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  在本章中,学生应该在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

  一、内容与课程学习目标

  本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习,学生应当达到以下学习目标:

  (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。

  (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

  二、内容安排

  本章教学约需8课时,具体分配如下(仅供参考):

  1.1正弦定理和余弦定理               约3课时

  1.2 应用举例                    约4课时

  1.3 实习作业                    约1课时

  本章的知识结构如下图所示

   

  1.正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系,它们是解三角形的两个重要定理。

  对于正弦定理,教科书首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系,引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系,就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中,边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦,就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理,考察结论是否适用于锐角三角形,可以发现asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样,利用高的两个不同表示,就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式,教科书要求学生自己通过探究来加以证明。

  如果∠A<∠B,由三角形的性质,。当∠A、∠B都是锐角,由正弦函数在区间(0,π/2)上的单调性可知,sin A<sin B。正弦定理指出了三角形中边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中大边与大角的一种准确的数量关系.当∠A是锐角,∠B是钝角,因为∠A+∠B<π,所以∠B<π-∠A,由正弦函数在区间(π/2, π)上的单调性可知,sin B > sin(π-A)=sin A,所以sin A<sin B。等式仍描述了此三角形中大边对大角的一种准确的数量关系。所以,教科书指出,正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.

  2.用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用,教科书首先说明了什么是解三角形:一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.由已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.应该注意,上述对于解三角形的描述是对传统的关于解三角形的一个简化。在传统的解三角形问题中,还把三角形的中线、高、角平分线等也作为三角形的元素。教科书对此作了简化的处理,仅把边和角作为元素。

  正弦定理实际上包含了三个等式,这就是:

    

  上面的每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系,因此,正弦定理可以用于两类解三角形的问题:

  已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角。

  (2) 已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角.

  3.教科书用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情形,教科书在探究与发现:“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。教科书的例2也涉及了这种情况,在得出了 sin B =0.8999后,应该指出在0°到180°之间,对应于sin B =0.8999的角有两个,一个是锐角64°,一个是钝角116°,这两个角是否都合要求呢?根据“三角形中大边对大角”来判断,因为b>a,所以B>A,而A=40°,可知求出的B的两个值都符合题意,即本题有两个解。  

  4.对于余弦定理,教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法,已知三角形的两条边及其所夹的角,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.解这个三角形,就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边,设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题,考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

  余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角,这就是余弦定理的推论,也可以说是余弦定理的第二种形式。

  5.应用余弦定理及其推论,并结合正弦定理,可以解决的解三角形问题有:

  (1)已知两边和它们的夹角解三角形;

  (2)已知三角形的三边解三角形。

  教科书中的例3和例4说明了余弦定理及其推论并结合正弦定理,可以解决的解三角形问题。在已知两边和及其夹角解三角形时,可以用余弦定理求出第三条边,这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题。

  6.正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用,教科书在第1.2节“应用举例”介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。

  对于未知的距离、高度等,存在着许多可以供选择的测量方案,可以应用全等三角形的方法,也可以应用相似三角形的方法,或借助解直角三角形的方法,以及在本节介绍的应用两个定理的方法,等等。但是,由于在测量问题的实际背景下,某些方法也许不能实施,如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,一种方法会有局限性。这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。本节的例1和例2是两个有关测量距离的问题。例1 是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,例2 是测量两个不可到达的点之间距离的问题。例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题。由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题。例6是一个有关测量角度的问题。

  7.关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题。教科书直接给出了计算三角形的高的公式,

  

  

  

  这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到。教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式。

  

  在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,就可以求出三角形的面积。教科书的例7和例8说明了在不同已知条件下求三角形面积问题的常见解法。已知三角形的三边求三角形面积的问题在历史上是一个重要的问题,在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明。

  例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于繁琐的训练,教科书选择的例题仅限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题。

  8.本章内容有很强的实践性,教科书安排了一个利用本章知识的有关测量的实习作业。

  9.本章的教学重点是通过对于三角形的边角的探究,证明正弦定理和余弦定理,并运用两个定理解决一些有关的实际问题。

  本章的教学难点是通过对于三角形的边角关系的探究,证明正弦定理和余弦定理。

  三、编写中考虑的几个问题

  1.重视数学思想方法的教学

  数学思想是对于数学知识(数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等)的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识,带有普遍的指导意义,蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。

  本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,就是“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”,“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全等”,对于这两个问题的定量的研究就是,“在一个三角形中,如果已知三边,三条已知长度的边分别会对应多大的角?”“在一个三角形中,如果已知两边及其所夹的角,怎样求出三角形其余的边和角的大小?”教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题:“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学。

  2.注意加强前后知识的联系

  加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好准备,能使整套教科书成为一个有机整体,提高教学效益,并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

  本章内容处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样,从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。

  《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容,位置相对靠后,在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容,这使这部分内容的处理有了比较多的工具,某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对于三角形进行讨论,方法不够简洁,教科书则用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力。

  在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”,并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从上可知,余弦定理是勾股定理的推广.”

  3.重视发展应用意识和数学实践能力

  用数学是学数学的出发点和归宿。我国的中学数学教学与国际上其他一些国家的中学数学教学比较,具有重视基础知识教学和基本技能训练,重视数学计算、推理和空间想像能力的培养等显著特点,因而我国中学生的数学基本功比较扎实。然而,改革开放也使我国数学教育界看到了我国中学数学教学的一些不足。其中比较突出的两个问题是,学生应用数学的意识不强,创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的数学知识应用到实际问题中去,对所学数学知识的实际背景了解不多,对于数学在人类文明发展史上的重要作用认识不足;学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强,而当面临一种新的问题时却办法不多,对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况,我们的数学教科书为此作了一些努力。数学教科书重视从实际问题出发,引入数学课题,最后把数学知识应用于实际问题。

  解三角形的知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的,本章的教学内容有显著的实践性,本章教材重视发展学生应用数学的意识和数学实践能力。

  本章一开始的引言就从一个测量问题引入:“在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”接着指出:“在数学发展历史上,受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动,解三角形的理论得到不断发展,并被用于解决许多测量问题.”这就点出了本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要,使学生初步认识学习解三角形知识的必要性。然后以一系列的实际问题引入本章要学习的数学知识:“在初中,我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题.在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题,这些问题仅用锐角三角函数就不够了,例如:

  样航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?

  怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?

  怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?

  怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?

  这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.在本章中我们要学习正弦定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题.”

  本章还安排了解三角形的“应用举例”的内容,介绍正弦定理和余弦定理在测量距离、高度、角度、几何计算等方面的应用。对于未知的距离、高度等,存在着许多可以供选择的测量方案,可以应用全等三角形的方法,也可以应用相似三角形的方法,或借助解直角三角形的方法,以及在本节介绍的应用两个定理的方法,等等。由于在实际测量问题的实际背景下,某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,一种方法会有局限性。这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。如例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,例2 是测量两个不可到达的点之间距离的问题。例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题。教科书注意了问题情景的真实性,重视体现数学应用的实际价值。对于某些测量问题,最后能得到一个公式,或一个操作程序,使学生能解决一类测量问题。历史上,解三角形的知识产生主要受到天文测量、航海测量、地理测量等实践活动的推动,在例题和习题的选择中,注意配备几个方面的问题。

  本章内容有很强的实践性,教科书安排了一个利用本章知识的有关测量的实习作业。

  四、对教学的几个建议

  1.要重视学生的创造能力和创新意识的培养

  在国际竞争日益激烈的当今世界,人们越来越清楚认识到,国家的富强乃至企业的兴衰,无不取决于对科技知识的学习、掌握及其创造性的开拓和应用。但创造能力并非与生俱有,必须通过有意识的学习和训练才能形成。数学教育必须重视培养学生应用所学知识进行创造性工作的能力。要培养学生的创造能力,就要让学生具有积极探索的态度,猜想、发现的欲望。数学教学要设法鼓励学生去探索、猜想和发现,培养学生的问题意识,经常地启发学生去思考,提出问题。

  课程标准要求在本章的教学中,学生应该在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。所以,在本章的教学中,应该根据教学实际,启发学生不断提出问题,研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中,应该因势利导,根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理,可以启发得到有应用向量方法的证明,对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中,一个问题也常常有多种不同的解决方案,应该鼓励学生提出自己的解决办法,并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序,得到在实际中可以直接应用的算法。

  2.重视认真完成实习作业

  本章安排了一个实习作业,目的是让学生进一步巩固所学的知识,提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力,增强学生应用数学的意识和数学实践能力。在学习测量这样的内容时安排实习作业,对于学生真正理解和掌握所学的知识是非常必要的。

  在做实习作业之前,应该要求学生准备好测量工具,如经纬仪和钢卷尺或皮尺等。教师要注意对于学生实习作业的指导,包括对于实际测量问题的选择,及时纠正实际操作中的错误,解决测量中出现的一些问题。对于实习作业,要求写出实习报告。

    
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