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二、教学内容和教材结构体系的变革

 

五十年来,中国的中小学数学教学内容和教材结构体系一直处于变革之中。变革的理由多种多样,但其中有两条“永恒”的理由,一是教学内容要符合时代发展的需要,二是减轻学生负担,提高教学质量。

 

(一)教学内容的变革

 

在教学内容的选择上,中国长期坚持了“基础性”思想,即要为学生打好参加工作或升学的数学基础,而且这里的“基础”主要是从数学学科角度出发的。这样的思想体现了对数学学科性质的一种认识——数学是基础学科、工具学科,不仅体现在为其他学科的学习、为日常生活和社会实践服务,还表现在为提高学生的思维能力(特别是逻辑思维能力,以及抽象概括能力)服务。

 

1.教学内容的选择标准

 

在长期的教材改革实践中,逐步形成了如下内容选择的标准[1673]

 

第一,是否为代数、几何、统计与概率中的最基本的知识;

 

第二,是否为生活、生产和科技活动中广泛应用的知识;

 

第三,是否为继续学习所必备的知识;

 

第四,是否为学生能够学得了的知识。

 

上述标准实际上体现了“社会对数学的需求”和“人的发展对数学的需求”两个方面,因此这样的标准具有“普适性”。但在具体内容的确定上,还是有“从数学角度出发”或“从学生角度出发”的差异。即使同是“从数学角度出发”,也有“从知识的逻辑体系出发”还是“从知识的发生发展过程出发”的差异。20世纪下半叶,中国数学课程教材的内容选择的突出特点是:以传统内容为主,从数学的逻辑要求出发,讲究知识的系统性、严谨性。

 

下面看几项内容改革的例子。

 

2.平面几何内容的改革

 

1)对平面几何教育价值的认识

 

长期以来,中国的中学“几何课程”基本上采用了“欧氏几何”的综合体系。之所以这样,是因为中国数学家和数学教师认为平面几何的教育价值在于它是培养学生的逻辑推理能力和空间想象力的最好载体。例如,在1952年底颁布的《中学数学教学大纲(草案)》中指出:“几何教学的目的,在于系统地研究平面和空间物体图形的性质,并利用这些性质去解决计算题和作图题;在于发展学生的逻辑的思维和对于空间的想象力……。”[1361]1963颁布的《全日制中学数学教学大纲(草案)》中指出:“中学的几何科与作为一门科学的欧氏几何有所不同,不应该也不可能按照严格的公理体系来讲授。但是,为了使学生更好地掌握系统的几何知识,并且便于培养他们推理论证的能力,也应该在学生能够接受的条件下,力求逻辑的严谨性。因此,中学的几何科应该以一些公理作为出发点,推导其他的定理。”[1437]这样的认识一直左右着中国的几何课程和教材。到1992年颁布《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》,情况开始发生变化。这一大纲中提出:“初中几何是在小学数学中几何初步知识的基础上,使学生进一步学习基本的平面几图形知识,向他们直观地介绍一些空间几何图形知识。初中几何将逻辑性与直观性相结合通过各种图形的概念、性质、作(画)图及运算等方面的教学,发展学生的逻辑思维能力空间观念和运算能力,并使他们初步获得研究几何图形的基本方法。”[1617]

 

2)平面几何教学内容的变迁

 

下表提供了在几次重大教材变革中几何教学内容的变化情况:

年代

年级

内容与课时

说明

1952

 

课堂教学260小时

初二

绪论(15);三角形(35);平行线(18);复习(4

系统性和严谨性要求很高。例如,相似形中安排有二线段的公度:求二线段最大公度的定理,二线段最大公度的求法,可公度与不可公度的二线段,正方形对角线与其边无公度,能用长度单位量尽与不能用长度单位量的线段,二线段的比。

初三

四边形(21);圆(32);圆内接与外切三角形及四边形(14);复习(5

高一

相似形(31);锐角三角函数(6);三角形与圆的各种线段的相互关系(26);复习(9

高二

多边形的面积(12);正多边形(9);圆的周长与面积(12);复习(11

1963

 

课堂教学237课时

 

绪论(25);平行线(10);三角形(36);四边形(16);多边形的面积(12);圆(38);相似形(46);直角三角形的解法、勾股定理的推广(23);正多边形、圆的周长和面积(16)复习(15

基本上保留了欧氏几何的结构体系,先定义线,给出一些公理,然后再展开其他内容的讲解,强调逻辑严谨性。

1978

 

课堂教学183课时

初二

相交线与平行线(22);三角形(36);相似形(32

1963年的教材没有本质差别。

初三

直角坐标系(9);三角形的解法(30);圆(36课时);视图(8

1992年课堂教学215课时

初一

线段、角(12),相交线、平行线(17

在整体结构上仍坚持了欧氏几何体系,采取扩大几何公理体系的办法,删减了一些知识点,降低了一些内容的要求。

初二

三角形(35),四边形(22),相似三角形(18

初三

解直角三角形(16),圆(53

3)有代表性的内容处理方式

 

1952年编写的教材以苏联教材为蓝本,编译过程中,特别注意平面几何教材的科学系统性。例如,关于轨迹的处理,在初中只要求学生能理解轨迹的概念,熟悉几个基本轨迹并能应用它们来解作图题,但对于轨迹定理的证明,一开始就强调要证明正反两面;在高中,把轨迹作为证明题的一种形式(没有给出结论的证明题)出现。对于作图题,在初中就要求学生能正确地写出作法和证明,并且逐渐培养分析和讨论的能力;到了高中,不仅要求学生能正确地写出作法和证明,并要求对不太复杂的题目进行全面讨论。[11172]

 

②在“新数运动”席卷全球、提出“欧几里得滚蛋”的1960年代,中国的数学教材仍坚持比较系统地介绍欧氏几何。1963年,在教材编者介绍“初中平面几何的内容和体系”(见注1)时有如下论述:由于几何科中要用到逻辑推理的地方特别多,而推理的方法又是各种各样的,同时又可以借助于图形的直观性来理解推理的过程,因此通过几何科的教学培养学生的逻辑推理能力,比通过数学的其他各科,更容易迅速提高……学生如果没有经过几何科的严格的逻辑推理的训练,逻辑推理能力的提高就很慢,学习较深一些的数学就很困难。为此,教材特别重视有意识地逐步培养学生的逻辑推理能力。具体注意了以下几点:

 

第一,有计划、有意识地逐步培养学生的逻辑推能力。具体分成四个阶段来培养:

 

第一阶段,培养学生判断的能力。要求学生在搞清概念的基础上,通过图形直观,能有根据地作出判断。

 

第二阶段,培养学生进行简单推理论证的能力。要求学生能正确地辨别条件和结论,掌握证明的步骤和书写格式。具体又分下列几步来培养:(1)分步写出证明过程,让学生注明每一步的理由;(2)让学生论证一些写明已知、求证并附有图形的证明题,先是只要进行一两步推理的,然后逐渐增加推理的步数,并逐渐出现需要添辅助线的;(3)让学生自己写出已知、求证并自己画出图形来进行论证。

 

第三阶段,培养学生对较复杂的证明题的分析能力,从而提高他们的逻辑推理能力。要求学生能根据证明题中的条件和结论进行“分析”,在若干种可能的证明途径中,经过探索和选择,找出论证的途径。

 

第四阶段,通过各种证明方法的学习,继续提高学生的逻辑推理能力。“三角形边角关系”以前,主要培养学生掌握直接证明的方法,此后,除了继续培养他们直接推理的能力,还注意培养学生掌握间接证明的方法,如反证法,同一法等)。

 

教材对作图能力的培养也是逐步进行,要求逐步加深的。先要求学生能用直尺、圆规作一条线段等于已知线段、等于已知线段的和差倍,作一个角等于已知角、等于已知角的和差倍,用直尺和圆规平分一已知角等,但不要求写“作法”和“证明”;到三角形基本作图时,再要求写“已知”、“求作”、“作法”;到四边形作图时,进一步要求写出“证明”。

 

第二,充分利用直观帮助学生理解教材。讲解新知识时,注意通过观察、实验等直观方法和充分利用学生已有的知识来引入。例如三角形内角和定理,先通过实验,把一个三角形剪开,使它的三个角拼在一起,从而发现三角形三个角的和是180°,然后再作证明。

 

第三,加强练习。教材注意配备足够数量的“练习”、“习题”和“复习题”,以保证学生牢固地掌握平面几何的基础知识和培养逻辑推理、作图和计算等能力。

 

这套教材虽然考虑了利用直观帮助学生的理解,但在逻辑的严谨性上要求很高。例如,证明“对顶角相等”,教材的写法是[1253]

 

要证明定理“对顶角相等”,就是从定理中的条件“两个角是对顶角”,设法推导出定理中的结论“这两个角相等”。我们先作出图形,写出已知部分和求证部分:

 

已知:AOC和∠BOD是对顶角(如图)。

 

 

求证:AOC=BOD

 

然后从AOC和∠BOD是对顶角这个条件出发,根据已经讲过的定义、公理、定理,推导出定理的结论AOC=BOD。推导过程如下:

 

证明:

 

AOC和∠BOD是对顶角(已知),

 

OBOA的反向延长线ODOC的反向延长线(对顶角的定义)。

 

AOC+COBBOD+COB都等于平角(平角的定义)。

 

AOC+COB=BOD+COB(平角都相等)。

 

AOC=BOD(等量减等量,差相等)。

 

1978年编写的新教材,平面几何基本上采用了欧几里得体系,是从少数公理出发,用推理论证的方法来推导出图形的各种性质,但适当扩大了公理。同时教材适当删减了传统教材中一些烦琐和用处不大的内容,并适当地渗透了一些近代、现代数学思想。[141~2]这一时期,教材编者对几何教材的改革作了专题研究,其成果对中国的几何教学产生了重要影响:[136~9]

 

a)关于扩大几何公理体系问题。

 

几何教学的效果,与内容安排是否得当有很大关系。教材按图形的复杂程度编排,先是一条直线,再是两条直线的关系,然后是三角形、四边形、相似形。这样安排比较符合学生的认识规律,便于教学。

 

但如果像严格的公理系统那样,要求公理的完备性、不矛盾性和独立性,则不能完全按上述顺序来安排有关直线形的几何知识。采取扩大公理体系的办法,把一些在严格公理系统中的定理,例如,“两点决定一直线”,“两点间线段最短”,“垂线的唯一性”,“点到直线的垂直线段最短”,“同位角相等,则两直线平行”,“平行线的唯一性”,“平行线的同位角相等”,“三角形全等的三个判定”等作为公理,在学生确信的基础上不加证明而作为证明其他命题的根据,可实现教学上的化难为易。这样做,对初学几何的学生,不致在一开始就遇到烦难的证明,有利于接受。并且,明确地把这些当作公理,而对其他定理则要求在此基础上给出证明,不是单凭量一量、看一看,也不会妨碍学生逻辑思维能力的培养。

 

b)如何在扩大几何公理体系后培养学生的逻辑思维能力。

 

学生的逻辑思维能力,应该通过代数、几何、三角等各科教学共同进行培养。但是在几何教学中重点培养学生的逻辑思维能力,由于几何中逻辑系统比较显明,逻辑结果比较直观,所以具有独特的优点。这样做也是多年来行之有效的方法。例如,“直线、相交线和平行线”,“三角形”和“四边形”这三个几何内容,对培养学生的逻辑思维能力十分重要,应要求学生逐步达到一定的水平。

 

由于学生在以前没有接触到推理证明,不明白证明的意义,不掌握证明的方法,所以这部分教学向来是几何教学甚至是整个数学教学的难点。教材采用了长期酝酿、逐步解决的办法。从“相交线和平行线”开始,就安排填写或说出理由的训练,培养学生的说理能力。教材一方面通过例题示范,让学生初步了解证明的意义,初步理解证明的方法,初步接触证明的格式,同时要求学生在熟悉所学的公理、定理的基础上,在括号中填写证明的理由。这时,不要求学生全部写出证明格式,只有少量复习题,让学生模仿例题,自己写出证明格式。经过这样的准备,从“三角形全等的判定”开始,训练学生自己写出全部证明。这里,因为思路单纯,总是寻求三个判定条件,证出三角形全等,所以有利于引导学生入门,进一步懂得证明的意义,掌握证明的方法。在这方面,课本继续注意循序渐进,逐步提高,仔细安排练习。先只要求学生找出三个判定条件,证明三角形全等;再是在证明了三角形全等之后,利用全等再证明线段或角相等;然后是证明了一对三角形全等,利用它证明线段或角相等,再证明另一对三角形全等。先是不必添加辅助线的;再是需要添加辅助线的。先是题目中已经写明了已知什么、求证什么的;再是要求学生自己写出已知什么、求证什么的。特别注意训练学生根据文字题目(例如“求证全等三角形对应角的平分线相等”),自己画出图形,注明字母,写出已知、求证。用这一部分内容,进行这样由浅入深的训练,对于帮助学生掌握推理论证的方法十分重要,并且可以为后续的推理论证扫清障碍。

 

在三角形全等判定部分,推理论证的思路比较固定。到了“等腰三角形”、“直角三角形”,以及“四边形”部分,就要训练学生不是单纯地从判定三角形全等来思考,而要善于灵活运用各种已经证明过的定理(如“等腰三角形的‘三线合一’”等)来进行证明。这对学生来说,又是一个较大的飞跃。所以教材注意加强引导,逐步培养学生的证题技巧。开始时,要求每一步都注明理由,培养学生合乎规格的逻辑思维,知道每一个结论的得出都要有充分的根据。到养成习惯以后再逐步简化证明过程。

 

1992年,实施九年义务教育后,几何内容有较大的调整,删减了许多知识点,但仍然保留了欧氏几何的公理体系的框架,采用“扩大公理”的做法,保留公理的相容性,不要求独立性和完备性。为了让大多数学生在平面几何学习中得到逻辑推理能力的培养,教材更加细致地安排了推理论证训练。将“三角形”中关于推理论证的训练分为五个阶段:第一阶段把重点放在训练学生用代数方法解几何题时必须说理;第二阶段要求学生独立书写简单命题的证明过程;第三阶段重点训练学生掌握作图时常用的词语;第四阶段重点训练学生分析证题思路,并尝试用“逆推法”去寻找证明途径,以及基本掌握用文字叙述的几何命题的证明;第五阶段放宽书写证明的格式,允许学生省略一些非常明显的推理过程,不注明已熟悉的理由,并学习用“两头凑”的方法分析证题思路。在“四边形”的学习中,进一步要求学生能较顺利地用综合法证明一些涉及更多知识的命题,并开始让学生从题设出发,经过探索性的推进,发现结论,归纳成定理。在“相似形”中加强探索方法的练习,不仅要由题设探索结论,还要由结论并根据图形去探索题设。到“圆”这一章,进一步引入用双线箭头推理的证明方式(见注2)。

 

在中国,平面几何的改革一直没有停止过争论。1995年,中国教育学会中学数学教学研究会的年会报告中指出,“现行初中数学教学内容争论比较多的是平面几何。多数意见,倾向保留平面几何,以利于有效地对学生进行逻辑思维训练。有的同志建议,降低证题难度,删减复杂的几何的论证。少数意见认为,初中平面几何可用其他方法取代,不单独设科,至于逻辑思维训练,亦可在其他教学内容中进行。……我们建议,可以编成不同特点的教材进行实验,取得经验,进行比较,权衡利弊,再作结论。”[525]应当说,这样的做法是科学的。遗憾的是本世纪初,中国开始新一轮课改,在没有实验、比较的情况下就对平面几何教学内容进行了大幅度调整。

 

中国的数学家、数学教师一直青睐平面几何,是因为他们认为平面几何是培养学生理性思维和逻辑推理能力的最好载体。例如,在2003年初,教育部召开高中课程改革会议。杨乐院士(时任中国科学院数学与系统科学研究院院长)以《现代数学发展及其对基础教育的影响》为题作了一个报告。报告中专门谈到平面几何的教育价值问题:“我就觉得平面几何的作用非常大。欧几里得的几何可以说是人类历史上在学术上和理论上第一个这样系统和完美的理论,它从五条公理就可以推出那么丰富的内容。我想,在它之前,甚至和它同时代的,比它晚一点的其他理论都没办法和它比。对中学生来讲,无论是几何直观能力的培养和训练,还是其中涉及的很严谨的逻辑推理能力的训练,我认为还是非常重要的。虽然以后不会在生产、生活或工作上让你去证明,或者用到这么一个定理:两个三角形的对应边相等,那么这两个三角形全等,但平面几何这一人类历史上非常重要的理论,我们还是应很好地掌握,因为我觉得现在还没有别的东西能代替平面几何对中学生进行几何直观能力和逻辑推导能力的训练。”杨院士所阐述的观点很有代表性,而且被中国数学教师广泛接受

 

平面几何的直观性很好,在现实中能非常容易找到它的“原型”,这些几何对象的现实形象学生天天接触,教学中随手可得。本来,平面几何的“繁难”与欧氏几何的公理化体系是两个问题。在扩大公理体系的情况下,“繁难”主要是由各种各样的几何证明题造成的,公理化思想以及用这种思想去研究直线、三角形、四边形、圆等几何图形的性质,并不会造成太多的繁难问题。但在数学教育改革中,有人把这两个问题混为一谈,导致几何教学的改革异化为“欧几里得滚蛋”,使可以用来培养学生科学思想方法、科学素养的“几何公理体系”也被逐出了数学课程,这不能不说是一个遗憾。

 

1:龚积慧,初中平面几何的内容和体系,人民教育,19633)。

 

2:蔡上鹤,义务教育初中数学教材简介,江西教育,19947~8)。

    
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