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23.1 图形的旋转

课程引领

一、课标要求

人教版九年级上《23.1图形的旋转》包括旋转的定义及相关的概念,以及旋转的性质,《义务教育数学课程标准(2011年版)》要求:“通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.”

二、课标解读

在数学中,旋转是图形变化的方法之一.怎样刻画、如何理解旋转呢?初中教科书中的关于旋转的定义告诉我们:“把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转”从定义可以理解到数学中的旋转不是任意的、没有约束的旋转.

首先,这种旋转是在平面内绕着某一个点完成的,这个点即旋转中心;其次,旋转是用数量关系来刻画的,是转动了一个确定的角度,这个转动的角叫旋转角;最后定义还告诉我们,旋转这种图形的变化只是改变了位置,图形的形状并没有改变,因而旋转出现了两个图形,一个是旋转前的,一个是旋转后的.正因如此,“对应点”就成为旋转的核心概念.

旋转反映出的几何学的学科观点仍然是几何对象的确定及位置关系的研究.只不过与之前的平面几何研究的内容相比,是动态变化下的图形的确定和相互位置关系问题.因此,在旋转背景下的研究内容也就明确了,即旋转后的图形的确定及旋转前后两个图形之间的位置关系问题.研究的目的是可以帮助我们利用旋转前图形的性质得出旋转后图形的性质.可以看出,在这种动态下的研究图形的性质,对于培养学生认识图形、研究图形具有重要的教学的价值.

旋转的性质实际上就是针对旋转前后的两个图形的关系进行阐述的.第一条性质“对应点到旋转中心的距离相等”就是从对应点到旋转中心的数量关系从量上刻画两个位置上图形的一种联系;第二条性质“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”是从“角度”这样一种可以量化的概念刻画旋转前后不同对应线段之间的一种内在联系,即通过旋转角都相等这一不变的数量关系反映出动态下的两个图形之间的本质.如此,性质“旋转前后的图形全等”也就顺理成章容易理解了.

怎样理解“中心对称”和“中心对称图形”呢?

“把一个图形绕着某一个点旋转180度,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形中心对称”.上述定义可以看出,中心对称就是特殊的旋转.这种特殊性表现在中心对称规定了一个旋转角度,即180度.定义中所谓的“另一个图形”实际上就是“一个图形”旋转180度之后的那个图形.也正是这种特殊性,中心对称的性质只不过是旋转性质的特殊表达形式而已,与旋转的性质没有实质性的不同.如因为旋转180度,所以中心对称的两个图形的对称点所连线段都经过对称中心.旋转性质中的对应点与旋转中心的距离相等在中心对称性质中,即表述为对称点所连线段被对称中心所平分.

中心对称图形与中心对称又是什么关系呢?把一个图形绕着某一个点旋转180度,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,这样的图形就是中心对称图形.从定义可以看出,从某种意义上来看,中心对称图形就是特殊的中心对称.因为旋转的方式与中心对称完全一样,也是绕某一个点旋转180度.区别在于旋转180度之后与谁重合而已.中心对称是“与另一个图形”即旋转后的图形重合,而中心对称图形是与自身重合.

 

    
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