数,k0)的函数,并指出反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.为了巩固反比例函数的概念,教科书例1是由反比例函数的自变量和因变量的值,确定常数k的值,从而得到反比例函数的解析式;根据反比例函数的解析式,我们就可以得到与任意自变量对应的函数值.显然,反比例函数的解析式由常数k唯一确定.根据以往研究函数的经验,对于具体的函数,如一次函数、二次函数等,我们都是在其概念的基础上,由其解析式,通过描点画图,得出其图象,然后通过图象,并结合解析式研究其性质,反比例函数的研究也不例外.对于反比例函数,我们先研究k>0的情形,然后类比k>0的情形,研究k<0的情形.从形状、位置,因变量y如何随自变量x的变化而变化等方面归纳它们的性质.

 26. 2 实际问题与反比例函数”的内容是用反比例函数解决简单的实际问题,以及用反比例函数解释现实世界中的一些现象.本节选取了四个不同背景的实际问题:(1)当圆柱体的体积一定时,圆柱的底面积是高的反比例函数;(2)当工程总量一定时,做工时间是做工速度的反比例函数;(3)在杠杆中,如果阻力和阻力臂不变,则动力是动力臂的反比例函数;(4)电压一定时,输出功率是电阻的反比例函数.通过这些问题的解决,进一步加深对反比例函数的认识.

3. 本章学习目标

1)认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.

2)结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的解析式.

3)能画出反比例函数k为常数,k≠0的图象,根据图象和解析式探索并理解k0k0时图象的变化情况.

4)能用反比例函数解决简单的实际问题.

二、编写时考虑的几个问题

1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型

反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数,函数是描述变化规律的数学模型.现实世界和数学中具有反比例关系的问题,我们可以用反比例函数描述.章引言中从路程一定的前提下,平均速度与时间的关系,引出反比例函数的内容.“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题,让学生发现每个问题中的两个变量,询问这两个变量具有什么关系,得出变量之间的表达式,指出它们的表达式具有相同形式,具有这类相同表达式的函数,我们称为反比例函数.

26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例,我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数,它刻画了问题中的反比例关系,然后运用反比例函数的性质解决它们.

在反比例函数概念的学习中,我们再次经历了概念学习的几个过程:(1)概念的引入——通过三个具体实例,反比例关系和函数的概念,引出反比例函数;(2)概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合,归纳三个实例的共同特征的形式;(3)概念的明确与表示——指出形如k为常数,k0)的函数叫做反比例函数,并给出文字语言和数学符号语言的准确表示;(4)概念的辨析——在练习中,以实例为载体分析概念,并恰当使用反例,如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3;(5)概念的巩固应用——用概念解决简单问题,形成用概念作判断的具体步骤,如“26.1.1 反比例函数”的例1;(6)概念的“精致”——通过概念的综合应用,如“26.1.2反比例函数的图象和性质”,“26.2实际问题与反比例函数”,进一步认识反比例函数的概念,加深对反比例函数概念的理解.

2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法,研究反比例函数

函数是初中数学重要的概念,对函数的研究方法一脉相承.它们都是变化规律的数学模型,虽然描述的是不同的变化规律,但都概括得出函数解析式;根据解析式,由自变量的值求出相应的函数值,通过列表表示这些自变量的值和函数值;然后把这些值对应的点在坐标系中表示出来;最后用平滑的曲线把这些点连接起来,得到函数的图象.由它的图象,同时结合其解析式,我们得到其性质:图象的形状、大小、位置和变化规律等等.这是学习每类具体函数时采用的相同研究方法,反比例函数也不例外.

在每类函数的学习中,我们都是按照从特殊到一般,从具体到抽象的方式展开.对反比例函数的学习,我们重点研究k>0时的情形,归纳得到它的性质:图象是双曲线;图象分别位于第一、第三象限;在每一个象限内,y随的x增大而减小.然后类比k>0的情形,研究k<0的情形,得出它们的性质.

    3. 加强与物理等学科之间的横向联系

数学既是科学技术的语言,又是科学技术的工具.反比例函数不仅在现实世界中具有众多原型,而且在现实世界中具有广泛的应用.本章众多问题来源于物理学科,运用反比例函数知识加以解决,了解这些问题的物理背景是解决它们的前提.本章从原八年级下册移至九年级下册,主要考虑是学生必须熟悉物理背景,而相关的物理背景学生在九年级物理课中才接触.实际上,加强不同学科之间的联系,从其他学科引入数学问题,然后运用数学加以解决始终是数学学习的重要方面.

本章涉及的主要物理背景包括路程、速度与时间,电流、电阻与电压,电功率、电流和电阻,压力、面积与压强等之间的关系,这些具有反比例关系的物理问题是反比例函数研究的重要内容.实际上,凡是能够抽象为a=bc型数量关系的物理问题,我们都可以从正比例函数和反比例函数的角度去认识它们.

4. 数形结合:数缺形时少直观,形少数时难入微

函数图象是研究函数性质的直观载体,从图象上可以观察函数的变化规律,整体上把握函数的性质,但是难以深入局部和细节.而解析式可以对函数的性质进行无限“解读”,但很抽象,不直观.我们常常把函数图象和解析式结合起来,研究函数的性质,这体现了数形结合.正像著名数学家华罗庚先生所说:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,一朝分家万事休”.数形结合的优势正体现在此.

反比例函数的图象是双曲线,双曲线非常直观地反映了反比例函数的变化规律,而反比例函数的解析式可以对上述变化规律反映的数量关系进行代数解析.

三、对教学的几个建议

1. 从变量角度进一步加深对函数的认识

初中阶段从变量的角度研究函数,把函数定义为当一个量变化时,另一个量随这个量的变化而变化.函数定义突出了变化与对应思想,其内涵是:两个变量联系紧密,一个变量变化时另一个变量也发生变化;函数值与自变量之间单值对应,自变量的值确定后,函数值唯一确定.我们运用变量描述变化规律,认识函数是重要的数学模型.函数的内涵非常丰富,与数、式、方程等联系非常紧密,我们从函数角度重新认识它们时,可以把它们看作“特殊”的函数,提升对它们的认识.

2. 关于反比例函数的增减性、渐近性和对称性等性质的教学要求

需要注意的是反比例函数自变量的范围,与正比例函数、一次函数和二次函数相比,其特殊之处在于自变量不能取0,在0这点没有定义.不像直线和抛物线那样在整个自变量的取值范围内,其图象是连续的.反比例函数的图象在0这个点“断开”了,其图象在两个象限.我们在描述其变化规律时,需要对每个象限的图象进行描述,不能在整个自变量范围描述其增减性.另外,在每个象限研究变化规律时,我们只研究增减性.增减性是基本要求,必须掌握.

为了拓展学生的知识面,我们设置了“信息技术应用 探索反比例函数的性质”的选学内容,借助信息技术软件快速计算、列表和画图方面的优势,研究了反比例函数的图象——双曲线的渐近性和对称性.渐近性:双曲线在其所在象限与坐标轴越来越近,但永远不与它们相交;对称性:关于直线y=±x对称,关于原点中心对称;k取不同值时,双曲线相对于原点的位置不同等等.虽然双曲线具有这些丰富的性质,但不做基本要求,教学时要严格控制.

    
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