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  函数是刻画客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要作用,它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。本章中,学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I的基础上,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.通过本章的学习,学生将进一步加深对函数概念的理解,提高用函数概念解决问题的能力。

  一、内容与课程学习目标

  本章的学习内容是三角函数及其基本性质。通过本章学习,要引导学生:

  1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化;

  2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;

  3.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(的正弦、余弦、正切),能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;

  4.借助图象理解正弦函数、余弦函数在,正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等);

  5.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,

  6.结合具体实例,了解的实际意义;能借助计算器或计算机画出的图象,观察参数A对函数图象变化的影响;

  7.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

  二、内容安排

  本章共安排了6个小节以及两个选学内容,教学时间约需16课时,大体分配如下(仅供参考):

  1.1 任意角和弧度制                                       约2课时

  1.2 任意角的三角函数                                     约3课时

  1.3 三角函数的诱导公式                                   约2课时

  1.4 三角函数的图象与性质                                 约4课时

  1.5 函数y=Asin( φ)的图象                              约2课时

  1.6 三角函数模型的简单应用                               约2课时

  小结                              约1课时

  本章知识结构如下:

  

  1.本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,在数学1中建立的函数概念,以及指数函数、对数函数的研究经验;主要的学习内容是三角函数的概念,图象与性质,以及三角函数模型的简单应用;单位圆是研究三角函数的重要工具,借助它的直观,可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质,因此三角函数的学习可以帮助学生更好地体会数形结合思想;三角函数作为描述周期现象的重要数学模型,与其他学科(特别是物理、地理)有紧密联系,因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力。

  2.为了加强三角函数学习的目的性,本章采用月相变化图和简谐运动图的组合作为章头图,并以“大到宇宙天体运行,小到质点的运动,现实世界中具有周期性变化的现象无处不在”为开篇语,再在章前引言中明确提出“三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型”。这样的安排使得三角函数的作用体现得更加清楚,也能使学生更加明确学习三角函数的意义。

  3.任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点。过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响,“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解。

  本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。

  如图1,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么

  y叫做α的正弦,记作sinα,即

  sinα=y;

  x叫做α的余弦,记作cosα,即

  cosα=x。

  图1

  这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系。另外,如果α是弧度数,即∠xOP=αrad,那么正弦、余弦函数就是关于任意实数α的函数,这时的自变量和函数值都是实数,这就与数学1中给出的一般函数概念完全一致了。事实上,在弧度制(这是一种用半径来度量角的方法)下,角度和长度的单位是统一的,正是这种单位的统一,使得我们可以这样来描述这两个函数的对应关系:

  把实数轴想象为一条柔软的细线,原点固定在单位点A(1,0),数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上,负半轴顺时针缠绕在单位圆上,那么数轴上的任意一个实数(点)t被缠绕到单位圆上的点P(cost,sint)。

  基于上述理由,我们认为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质,也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学(特别是应用数学)中的重要性。事实上,后续的内容,特别是在微积分中,最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数。

  另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了。例如从定义可以方便地推导同角三角函数的关系式、诱导公式、和(差)角公式,而且为公式的记忆提供了图形支持;单位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的直观载体,我们可以借助单位圆,直接从定义出发讨论三角函数的性质……

  当然,这个定义与人们熟悉的用角的终边上点的坐标的“比值”来定义是等价的,这正是教科书在1.2.1中安排例2的原因。

  4.三角函数的诱导公式过去是从求三角函数值引入的,把的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式,并且把关于的诱导公式作为和(差)角公式的推论给出。本教科书改变了这种做法。教科书借助单位圆,先引导学生讨论了这些角的终边与角α的终边之间的对称关系,然后根据三角函数定义导出所有诱导公式。这样,既能很好地反映诱导公式的本质(圆的对称性的代数表示),又使它们成了一个有机的整体。另外,去掉了关于的诱导公式(因为它与-α的诱导公式等价),增加了的诱导公式。为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯,在诱导公式中全部采用了弧度制。

  5.正弦、余弦函数按照从函数的定义到作函数图象再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开,三角恒等变换不再穿插其中,这一顺序与研究其他函数的顺序一致,使得三角函数的研究更加简洁.另外,把周期性作为第一条性质,目的是为了体现它的重要性。正切函数先利用诱导公式、单位圆讨论性质,然后再利用性质作图象,这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数性质。

  6.对函数图象的研究,由于涉及的参数有3个,因此本章采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法安排内容,具体线索如下:

  (1)探索φ对y=sin(x+φ)的图象的影响;

  (2)探索ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响;

  (3)探索A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响;

  (4)上述三个过程的合成。

  在对上述四个问题的具体讨论中,先让学生对参数赋值,形成对图象变化的具体认识,然后再推广到一般情形。

  这样安排既分散了难点,又使学生形成清晰的讨论线索,从中能使学生学习到如何将复杂问题分解为简单问题并“各个击破”,然后整合为整个问题的解决的思想方法,培养有条理地思考的习惯,有利于培养学生的逻辑思维能力。

  7.“三角函数模型的简单应用”是一个新增内容,主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法。选择的问题包括:

  (1)用已知的三角函数模型解决问题;

  (2)将复杂的函数模型转化为等基本初等函数解决问题;

  (3)根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题;

  (4)通过数学建模,利用数据建立拟合函数解决实际问题。

  安排本节内容的目的是要让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用,体验三角函数与日常生活和其他学科的联系,以使学生体会三角函数的价值和作用,增强应用意识,同时还要使学生加深理解有关知识。在安排内容时,特别注意了数学应用过程的完整性,加强了对问题情景和解题思路的分析,以及解题后的反思这两个环节。这样做可以保持数学应用中的数学思维水平,提高学生对相应的思想方法的认知层次,培养学生良好的解题习惯。

  三、编写中考虑的几个问题

  1.加强几何直观,强调数形结合思想。

  从三角函数的定义方法可以看出,三角函数及其性质与圆有着直接的联系。事实上,任意角、任意角的三角函数,三角函数的性质(周期性、单调性、最大值、最小值等),同角三角函数的关系式,诱导公式,三角函数的图象等,都可以借助单位圆得到认识,这也是人们也把三角函数称作“圆函数”的原因。因此,在三角函数的研究中,借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段,而且这也是使学生领会数形结合思想,学会数形结合地思考和解决问题的好机会。

  为了发挥单位圆在几何直观中的作用,教科书在引进弧度制时就渗透了单位圆概念,并在讲三角函数概念之前给出单位圆概念,然后直接由单位圆引出三角函数定义。在后续内容的处理中,始终以单位圆作为一个载体。

  例如三角函数的诱导公式的推导,教科书引导学生利用单位圆的对称性,通过讨论单位圆上对称点的坐标的关系来发现诱导公式,使得诱导公式二~公式六都与单位圆上的对称图形(即角的终边的对称性)联系在一起,从而使这五组公式形成一个有机整体.

  数形结合的思想表现在由数到形和由形到数两个方面。教科书在讨论三角函数的图象和性质时,一方面从函数的图象和单位圆中的三角函数线两个角度出发来研究正弦函数、余弦函数的性质,另一方面又在讨论正切函数性质的基础上再研究函数的图象.

  2.强调三角函数作为刻画现实世界周期变化现象的数学模型的思想。

  教科书在开篇语中通过列举大量现实世界中的周期变化现象,并提出现实问题中不同的变化规律需要不同的函数来刻画,而三角函数就是刻画周期变化规律的数学模型,这样可以使学生在三角函数的学习之初就明确三角函数的地位作用。在研究三角函数的图象、性质时,尽量结合物理中的简谐运动等典型实例。为了加强数学模型思想,教科书专门设置了“三角函数模型的简单应用”一节,通过典型实例,引导学生经历分析实际问题、建立三角函数模型、用三角函数模型解决问题的基本过程,以使学生更好地体会三角函数在解决周期变化现象时的作用,例如本节的例4由给出的潮起潮落的变化数据,通过作散点图,选择函数模型,建立函数模型,并用得到的函数模型解决有关问题,就是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的过程。通过这样的例子,可以使学生用三角函数刻画周期现象的过程与方法。

  另外,本章突出了对三角函数及其性质的研究这条主线,对于其他一些细节,例如求函数的定义域、值域,用同角三角函数的基本关系式、诱导公式进行恒等变形等等,都作了淡化处理.

  3.通过问题引导学生主动思维,使学生得到思维训练

  为了引导学生主动思考,教科书利用“观察”“思考”“探究”等栏目设置了大量问题。这些问题有的是从刻画实际问题的需要而产生的,例如任意角概念的引入,三角函数图象及其性质的研究,函数的图象的研究等,更多的是从数学发展内部提出的,例如用单位圆上点的坐标定义三角函数后,自然要提出圆的性质与三角函数性质之间关系的问题,而这个问题恰好是讨论同角三角函数之间的关系、诱导公式以及三角函数的图象与性质的出发点:同角三角函数的关系与单位圆中直角三角形;诱导公式与圆的对称性;三角函数的周期性与圆周长;三角函数的单调性与单位圆中有向线段的变化规律……总之,教科书利用知识的发生发展过程来自然地提出问题,引导学生层层深入地进行思考,可以使学生得到思维方法上的训练。

  类比、联系、推广、化归等是数学研究中的常用方法,本章努力引导学生学习这些方法。例如,通过类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制;联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路;从单位圆上点的坐标表示锐角三角函数推广到任意角的三角函数定义;研究函数的图象,按照y=sinx──y=sin(x+φ)──y=sin( φ)──的线索展开,体现了从简单到复杂、由特殊到一般的化归方法.

  对于那些可以直接类比或经过简单推论就可以得出的结论,教科书利用“思考”“探究”栏目,通过“留白”的方式让学生自己思考探究而得出结果.例如,特殊角的角度与弧度的关系表;三角函数的定义域,三角函数值的符号;余弦函数性质的研究;由y=sinx的图象到的图象,等等。

  4.适当使用信息技术

  在本章,信息技术的使用在如下几个方面得到体现:一是利用信息技术工具进行角度制、弧度制的单位互换,求三角函数值,作函数图象等;二是利用信息技术研究问题;三是利用“信息技术使用”栏目提供弹性内容。例如,在利用计算机通过单位圆中的三角函数线作函数图象时,将三角函数的定义、单位圆中的三角函数线、三角函数图象等诸方面紧密联系在一起,并通过角的变化,将这种联系直观地、动态地表现出来;在三角函数模型的应用中,既强调了信息技术工具对数据处理的必要性,又突出了信息技术工具在函数作图中的优势,还提出了利用信息技术进行函数的拟合;与算法联系,设置了“用信息技术制作三角函数表”,等等.

  考虑到我国各地在数学教学中使用信息技术的不平衡性,教科书在使用信息技术上采取了弹性处理,即在适宜使用信息技术的地方,采用边空注释的方法,对信息技术的使用作出提示或说明。

  四、对教学的几个建议

  1.准确把握教学要求。

  与以往的三角函数内容相比较,本章加强了三角函数作为刻画现实世界的数学模型,借助单位圆理解三角函数的概念、性质,以及通过建立三角函数模型解决实际问题等。“标准”对三角函数内容的削减比较多,课时量也减少了,本章严格按照这种要求,删减了任意角的余切、正割、余割,三角函数的奇偶性,已知三角函数求角,反三角函数符号,将对三角函数周期性的一般讨论作为选学内容。另外,任意角概念,弧度制概念,同角三角函数的基本关系式,诱导公式等都降低了要求。这样的处理,把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上,而对一些细枝末节的内容不再作过多要求。教学时应当把握好这种变化,遵循“标准”所规定的内容和要求,不要随意补充已被删减的知识点,也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目(例如求定义域、值域;已知,求α的其他三角函数值;用诱导公式进行复杂变换的问题等)。

  2.加强相关知识的联系性,强调数学思想方法。

  由于周期现象在现实中广泛存在,例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交流电、音乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等,因此它是物理、地理、生物、天文等其他学科研究的对象,这样,本章内容与其他学科有紧密联系。从数学内部来说,三角函数的概念、性质与圆的知识有紧密联系,在整个三角函数内容的讨论中,单位圆发挥了关键作用。因此教学中应充分利用学生的生活经验、其他学科的知识以及关于圆的性质方面的知识,使三角函数的学习建立在丰富的背景上。

  从数学思想方法看,本章重点是数学模型思想和数形结合思想。教学中应当充分利用章引言提供的情景,引导学生从“刻画周期现象的数学模型”的角度来认识三角函数,使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识。在此基础上,要充分注重运用三角函数模型解决实际问题的教学,使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程。

  前已指出,本章讨论的内容都可以用单位圆作为直观工具。因此,为了更好地体现数形结合思想,教学中要充分发挥单位圆的作用,并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯,引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质,提高分析和解决问题的能力。

  三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数,教学中应当注意引导学生以数学1中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识,即要结合三角函数引导学生进一步理解集合与对应观点下的函数概念,函数中研究的基本问题和基本思路(根据刻画现实中周期现象的需要,引进三角函数来描述周期性变化的规律;在遇到一个新的函数时,总要看看它的图象、单调性、有没有特殊取值等等),这样可以使学生学习在高观点指导下进行数学学习与研究的思想方法,这对提高学生在学习过程中的数学思维水平是非常有帮助的。同样的,在讨论 的图象时,实际上涉及函数变换与图象变换(图象的平移、伸缩与函数变换的关系),需要数形结合思想的指导,虽然教师不一定要明确地向学生指出,但教学时还是要注意渗透.

  3.恰当使用信息技术

  在下列内容的教学中,应积极鼓励学生使用计算器或计算机,以加强知识的发生发展过程,加深对有关概念的认识,突破学习中可能遇到的困难。

  (1)终边相同的角的概念的认识;

  (2)弧度制的认识,弧度与角度的互化,非特殊角的三角函数值的计算,sin-1,cos-1,tan-1的使用;

  (3)任意角的三角函数的定义,用三角函数线表示正弦、余弦和正切函数;

  (4)画三角函数的图象,用三角函数的图象研究三角函数的性质;

  (5)画函数y=Asin( φ)的图象,探索A、ω、φ对 图象的影响;

  (6)根据实际数据拟合函数图象.

    
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