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3.函数内容的改革

 

教学内容的改革,重点在高中。“中国现行高中数学教材,存在内容陈旧、知识面窄、结构单一的弊端;在知识呈现方面,不少内容按严格的逻辑演绎体系,形成从概念到定理到推理论证的一套模式。这不利于培养学生创新精神和分析问题解决问题的能力。”[526]高中数学教学内容改革中,函数内容的改革是一个典型事例。

 

中国数学课程中,函数内容一直都安排在中学,小学期间有渗透,但不明显。这是因为对“变化现象的数学刻画”,一个量随另一个量的变化而变化的规律的数学描述是困难的,所以小学不能涉及太多。

 

1960年,在《十年制学校数学教材的编辑方针》中明确提出:“加强函数学习。在学习代数式和方程时,就逐渐加强函数观念的培养,并在此基础上集中学习初等函数,将原平面三角中三角函数、反三角函数、三角方程等的内容并入代数中。”“为了便于教学,前一部分以代数式、方程为主,后一部分以函数为主,把有关知识紧密地结合起来。例如,把有理函数、无理函数、幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数结合在一起,把不等式分别与方程、函数结合。”[1430]

 

1963年编写的教材中,函数知识得到重视。教学大纲要求,为了使学生切实地、系统地掌握函数知识,应该在整个中小学数学教学过程中,有意识地、有步骤地进行教学。在小学算术中要渗透一些函数的因素;在初中要再加强这些因素,并讲授函数的一些初步知识;然后在高中较系统地安排幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数,并要在此基础上把初等函数的知识作适当概括。[1437]

 

1978年的教材中,在“精简、增加、渗透”的方针指导下,把“用集合、对应的观点阐述函数概念”作为重要的改革措施之一。在内容安排上,初三用运动变化观点阐述函数概念,学习简单的函数;高一上学期,用集合、对应的观点重新定义函数概念,并系统学习基本初等函数;高中最后一个学期学习微积分。初中讲的“函数概念只是描述性的,关于函数概念中的对应关系、定义域、值域及函数记号f(x)等……要到高一讲过集合与对应的基本知识后再予以补充提高。”[152]具体内容的安排是:

 

初中,包括函数(概念),函数关系的表示法,正比例函数,反比例函数,一次函数,二次函数,以及用上述函数知识解决方程、不等式的问题。

 

高中,首先,在引入集合、对应的概念的基础上,讲单值对应与函数概念;然后,安排幂函数及其图像,并以简单的幂函数为例,分析函数的单调性和奇偶性,再介绍一一对应与反函数概念,为指数函数、对数函数作准备;再安排指数函数、对数函数的概念、图像和性质;最后安排三角函数、两角和与差的三角函数、反三角函数。

 

高中的最后安排微积分。课时量约60课时,占高中总课时数的37%左右,且基本上作为必学内容。闭区间上的连续函数的性质、导数的运算、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数、高阶导数、换元积分、分步积分、旋转体的体积等都在其中。微积分内容的安排强调概念的系统性,即先学习极限定义,再以极限概念定义导数,从导数到原函数到不定积分再到定积分,其中,极限存在的充要条件、连续函数的概念和性质等都要学习。这样的安排有大学教材下放高中之嫌。当然,在讲述上,重在概念的实际意义和解决问题的思想方法,并会熟练地进行相关的运算,而对理论的严谨性要求不高。例如导数的概念,从直线运动的平均速度无限逼近瞬时速度引入,并通过引入曲线的切线的概念阐明导数的几何意义。”[4412]

 

值得指出的是,高中增加微积分初步内容,“这项较大的改革举动,从一开始就存在争议”。赞成增加的理由是[4415~416]

 

第一,用微积分方法研究初等函数有着简化内容、降低难度、减少学时、减轻负担的效果,而且用微积分才能把不少初等数学问题讲清楚;

 

第二,学习微积分可以加强学生的运动变化观点,既能为升大学的学生创造循环加深理解微积分内容的机会,为学习普通物理做好准备;也能为毕业后直接参加工作的学生阅读科技书提供帮助;

 

第三,学习的内容重在揭示概念的实际意义、简单运算和在各方面的应用,理论要求不高,学习困难不大,而且国内外已有高中生学微积分的先例。

 

不赞成者的理由针锋相对,认为微积分是大学的任务,高中课时紧,学微积分会影响学生初等数学的基础,而且搞不好可能成“夹生饭”,反而造成大学学习困难和麻烦。微积分的基本观念的深刻性、概念的抽象程度和所研究的问题的复杂性都超过初等数学,教师能否胜任、学生能否接受都值得怀疑。

 

在一片争议声中,一些学校进行了微积分初步的教学实验,而且取得一定的效果。但课时紧张和要求所有学生都学的做法成为这项改革的障碍,导致这一改革很快被调整,直到1997年开始新一轮高中教改,微积分初步才被重新纳入“选修”内容。实际上,造成改革受挫的原因,主要还是大多数人秉持了“要讲究要体系完整;接受不了,那就别讲”[10328]的思想,不论是教材编者还是一线教师都有这种思想。

 

“以函数为主线来贯穿整个高中内容,成为这套教材区别以往教材的一大特色”[4407]。教材不仅较系统地安排了基本初等函数的主要内容,而且“将三角式的变换,三角方程等具有代数特点的内容也一并带入;代数内容里,指数式和对数式的变形、指数方程和对数方程也随着指数函数和对数函数并入到函数中,等差数列和等比数列也随着数列的极限并入到微积分中。事实证明,将这些三角、代数内容并入到函数这条教材主线里,有利于用函数的观点来处理问题,有利于揭示知识间的内在联系。”[4419~420]

 

198310月出版《高级中学课本(试用)数学》(分甲种本和乙种本)开始,高中采用映射的概念来刻画函数概念。在相应的“教学参考书”中有这样的论述:[162~3]

 

函数是中学数学中最重要的基本概念之一。在中学数学教材中,函数的教学大致可分为两个阶段。第一阶段是在初三,初步探讨函数概念及函数关系的表示法,并讨论正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等最简单的函数。通过函数值的计算、列对应值表以及描画函数图像,使学生积累比较丰富的函数的感性知识,并初步学会用运动变化观点来考察变量之间的相互依赖关系和自变量、因变量之间的对应关系。高一开始是函数教学的第二阶段,是对函数概念的再认识阶段,即运用集合、对应的思想概括出函数的一般定义,加深对函数概念的理解,并研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数,使学生获得比较系统的函数知识……内容安排如下:首先,用集合、对应观点,从实例引入映射的概念,再用映射概念刻画函数概念;然后,安排幂函数及其图像,并以简单的幂函数为例,分析函数的单调性和奇偶性,再阐述一一映射与逆映射的概念,用逆映射给出反函数的定义;再安排指数函数、对数函数的概念、图像和性质;最后安排三角函数、两角和与差的三角函数、反三角函数。这一做法一直延续到本世纪初开始的新一轮课程改革。

 

从上所述可以发现,函数内容的安排虽然经历几次变革,但“从定义出发”,严格地阐述函数概念的框架基本没有改变。“函数是描述运动变化规律的数学模型”的观点没有得到应有强调。这样的安排,让学生比较系统地学习了函数概念,通过对基本初等函数理论的学习,让学生了解了研究函数问题的基本要点。但由于是以概念的系统学习为主,因此在实际教学中,仅从“代数关系”角度研究函数的现象比较严重,“代数变形”成了重点,形式化地“求定义域”“求值域”,通过复杂的不等式变形等证明函数的单调性,或反过来用函数的性质去证明不等式等,一定程度上把函数教学搞偏了。

 

函数、微积分初步的内容选择和安排,比较典型地反映了中国数学教材编写的“或者不要讲,要讲就应该完整地讲”的思想。这样的思想与“需要就讲,不追求严格,能用就行,到有一定积累的时候再概括为严格的知识体系”的做法很不相同。前一种做法的合理之处是能让学生尽快地掌握前人的已有成果,使前人的智慧变成学生的基础,从而使他们尽早地“站在巨人的肩膀上”,但风险是学生不一定学得了,因为没有深入地进行概念的概括过程,概念所蕴含的数学思想不一定能体会到,因此“前人的智慧”不一定能变为学生的基础。后一种做法的合理之处是充分考虑了学生的学习需要与可能,但风险是学习的进度比较慢,如果什么都让学生从头开始,那么学到老也不可能把前人已有的知识学完。因此,进一步的改革,还是要在两者之间取平衡。

 

行文至此,想起吴文俊先生为《〈九章算术〉及刘徽注研究》一书作序时说的一段话:“中国的古代数学基本上遵循了一条从生产实践中提炼出数学问题,经过分析综合,形成概念与方法,并上升到理论阶段,精炼成极少数一般性原理,进一步应用于多种多样的问题。从问题而不是从公理出发,以解决问题而不是以推理论证为主旨,这与西方之以欧几里得几何为代表的所谓演绎体系旨趣迥异,途径亦殊。中国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系,这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。……肇始于中国的这种机械化体系,在经过明代以来近几百年的相对消沉后,由于计算机的出现,已越来越为数学家所认识与重视,势将重新登上历史舞台。”(见注)以吴先生的思想为指导,在构建教材体系时,在整体上以“一般性原理”作为贯穿始终的思想,并以“从生产实践中提炼出数学问题,经过分析综合,形成概念与方法,并上升到理论阶段,精炼成极少数一般性原理,进一步应用于多种多样的问题”为基本线索,这样就既反映数学的逻辑严谨精神,同时又反映了数学“一般原理”的概括和应用过程,从而也就符合了学生的数学认知规律。

 

4.现代数学内容的增加

 

长期以来,中国的数学教学内容以传统数学为主。1958年“教育大革命”时期,曾经有增加现代数学内容的讨论和实施方案,但真正增加是在1978年以后才。

 

1978年的教材中,增加的现代数学内容包括:统计、概率的初步知识,集合与映射的初步知识,线性方程组,逻辑代数介绍,微积分的初步知识。在内容的处理上,注意用现代数学思想解释传统数学内容。例如,用集合观点解释数学对象,用对应的观点认识函数。

 

1)统计、概率

 

统计与概率内容进入中小学数学课程,在1960年前后进行过热烈讨论,有的意见很尖锐。如“因为中学数学在选材上不是从现代生产需要出发,所以从根本上是脱离生产实际的,内容十分匮乏。比如……在现代生产中有大量应用的概率论等,至今还没有进入中学课程。”[171]因此要求增加概率和统计的内容。1963年曾经有10课时的概率初步知识,列入代数之中,但因为文化大革命而未实施。1978年的教材,初中有12课时的统计初步;高中仍为10课时的概率初步,内容与1963年教学大纲中概率的知识条目基本相当,重点放在古典概型。具体内容有:随机事件的概率及其意义,等可能事件的概率及其计算,互斥事件的概率加法,相互独立事件的概率乘法,独立重复试验等。教材“力图说明随机事件及其概率概念的实际意义,着重通过计算概率的实例来加深学生对概念的理解,而不过于追求概念在数学上的精确性和严谨性。”[4411]

 

与增加微积分所受到的质疑一样,在中学介绍概率知识同样受到一些人的反对,理由是“中学无法讲清楚。例如,对于非等可能型的一般随机事件的概率的定义(即概率的统计定义),就难以严格给出;两个以上的事件怎样才算相互独立,也很难解释。”[4414]这种意见还是出于理论的严谨性,还是“要讲就要讲清楚”。

 

不过,如此有限的内容也因为当时教学条件的不足而在1983年被改为“选学”。同时调整为“选学”的内容还有微积分初步、行列式和线性方程组、一元多项式和高次方程、多面角和正多面体、坐标变换等,达到110课时。由于“选学”内容不作为高考内容,因此“选学”实际上变成了“不学”。由此造成了“高中所学的数学内容是历史上最少的,与其他国家高中数学相差太多。”[4444]

 

1997年,上述概率初步内容重新纳入“必修”,并在理科的“选修”课程中增加“概率与统计”(18课时,文科只学“统计”)。其中,概率主要讲随机变量的初步知识,包括离散型随机变量的分布列、随机变量的期望和方差、连续型随机变量的概率密度;统计知识包括抽样方法、用样本方差估计总体方差、用频率分布估计总体方差、累积频率分布。从教材内容安排看,这部分体现了“用概率知识解决统计问题”的基本思想。

 

从统计、概率内容进入中小学数学课程的过程可以看到,作为数学课程改革的核心,教学内容的改革不是一件简单的事情,不仅涉及社会需要、数学的需要、学生是否学得了、课时是否允许等,教师是否能教也是一个大问题。概率、统计内容改革的艰难曲折,原因之一是教师的知识储备不够,许多老师在大学没有学多少概率、统计知识,对这一内容不熟悉,因此教学中不能很好把握。不过,经过40年的反复,到上世纪末,概率、统计内容终于在中小学数学课程中扎下根来,为本世纪初的课程改革中继续加强随机性数学的内容奠定了坚实的基础。

 

2)向量

 

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,但在中国以往的教材中,只在“复数”中用向量说明复数运算的几何意义,不专门安排向量内容。向量的有关基础知识在1987年开始在中学进行试验,共12课时,并且开始时只学平面向量,内容包括向量的概念、向量的加法与数乘向量、向量的坐标表示和向量的内积。要求通过这些知识的学习,学会用向量去处理一些简单的问题,特别是在物理、三角中的应用。

 

引入向量内容在实验中得到认可,到1997年,向量内容(包括平面向量和空间向量)被纳入大纲,成为正式的学习内容。教材编者认为,向量是连接代数与几何的结合点,不仅在三角、几何、代数上有广泛的应用,而且在学生学习力学时也要用到。如果从几何角度引入向量,比较直观,而且向量的运算性质对学生并不陌生,学习困难不会太大。要使向量内容在中学站稳,讲多少内容很关键,这就既要考虑课时是否允许,还要考虑用这么多时间是否值得。向量的教学内容就是综合考虑这些因素而确定的。另外,教材比较重视向量及其运算的几何意义,重视用向量解决几何问题,如用向量处理长度、角度、几何元素的位置关系(平行、垂直等)。

 

3)教学内容改革在曲折中前进

 

总的来说,“精简、增加、渗透”的方针成为中国中小学数学教学内容变革的指导思想。在五十年的教学内容变革进程中,教学内容的现代化成为每一代教材编写者的共同追求,而且是朝着精简、有用、现代化的方向在发展。其间有过几次大的反复。例如,1960年前后,有人提出“函数为纲”的内容改革思想,主张“从低年级开始就逐步引入与加深函数的概念,培养学生变化、发展、联系的观点,到高年级便进一步用现代方法(微积分)来研究函数。”并增加与现代生产有密切联系的数学分支——微积分、微分方程、概率论等;删减平面几何的一些复杂的、没有实际用处的推理证明,用算术、代数来研究平面几何的一些内容。[172]但因为动作太大,而且国家实行调整政策,这些主张没有得到实施。1978年,“文革”结束后的拨乱反正、改革开放,明确提出教学内容改革的“精简、增加、渗透”方针,增加的内容包括微积分、统计与概率、逻辑代数等,动作也比较大。实施几年后,终因师资和其它条件不适应,再加上应试教育愈演愈烈而又一次遭受被调整的挫折。但教材编写者在困难的情况下并不气馁,他们采取出版“实验本”的方式,通过各种途径进行教学内容改革实验,终于到上世纪末,使微积分、向量、概率、统计等内容在中学站稳脚跟。

 

当然,人类社会已进入信息化时代,计算机技术在科技、生产和日常生活中得到广泛应用,数学教学内容现代化又有了新的内涵。把那些反映数学课程与信息技术整合的内容增加到中小学数学课程中来,并要利用各种信息技术改进内容的处理方式,是一个需要加强研究的新问题。

 

注:李继闵,《九章算术》及刘徽注研究,西安:陕西人民教育出版社,1990,第Ⅰ-Ⅴ页。

    
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