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  本册教科书包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容。全书约需36课时,具体课时分配如下:

  第一章 解三角形      约8课时

  第二章 数列          约12课时

  第三章 不等式        约16课时

  一、本模块的内容与地位作用

  三角恒等变换在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中,学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

  数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中,学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。

  不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中,学生将通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等式、方程及函数之间的联系。

  1.“解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理,及其简单应用,旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

  在数学发展史上,受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动,解三角形的理论得到不断发展,并被用于解决许多测量问题。本章的引言以一系列的实际问题引入要学习的数学知识。正、余弦定理是刻画三角形边和角内在关系的基本定理,也是最基本的数量关系之一。教科书从学生熟悉的直角三角形出发,引入了正弦定理。然后利用向量方法证明了余弦定理,这样的处理充分考虑到了学生的认知特点以及不同知识之间的联系,也显得比较自然。

  教科书明确了正弦定理可以解决的两类解三角形问题:“已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角”、“已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角”,并用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法。进而,指出应用余弦定理与正弦定理,可以解决“已知两边和它们的夹角解三角形”、“已知三角形的三边解三角形”的问题。

  正弦定理和余弦定理在实际测量问题中有许多应用,教科书在第1.2节“应用举例”介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些具体应用。在阅读与思考中介绍了海伦公式以及我国古代数学家秦九韶的贡献。本章还设计了一个有关测量的实习作业。

  2.“数列”的主要内容是数列的概念与表示,等差数列与等比数列的通项公式与前n项和。数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。教科书还通过在“阅读与思考”中介绍“九连环”问题,以及在“探究与发现”中设计“购房中的数学”,使学生进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。

  3.“不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系,帮助学生理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值,进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的基本方法,用二元一次不等式组表示平面区域,以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法,最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。

  二、编写中考虑的几个问题

  1.关注数学情境的建立,重视反映数学的应用价值

  教科书在整体上关注数学情境的建立,充分挖掘现实世界和实际生活中有关数学实例,力求问题的引入能够反映一定的生活背景,激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

  在第一章“解三角形”中,引言就从一个测量问题引入:“在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在解三角形的过程中不断与一些实际测量问题相联系,包括怎样航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?等等。

  第二章“数列”自始至终贯彻“数列作为一种特殊函数,是反映自然规律的基本数学模型”的思想,创造性地发掘了日常生活中大量实际问题,比如三角形数、正方形数、存款利息、出租车收费、校园网问题、希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物质的衰变、诺贝尔奖金发放金额问题、商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等等。使学生充分感受到数列是反映现实生活的数学模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的。

  第三章“不等式”从日常生活中经常用到的“长与短、”“大与小”、“多与少”、“远与近”等实际情境中引入不等关系,通过学生感兴趣的上网问题及倍感关注的计时收费问题引入一元二次不等式的有关概念,通过让学生比较两种不同的收费方式,从中认识到学习不等关系及不等式的必要性。从银行贷款中的资金分配问题中引入二元一次不等式组的数学模型,从现实生产、生活中,经常遇到的资源利用、人力调配、生产安排等问题中引入二元线性规划问题。线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。结合北京召开的第24届国际数学家大会的会标,联系我国古代数学家赵爽的弦图,紧紧抓住弦图中相关面积间存在的数量关系引入不等式

  2.重视各部分内容之间的联系

  数学各部分的内容构成一个有机的整体。教科书充分注意到数学的这样一个特点,力求体现这种联系。例如,在第一章中,对于正弦定理和余弦定理,教科书注意它们与已经学习的关于三角形的定性研究的结论的联系。余弦定理的证明使用了向量的方法,不仅使定理的证明简洁而明快,而且也能够体现向量及其运算的作用。第二章则比较多的注意到数列与函数的关系,并始终强调数列作为一种特殊函数的意义,同时也注意联系算法和微积分,揭示“离散”和“连续”之间的关系。第三章则强调不等式与函数、方程的关系,在一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题中,始终注意“数形结合”,通过对不等式、函数与方程关系的理解来解决所面临的不等式的问题。

  在各章习题、探究性问题和阅读材料中也注意到了这个问题。

  3.重视基本数学思想方法的教学

  教科书注意基本的数学思想方法的教学,如函数的思想,优化的思想,以及类比、归纳等合情推理的方法。第一章“解三角形”对于正弦定理和余弦定理的研究都是从对于初中数学中对于三角形的定性研究进一步深化为定量研究的角度去展开的,其中蕴含着函数思想。正弦定理的证明从直角三角形的情形出发,体现从特殊到一般的归纳过程,从一定程度上也反映了类比的思想。第二章不仅贯彻数列是特殊函数的观点,而且不断在等差数列和等比数列之间进行类比,从求1+2+3+…+100的高斯算法出发,将这种规律性推广到一般等差数列,从而获得一般等差数列的求和思路,这又是归纳的生动案例。在第三章中,对于二元一次不等式与“平面区域”的关系,体现了从特殊到一般的归纳思想,线性规划的内容则突出体现了优化的思想。

  同时,教科书注意体现“数形结合”的思想,数列通过图象揭示与相应函数的联系,第三章“不等式”则更强调图像意义,特别是线性规划,从问题的提出到解决,都直接依赖于“平面区域”。

  4.适当的使用现代信息技术

  现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。教科书比较充分的考虑了现代信息技术的教育价值,在各部分内容中都有所体现,在第二章和第三章,分别设计了“信息技术应用”专题,介绍 的近似计算和利用EXCEL解决线性规划问题等,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。

  三、使用本书的几个建议

  1.注意创设问题情境,激发学生学习数学的兴趣

  内在动力是数学学习的根本动力,在教学过程中应该充分调动学生学习数学的兴趣。解三角形、数列和不等式三章内容有着丰富的实际背景,除了教科书中的实例还有很多很好的相关的素材,教学过程中应该充分给予挖掘,并针对学生的实际认真设计教学方案,提高教学的整体效果。

  2.既要重视背景的揭示,也要关注基础的落实

  “标准”特别强调通过丰富的实际背景反映数学的实质,强调数学的应用价值,这在教科书中已经有了很充分的体现。但是,数学的学习离不开实践,“做数学”是最有效的数学学习方法。因此,在教学过程中应该重视基础的落实,将常规的练习和探究性问题、实习作业有机结合起来,给学生创造更多的实践机会,在“做数学”的过程中落实基础。

  3.注意避免过于繁琐的形式化训练

  从数学教学的传统上来看,解三角形、数列和不等式三章的内容有不少高度技巧化、形式化的问题,在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。弱化过分繁琐和技巧化的代数恒等变形是高中数学课程标准的明确要求,应该在教学过程中很好的把握。

  4.适当的使用信息技术

  高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合(如把算法融入到数学课程的各个相关部分),整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。因此,在有条件的地区,可以利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容,在保证笔算训练的前提下,尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台,加强数学教学与信息技术的结合,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。具体来说,在解三角形的过程中可以利用计算器进行一些繁杂的计算,在数列一章的学习中,可以利用相关的计算机软件来探索规律,在不等式一章中可以利用图形计算器或有关计算机软件来寻求不等式的解,可以用EXCEL来解简单的线性规划问题。

    
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