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  《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)必修课程·数学2包括立体几何初步、平面解析几何初步两部分。从标题上看,是传统内容。但从数学2的前言、内容与要求、说明与建议三部分看,数学2的教学内容、处理方式、教学要求都发生了很大的变化,特别是立体几何初步的内容,解析几何的内容更多强调解析几何的思想方法。

  从内容与要求上来看,本模块相对独立,而且起点较低,完全可以在义务教育阶段的基础上进行学习。

  在《普通高中课程标准实验教科书·数学2(必修)》A版编写中,我们对如何更好地理解《标准》,如何更好地贯彻《标准》提出的内容和要求、说明与建议,进行了积极的思考。下面做一简单的介绍。

  一、对数学2主要内容的思考

  数学是研究空间形式和数量关系的科学。本模块的内容主要属于“空间形式”范畴,是几何学的研究对象。几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。

  形状  空间几何体的结构特征、三视图、直观图都是从形的角度研究现实世界中的物体。柱、锥、台、球及其简单几何体的结构特征都是运用实物模型、计算机软件从形的角度,由大量的物体抽象出来的,是现实世界物体的形状模型。认识柱、锥、台、球的结构特征后,我们可以运用这些模型描述现实生活中简单物体的结构。这一过程反映了从几何角度进行数学建模的过程,即从实物到模型,再由模型到实物。对有关形状内容的安排,是从对空间几何体的整体观察入手,通过直观感知、操作确认,使学生对图形有个整体认识,培养其空间观念。在对空间几何体有整体认识的基础上,研究构成空间几何体的点、直线、平面等要素,按照整体到局部,具体到抽象的原则。

  大小  几何体在空间都会占有空间的一部分。它的大小在一维空间中表现为长度,在二维空间中表现为面积,在三维空间中表现为体积。本模块研究几何体的大小,主要是根据公式,计算球、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台的表面积和体积。

  位置关系  在立体几何初步的内容中,位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。对于上述位置关系,要充分借助长方体这个模型,由长方体这个直观模型认识立体几何中上述三方面的位置关系。在位置关系中平行、垂直是研究的重点,包括直线与平面平行、平面与平面平行;直线与平面垂直、平面与平面垂直。建立直角坐标系后,平面中的点可以用有序实数对(xy)表示,空间中的点可以用有序实数组(xyz)表示。这样,平面或空间中任意两点的距离无需通过测量,由这两点的坐标就可以得到。把直线、圆放入平面直角坐标系中,直线、圆可以得到量化,分别用二元一次方程和二元二次方程表示。这样直线与直线的平行、垂直以及相交等位置关系,就可以转化为数量之间的关系。用直线的方程研究两条直线之间的位置关系,包括平行、垂直、交点坐标以及点到直线的距离、两条平行线间的距离等等;同样,可以运用直线和圆的方程,研究直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等等。

  从人类认识空间形式和数量关系的角度看,对空间形式的认识要先于数量关系,空间形式直观、具体,是视觉思维;数量关系理性、抽象,是精确思维。通过数量关系可以深化对空间形式的认识,空间形式可以对数量关系以形象支持,两者相辅相成。

  二、对认识和探索几何图形及其性质的主要方法的思考

  《标准》中明确提出,认识和探索几何图形及其性质的主要方法是:直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算,这是非常经典的概括。实际上,这四种方式是一个有机的整体,循序渐进,不同的知识内容要求的方式和方法不尽相同。

  本模块的内容中“空间几何体”主要是通过直观感知、操作确认的方式让学生认识人类生存的现实空间,通过空间图形,培养和发展学生的空间想象能力。在“点、直线、平面之间的位置关系”中,借助长方体模型,通过直观感知、操作确认先认识它们之间的位置关系,归纳关于平面、平行的一些公理以及直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,进而对直线与平面平行、平面与平面平行以及直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理进行思辩论证,并且运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题,培养学生的推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。

  解析几何初步的内容中,主要是培养学生用代数方法处理几何问题的思想,使用度量计算的方法。这部分的教学,通过直角坐标系这个桥梁,首先将几何问题,比如点、直线、圆以及直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系,直线与直线的交点坐标、直线与圆的坐标等代数化,用代数语言描述上述几何要素及其关系,把直线与在直线、直线与圆的位置关系转化为数量之间的关系;处理数量关系;分析数量关系的几何含义,最终确定直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

  我们经常说,行万里路,读万卷书。这说明认识世界的两种方式:感性认识和理性认识。具体到数学学科中,观察和推理是学习数学的两种手段。由观察(实践)归纳出一些事实(如公理),在此基础上,从这些事实出发,运用逻辑推理的方法,推导、证明一些新的事实。在立体几何初步的内容中,我们采用了观察和推理两种方式。通过直观感知、操作确认、思辩论证,认识和把握点、直线、平面之间的位置关系。而当把直线和圆放到直角坐标系中后,它们可以用方程表示,通过代数运算,由运算结果判断直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。

  三、对立体几何初步体系结构的思考

  与以往立体几何的结构体系相比,本模块立体几何的体系结构有重大改革。以往立体几何内容,常从研究构成空间几何体的基本要素:点、直线和平面开始,讲述平面及其基本性质,点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理,再研究由它们组成的几何体,包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征、体积、表面积等等,基本上按照从局部到整体的原则。现在,先从对空间几何体的整体感受入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面。

  这种安排遵循人类认识世界的过程,也符合学生的认知特点。它有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力,适当减轻几何论证的难度,降低立体几何学习入门的门槛,提高学生学习立体几何的兴趣。

  整体和局部是一个有机的整体。没有对整体的把握,也无从认识局部;同样,如果没有对局部更细致的认识,我们也无法更好地把握整体。因此,在学习完“点、直线、平面之间的位置关系”后,可引导学生从点、直线、平面的角度重新认识空间几何体,从本质上把握空间几何体的结构特征,对空间几何体的结构特征有更全面的认识。

  四、对几何直观以及几何推理的思考

  立体几何学习的知识内容与学生的联系非常密切,空间几何体是很多物体的几何模型,这些模型可以描述现实世界中的许多物体。它们直观、具体,对培养学生的几何直观能力有很大的帮助。空间几何体,特别是长方体,其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系,是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的直观载体。学习时,一方面要引导学生从生活实际出发,把学习的知识与周围的实物联系起来,另一方面,要引导学生经历从现实的生活抽象空间图形的过程,注重探索空间图形的位置关系,归纳、概括它们的判定定理和性质定理。比如,在有关直线与平面、平面与平面平行与垂直判定定理的教学中,要注重引导学生通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定定理;在直线与平面、平面与平面平行与垂直的性质定理的教学中,同样不能忽视学生从实际问题出发,进行探究的过程。要引导学生借助图形直观,通过归纳、类比等合情推理以及演绎推理,探索直线与平面、平面与平面平行与垂直等性质定理及其证明。在此基础上,进一步运用已经能够获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

  立体几何在构建直观、形象的数学模型方面有其独特作用。图形的直观,不仅为学生感受、理解抽象的概念提供有力的支撑,而且有助于培养学生合情推理和演绎推理的能力。

  几何的现实性与论理性是几何的两个方面。欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来,几何就与演绎推理结下了不解之缘,很久以来几何学就成为训练逻辑推理的素材,用主观的东西去理解客观世界,把握客观世界,以期对客观世界有更理性的认识。从几何推理的角度来看,既有合情推理,又有演绎推理,而且从数学自身发展的过程来看,即使演绎推理也并非几何所独有,它广泛存在于数学的各个分支中。近几十年的国际数学教育改革对几何推理的要求发生了一些变化,适当弱化演绎推理,更多地强调从具体情境或前提出发,进行合情推理;从单纯强调几何的逻辑推理,转向更全面地体现几何的教育价值,特别是几何在发展学生空间观念,以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程性”方面的教育价值。本模块立体几何初步特别注意,使学生经历从特殊到一般,从具体到抽象的过程,逐步认识直线与平面、平面与平面的位置关系,在推理过程中渗透公理化思想,养成言必有据的理性思维精神。

  五、对解析几何基本思想方法的思考

  解析几何的基本思想是“坐标法”。当我们用方程表示直线和圆,运用方程研究直线与直线、圆与圆的位置关系,研究两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离等问题时,都需要把几何问题代数化,先用方程表示直线和圆,然后再通过代数运算解决有关问题。
我们在教科书编写时,结合大量的例题,突出用坐标方法解决几何问题的“三步曲”:

  第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
  第二步:通过代数运算,解决代数问题;
  第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论。

  解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质,它沟通了代数与几何之间的联系,体现了数形结合的重要数学思想。对于几何中的直线,我们既从一次函数的角度研究它,又从方程的角度研究它,用数及其运算作为工具,函数与方程对直线进行了定量化描述,使对直线的研究由定性进入到定量。平面直角坐标系成为沟通平面几何、函数、解析几何的纽带,对同一个问题可以从不同的角度去认识。

  在此需要特别说明的是,函数与曲线以及曲线与方程的关系。对一个圆,它是曲线,我们即可以从函数(分段函数)的角度研究它,也可以从方程的角度研究它。但是两者之间是有区别的,从函数的角度看,函数体现更多的是一种数量关系,曲线只不过是它的一个直观支持;从方程的角度看,它是从曲线的几何特征出发,确定它的代数关系(即方程),用方程研究曲线,即解析几何的思想方法。它们虽然都体现了数形结合,但是数形结合的不同侧面。

  六、对数学2教学要求的思考

  与以往的立体几何教学要求相比,本模块在几何推理证明方面的教学要求大大降低了,削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少了定理的数量,删去了大量的几何证明题,淡化了几何证明的技巧。对于直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理只要求通过直观感知、操作确认的方式归纳得出,不进行推理证明。在削弱证明的同时,加强了空间观念的培养。重视对空间图形的整体认识和把握,从看实物到想图形、再从三视图想象空间图形;然后从空间图形的整体,到直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,强调发展学生的空间想象能力,以及联系实际运用几何知识,观察和解决现实世界中有关图形的问题。

  在解析几何初步的内容中,注意结合具体的图形:直线和圆,引导学生探索在平面上确定这些图形的几何要素,推导出它们的代数方程,进而运用方程研究它们在平面上的位置以及相互关系,体会用代数方法解决几何问题的思想。教学中要注意控制难度,避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练,避免在解题技巧上做文章。比如,义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明,而义务教育阶段的教学要求现已有所改变。因此,用坐标法证明平面几何题要求不宜过高,适可而止。

  七、对前后衔接的思考

  由于2004年、2005年使用高中课标教材的绝大多数学生在义务教育阶段没有使用义务教育课程标准实验教科书,造成部分知识内容不衔接。在数学2中,比较突出的是视图和投影的内容。在编写教科书时,应充分考虑到这种实际情况,在投影和视图方面,应该适当补充《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》“空间与图形”中的视图与投影内容,它包括:(1)会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图、左视图、俯视图),会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型;(2)了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型;(3)了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系,通过典型实例,知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装);(4)通过实例了解中心投影和平行投影。

  立体几何初步的内容与选修2-1中“空间向量与立体几何”内容的衔接,在立体几何初步中不要求证明的三个判定定理在“空间向量与立体几何” 中可用向量方法进行严格证明。解析几何初步的内容也能自然延伸到选修1-1和选修2-1的“圆锥曲线与方程”中。

  八、对运用现代信息技术的思考

  在数学2中,现代信息技术的作用主要体现在以下几个方面:

  (1)通过现代信息技术,如计算机、网络等展示丰富的图片,让学生感受大量的实物,抽象出空间几何体及其结构特征。
  (2)运用现代信息技术和有关软件,制作一些课件,如动态演示空间点、直线、平面之间的位置关系,空间中的平行与垂直关系等等。
  (3)平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科。信息技术在加强几何直观,促使数与形结合方面有着特殊的作用。借助信息技术,可以形象、直观地帮助学生认识所研究的曲线。在动态演示中,观察曲线的性质,在直观了解的基础上,寻求形成这些性质的原因以及代数表示。通过方程研究曲线与曲线的关系时,运用现代信息技术,可以进一步验证得到的结果,为抽象的认识增添形象的支持。例如,在探究点的轨迹时,可以借助信息技术,探究轨迹的形状。

  九、对数学2在必修课程中顺序的思考

  按照传统的安排,立体几何初步和解析几何初步内容通常安排在三角函数和平面向量的后面,把平面向量和三角函数作为工具研究解析几何。具体到必修课程的顺序安排,就是先学数学4再学数学2。孰前孰后,孰优孰劣,应该说,两种方式各有自己的特点。数学2在前,解析几何初步中在引进斜率的概念时,就需要采取新的方式。虽然无法建立直线的倾斜角与斜率之间的数量关系,但是整个解析几何初步的学习内容变得平易、浅显。数学4在前,可用平面向量和三角函数作为工具,研究直线的倾斜角与斜率之间的关系,同时丰富直线和圆的内容。

  以上是我们在编写《普通高中课程标准实验教科书?数学2(必修)》A版时的一些思考。诚恳地希望在教材实验过程中,教师和学生给我们提出宝贵的意见和建议。

    
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