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    在本模块中,学生将学习算法初步、统计、概率。

    算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。

    现代社会是信息化的社会,人们常常需要收集数据,根据所获得的数据提取有价值的信息,作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础。因此,统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。在本模块中,学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,体会用样本估计总体及其特征的思想;通过解决实际问题,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性思维的差异。学生将结合具体实例,学习概率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机现象的理解,能通过实验、计算器(机)模拟估计简单随机事件发生的概率。

 

    内容与要求

  1. 算法初步(约12课时)

    1)算法的含义、程序框图

    ①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。

    ②通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题),理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环。

    2)基本算法语句

    经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想。

    3)通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

  2. 统计(约16课时)

    1)随机抽样

    ①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

    ②结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性。

    ③在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法。

    ④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

    2)用样本估计总体

    ①通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1),体会它们各自的特点。

    ②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据标准差。

    ③能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释。

    ④在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

    ⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异。

    ⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

    3)变量的相关性

    ①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

    ②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(参见例2)。

  3. 概率(约8课时)

    1)在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

    2)通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。

    3)通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

    4)了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率,初步体会几何概型的意义(参见例3)。

    5)通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程。

 

    说明与建议

  1. 算法是高中数学课程中新内容,其思想是非常重要的,但并不神秘。例如,运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是算法。本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系,形式化地表示算法,在条件允许的学校,使其能在计算机上实现。为了有条理地、清晰地表达算法,往往需要将解决问题的过程整理成程序框图;为了能在计算机上实现,还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言。本模块的主要目的是使学生体会算法的思想,提高逻辑思维能力。不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。

  2. 算法教学必须通过实例进行,使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。有条件的学校,应鼓励学生尽可能上机尝试。

  3. 算法除作为本模块的内容之外,其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中,鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。

    4. 教师应引导学生体会统计的作用和基本思想,统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质。学生应体会统计思维与确定性思维的差异,注意到统计结果的随机性,统计推断是有可能犯错误的。

  5. 统计是为了从数据中提取信息,教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本,并从样本数据中提取需要的数字特征。不应把统计处理成数字运算和画图表。对统计中的概念(如“总体”“样本”等)应结合具体问题进行描述性说明,不应追求严格的形式化定义。

  6. 统计教学必须通过案例来进行。教学中应通过对一些典型案例的处理,使学生经历较为系统的数据处理全过程,并在此过程中学习一些数据处理的方法,并运用所学知识、方法去解决实际问题。例如,在学习线性相关的内容时,教师可以鼓励学生探索用多种方法确定线性回归直线。在此基础上,教师可以引导学生体会最小二乘法的思想,根据给出的公式求线性回归方程。对感兴趣的学生,教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。

    7. 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。教师应通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验,正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性,并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识(如“中奖率为的彩票,买1000张一定中奖”)。

    8. 古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征:实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。教学中不要把重点放在“如何计数”上。

  9. 应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据,进行模拟活动,更好地体会统计思想和概率的意义。例如,可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验等。

 

    参考案例

    1. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下。

    甲的得分:12152425313136363739444950

    乙的得分:813141623262833383951

    上述的数据可以用下图来表示,中间数字表示得分的十位数,两边数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数。

    通常把这样的图叫做茎叶图。请根据上图对两名运动员的成绩进行比较。

    从这个茎叶图上可以看出,甲运动员的得分情况是大致对称的,中位数是36;乙运动员的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是26。因此甲运动员发挥比较稳定,总体得分情况比乙好。

    用茎叶图表示有两个突出的优点,其一,从统计图上没有信息的损失,所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;其二,茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示。但茎叶图只能表示两位的整数,虽然可以表示两个人以上的比赛结果(或两个以上的记录),但没有表示两个记录那么直观、清晰。

 

    2. 下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表。

气温/

杯数

26

18

13

10

4

-1

20

24

34

38

50

64

    1)将上表中的数据制成散点图;

    2)你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗?

    3)如果近似成线性关系的话,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系;

    4)如果某天的气温是-5℃,预测这天小卖部卖出热茶的杯数。

    当运用直线近似表示温度与杯数的关系时,学生可能选择能反映直线变化的两个点,例如(450),(1824)确定一条直线;也可以取一条直线,使得直线一侧和另一侧点的个数基本相同;还可能多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线科率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距。

 

    3. 在所示的图中随机撒一大把豆子(可以利用计算器、计算机模拟这一过程),计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比。由此估计圆周率的值,并初步体会几何概型的意义。

    
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