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1.2 有理数

课程引领

1.有理数的意义是在回顾先前学习的正整数、负整数、零,正分数、负分数等相关内容后给出的,据此可以给出有理数两种方法的分类,即整数和分数的统称,或正有理数、负有理数和零。为了更好地研究有理数的相关概念和性质,需要介绍数轴,学习“用数轴上的点表示有理数”,从而建立了(有理)数与形(数轴—直线)的对应关系,也为研究有理数大小的比较方法、相反数和绝对值提供了直观手段。

 

2.对有理数概念的深化理解,教材是借助于数轴来完成的。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。《课标》要求“能用数轴上的点表示有理数“,即有理数可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示有理数。数轴上的点也可以表示无限不循环小数(即无理数)。限于知识的局限(实数与无理数的概念将在七下学习),这里只要求学生理解“有理数可以用数轴上的点来表示”即可,不必向学生作过多的说明。

 

3.借助于数轴,我们可以直观地得到有理数大小的比较方法,即“正数大于负数与零;零大于负数;两个负数,绝对值大的反而小”。对两个负数大小的比较方法,需要借助于对数轴表示的数的直观介绍与感知,让学生明白,越是向数轴正方向上移动的点表示的数越大,越是向数轴负方向上移动的点表示的数越小。

 

4.对相反数、绝对值的概念与性质,既是一种规()定,又可以借助于数轴理解一个数的相反数、绝对值的意义。

 

两个数只有符号不同(言下之意是其他完全相同),则它们互为相反数,并规定:0的相反数是0。人教版七上教材还用字母表示了数互为相反数,并通过反问“一定是负数吗?”进一步揭示了“字母可能是负数,也可能是正数或0”。在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数。

 

对一个数的绝对值,教材是利用其几何意义(即数轴上表示数离开原点的距离)来定义的。正因为表示数离开原点的距离,因此就不可能是负数,即,这样就容易得到下面的结论:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。人教版七上教材也用字母和分类思想表示了一个数的绝对值的三种,即:若,则;若,则;若,则。对于用字母表示一个数的相反数与绝对值,学生初始理解可能困难,需要教师仔细地分析和讲解,不能急于求成。

 

需要说明的是,在研究相反数、绝对值的概念与性质时,人教版七上教材没有刻意指明或界定是有理数,因为即使是无理数,其相反数、绝对值的概念与性质也是一样的。

 

5.本节内容,无论是有理数的概念、相反数与绝对值的概念,还是数轴和绝对值的几何意义,有理数大小的比较方法等,都十分突出地体现了分类讨论思想和数形结合思想。教学中,应该引导学生充分体会其中蕴含的这些数学思想方法,进而让他们逐步学会数学地思考,喜爱数学。

    
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