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在人类的知识宝库中有三大类科学,即自然科学、社会科学、认识和思维的科学。自然科学又分为数学、物理学、化学、天文学、地理学、生物学、工程学、农学、医学等学科。数学是自然科学的一种,是其它科学的基础和工具。在世界上的几百卷百科全书中,它通常都是处于第一卷的地位。

 

从本质上看,数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。或简单讲,数学是研究数与形的科学。对这里的数与形应作广义的理解,它们随着数学的发展,而不断取得新的内容,不断扩大着内涵。

 

    数学来源于人类的生产实践活动,即来源于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地和测量容积、计算时间和制造器皿等实践,并随着人类社会生产力的发展而发展。对于非数学专业的人们来讲,可以从三个大的发展时期来大致了解数学的发展。

 

一、初等数学时期

 

初等数学时期是指从原始人时代到17世纪中叶,这期间数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。

 

在这一时期,数学经过漫长时间的萌芽阶段,在生产的基础上积累了丰富的有关数和形的感性知识。到了公元前六世纪,希腊几何学的出现成为第一个转折点,数学从此由具体的、实验的阶段,过渡到抽象的、理论的阶段,开始创立初等数学。此后又经过不断的发展和交流,最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科。这一时期的成果可以用初等数学”(即常量数学)来概括,它大致相当于现在中小学数学课的主要内容。

 

世界上最古老的几个国家都位于大河流域:黄河流域的中国;尼罗河下游的埃及;幼发拉底河与底格里斯河的巴比伦国;印度河与恒河的印度。这些国家都是在农业的基础上发展起来的,从事耕作的人们日出而作、日落而息,因此他们就必须掌握四季气候变迁的规律。游牧民族的迁徙,也要辨清方向:白天以太阳为指南,晚上以星月为向导。因此,在世界各民族文化发展的过程中,天文学总是发展较早的科学,而天文学又推动了数学的发展。

 

随着生产实践的需要,大约在公元前3000年左右,在四大文明古国巴比伦、埃及、中国、印度出现了萌芽数学。

 

现在对于古巴比伦数学的了解主要是根据巴比伦泥版,这些泥版是在胶泥还软的时候刻上字,然后晒干制成的(早期是一种断面呈三角形的在泥版上按不同方向刻出楔形刻痕,叫楔形文字)

 

已经发现的泥版上面载有数字表(200)和一批数学问题(100),大致可以分为三组。第一组大约创制于公元前2100年,第二组大约从公元前1792年到公元前1600年,第三组大约从公元前600年到公元300年。

 

这些数学泥版表明,巴比伦自公元前2000年左右即开始使用60进位制的记数法进行较复杂的计算了,并出现了60进位的分数,用与整数同样的法则进行计算;已经有了关于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表;借助于倒数表,除法常转化为乘法进行计算。公元前300年左右,已得到60进位的达17位的大数;一些应用问题的解法,表明已具有解一次、二次(个别甚至有三次、四次)数字方程的经验公式;会计算简单直边形的面积和简单立体的体积,并且可能知道勾股定理的一般形式。巴比伦人对于天文、历法很有研究,因而算术和代数比较发达。巴比伦数学具有算术和代数的特征,几何只是表达代数问题的一种方法。这时还没有产生数学的理论。

 

对埃及古代数学的了解,主要是根据两卷纸草书。纸草是尼罗河下游的一种植物,把它的茎制成薄片压平后,用墨水写上文字(最早的是象形文字)。同时把许多张纸草纸粘在一起连成长幅,卷在杆干上,形成卷轴。已经发现的一卷约写于公元前1850年,包含25个问题(莫斯科纸草文书,现存莫斯科);另一卷约写于公元前1650年,包含85个问题(莱因德纸草文书,是英国人莱因德于1858年发现的)

 

从这两卷文献中可以看到,古埃及是采用10进位制的记数法,但不是位值制,而是所谓的累积法。正整数运算基于加法,乘法是通过屡次相加的方法运算的。除了几个特殊分数之外,所有分数均极化为分子是一的单位分数之和,分数的运算独特而又复杂。许多问题是求解未知数,而且多数是相当于现在一元一次方程的应用题。利用了三边比为345的三角形测量直角。

 

埃及人的数学兴趣是测量土地,几何问题多是讲度量法的,涉及到田地的面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法。但是由于这些计算法是为了解决尼罗河泛滥后土地测量和谷物分配、容量计算等日常生活中必须解决的课题而设想出来的,因此并没有出现对公式、定理、证明加以理论推导的倾向。埃及数学的一个主要用途是天文研究,也在研究天文中得到了发展。

 

中国古代数学将在后面的作专门介绍。印度在7世纪以前缺乏可靠的数学史料,在此略去不论。总的说来,萌芽阶段是数学发展过程的渐变阶段,积累了最初的、零碎的数学知识。

 

由于地理位置和自然条件,古希腊受到埃及、巴比伦这些文明古国的许多影响,成为欧洲最先创造文明的地区。在公元前775年左右,希腊人把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母后,文字变得容易掌握,书写也简便多了。因此希腊人更有能力来记载他们的历史和思想,发展他们的文化了。古代西方世界的各条知识支流在希腊汇合起来,经过古希腊哲学家和数学家的过滤和澄清,形成了长达千年的灿烂的古希腊文化。从公元前6世纪到公元4世纪,古希腊成了数学发展的中心。

 

希腊数学大体可以分为两个时期。

 

第一个时期开始于公元前6世纪,结束于公元前4世纪,通称为古典时期。泰勒斯开始了命题的逻辑证明;毕达哥拉斯学派对比例论、数论等所谓几何化代数作了研究,据说非通约量也是由这个学派发现的。进入公元前5世纪,爱利亚学派的芝诺提出了四个关于运动的悖论;研究圆化方的希波克拉茨开始编辑《原本》。从此,有许多学者研究三大问题,有的试图用穷竭法去解决化圆为方的问题。柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用;亚里士多德建立了形式逻辑,并且把它作为证明的工具;德谟克利特把几何量看成是由许多不可再分的原子所构成。

 

公元前四世纪,泰埃特托斯研究了无理量理论和正多面体理论,欧多克斯完成了适用于各种量的一般比例论……证明数学的形成是这一时期希腊数学的重要内容。但遗憾的是这一时期并没有留下较为完整的数学书稿。

 

第二个时期自公元前4世纪末至公元1世纪,这时的学术中心从雅典转移到了亚历山大里亚,因此被称为亚历山大里亚时期。这一时期有许多水平很高的数学书稿问世,并一直流传到了现在。

 

公元前3世纪,欧几里得写出了平面几何、比例论、数论、无理量论、立体几何的集大成的著作《几何原本》,第一次把几何学建立在演绎体系上,成为数学史乃至思想史上一部划时代的名著。遗憾的是,人们对欧几里得的生活和性格知道得很少,甚至连他的生卒年月和地点都不清楚。估计他大约生于公元前330年,很可能在雅典的柏拉图学园受过数学训练,后来成为亚历山大里亚大学(约建成于公元前300)的数学教授和亚历山大数学学派的奠基人。

 

之后的阿基米德把抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来,根据力学原理去探求几何图形的面积和体积,第一个播下了积分学的种子。阿波罗尼写出了《圆锥曲线》一书,成为后来研究这一问题的基础。公元一世纪的赫伦写出了使用具体数解释求积法的《测量术》等著作。二世纪的托勒密完成了到那时为止的数理天文学的集大成著作《数学汇编》,结合天文学研究三角学。三世纪丢番图著《算术》,使用简略号求解不定方程式等问题,它对数学发展的影响仅次于《几何原本》。希腊数学中最突出的三大成就——欧几里得的几何学,阿基米德的穷竭法和阿波罗尼的圆锥曲线论,标志着当时数学的主体部分——算术、代数、几何基本上已经建立起来了。

 

罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。公元前47年,罗马人焚毁了亚历山大里亚图书馆,两个半世纪以来收集的藏书和50万份手稿竞付之一炬。基督教徒又焚毁了塞劳毕斯神庙,大约30万种手稿被焚。公元640年,回教徒征服埃及,残留的书籍被阿拉伯征服者欧默下令焚毁。由于外族入侵和古希腊后期数学本身缺少活力,希腊数学衰落了。

 

5世纪到15世纪,数学发展的中心转移到了东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国。在这1000多年时间里,数学主要是由于计算的需要,特别是由于天文学的需要而得到迅速发展。和以前的希腊数学家大多数是哲学家不同,东方的数学家大多数是天文学家。从公元6世纪到17世纪初,初等数学在各个地区之间交流,并且取得了重大进展。

 

古希腊的数学看重抽象、逻辑和理论,强调数学是认识自然的工具,重点是几何;而古代中国和印度的数学看重具体、经验和应用,强调数学是支配自然的工具,重点是算术和代数。大约在公元前1000年,印度的数学家戈涅西已经知道:圆的面积等于以它的半周长为底,以它的半径为高的矩形的而积。

 

印度早期的一些数学成就是与宗教教仪一同流传下来的,这包括勾股定理和用单位分数表示某些近似值(公元的6世纪)。公元前500年左右,波斯王征服了印度一部分土地,后来的印度数学就受到了外国的影响。数学作为一门学科确立和发展起来,还是在作为吠陀辅学的历法学受到天文学的影响之后的事。印度数学受婆罗门教的影响很大,此外还受希腊、中国和近东数学的影响,特别是受中国的影响。

 

印度数学的全盛时期是在公元五至十二世纪之间。在现有的文献中,499年阿耶波多著的天文书《圣使策》的第二章,已开始把数学作为一个学科体系来讨论。628年婆罗门这多(梵藏)著《梵图满手册》,讲解对模式化问题的解法,由基本演算和实用算法组成;讲解正负数、零和方程解法,由一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等组成。已经有了相当于未知数符号的概念,能使用文字进行代数运算。这些都汇集在婆什迦罗1150年的著作中,后来没有很大发展。

 

印度数学文献是用极简洁的韵文书写的,往往只有计算步骤而没有证明。印度数学书中用10进位记数法进行计算;在天文学书中不用希腊人的,而向相当于三角函数的方向发展。这两者都随着天文学一起传入了阿拉伯世界,而现行的阿拉伯数码就源于印度,应当称为印度阿拉伯数码

 

阿拉伯人的祖先是住在现今阿拉伯半岛的游牧民族。他们在穆罕默德的领导下统一起来,并在他死(632)后不到半个世纪内征服了从印度到西班牙的大片土地,包括北部非洲和南意大利。阿拉伯文明在1000年前后达到顶点,在1100年到1300年间,东部阿拉伯世界先被基督教十字军打击削弱,后来又遭到了蒙古人的蹂躏。1492年西部阿拉伯世界被基督教教徒征服,阿拉伯文明被推毁殆尽。

 

阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时期(公元815世纪)在阿拉伯语的文献中看到的数学。七世纪以后,阿拉伯语言不仅是阿拉伯国家的语言,而且成为近东、中东、中亚细亚许多国家的官方语言。阿拉伯数学有三个特点:实践性;与天文学有密切关系;对古典著作做大量的注释。它的表现形式和写文章一样,不用符号,连数目也用阿拉伯语的数词书写,而阿拉伯数字仅用于实际计算和表格。

 

对于阿拉伯文化来说,数学是外来的学问,在伊斯兰教创立之前,只有极简单的计算方法。七世纪时,通过波斯传进了印度式计算法。后来开始翻译欧几里得、阿基米得等人的希腊数学著作。花拉子模著的《代数学》成为阿拉伯代数学的范例。在翻译时代(大约850年之前)过去之后,是众多数学家表现创造才能著书立说的时代(1200年之前)。梅雅姆、纳速·拉丁、阿尔·卡西等等,使阿拉伯数学在11世纪达到顶点。

 

阿拉伯人改进了印度的计数系统,代数的研究对象规定为方程论;让几何从属于代数,不重视证明;引入正切、余切、正割、余割等三角函数,制作精密的三角函数表,发现平面三角与球面三角若干重要的公式,使三角学脱离天文学独立出来。1200年之后,阿拉伯数学进入衰退时期。初期的阿拉伯数学在12世纪被译为拉丁文,通过达·芬奇等传播到西欧,使西欧人重新了解到希腊数学。

 

在西欧的历史上,中世纪一般是指从5世纪到14世纪这时期。从5世纪到11世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代,除了制定教历外,在数学上没什么成就。12世纪成了翻译者的世纪,古代希腊和印度等的数学,通过阿拉伯向西欧传播。13世纪前期,数学在一些大学兴起。斐波那契著《算盘书》、《几何实用》等书,在算术、初等代数、几何和不定分析方面有独创的东西。14世纪黑死病流行,百年战争开始,相对地是数学上的不毛之地。奥雷斯姆第一次使用分数指数,还用坐标确定点的位置。

 

15世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占庭帝国的瓦解,难民们带着希腊文化的财富流入意大利。大约在这个世纪的中叶,受中国人发明的影响,改进了印刷术,彻底变革了书籍的出版条件,加速了知识的传播。在这个世纪末,哥伦布发现了美洲,不久麦哲伦船队完成了环球航行。在商业、航海、天文学和测量学的影响下,西欧作为初等数学的最后一个发展中心,终于后来居上。

 

15世纪的数学活动集中在算术、代数和三角方面。缪勒的名著《三角全书》是欧洲人对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述。

 

16世纪最壮观的数学成就是塔塔利亚、卡尔达诺、拜别利等发现三次和四次方程的代数解法,接受了负数并使用了虚数。16世纪最伟大的数学家是韦达,他写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作,其中最著名的《分析方法入门》改进了符号,使代数学大为改观;斯蒂文创设了小数;雷提库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一个人,他还雇用了一批计算人员,花费12年时间编制了两个著名的、至今尚有用的三角函数表。其中一个是间隔为10"10位的6种三角函数表,另一个是间隔为10"15位的正弦函数表,并附有第一、第二和第三差。

 

由于文艺复兴引起的对教育的兴趣和商业活动的增加,一批普及的算术读本开始出现。到16世纪末,这样的书不下三百种。“—”等符号开始出现。

 

17世纪初,对数的发明是初等数学的一大成就。1614年,耐普尔首创了对对数,1624年布里格斯引入了相当于现在的常用对数,计算方法因而向前推进了一大步。

 

初等数学时期也可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段:萌芽阶段,公元前6世纪以前;几何优先阶段,公元前5世纪到公元2世纪;代数优先阶段,3世纪到17世纪前期。至此,初等数学的主体部分——算术、代数与几何已经全部形成,并且发展成熟。

    
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