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  一、内容和内容解析

 

线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。

 

本节课为该单元的第3课时,主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法.重点是如何根据实际问题准确建立目标函数,并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。

 

与其它部分知识的联系,表现在:

 

   

 

  二、目标和目标解析

 

  本课时的目标是:

 

  1.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念.

 

了解线性规划模型的特征:一组决策变量表示一个方案;约束条件是一次不等式组;目标函数是线性的,求目标函数的最大值或最小值.熟悉线性约束条件(不等式组)的几何表征是平面区域(可行域).体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系.

 

2.掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤.

 

会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型.能理解目标函数的几何表征(一族平行直线).能依据目标函数的几何意义,运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大(小)值,其基本步骤为建、画、移、求、答.

 

3.培养学生数形结合的能力.

 

对模型中z的最小值的求解,通过对式子的变形,变为,利用数形结合思想,把看作斜率为的平行直线系在y轴上的截距.平移直线,使其与y轴的交点最高,观察图象直线经过M42),得出最优解x4y2

 

  三、教学问题诊断分析

 

线性规划问题的难点表现在三个方面:一是将实际问题抽象为线性规划模型;二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征;三是线性规划最优解的探求.其中第一个难点通过第1课时已基本克服;第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决,本节将继续巩固;第三个难点的解决必须在二元一次不等式(组)表示平面区域的基础上,继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化,以图解的形式解决之.

 

将决策变量xy以有序实数对(xy)的形式反映,沟通问题与平面直角坐标系的联系,一个有序实数对就是一个决策方案.借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系;以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。

 

l        可行解(含最优解)的几何表征

 

l        可行域(约束条件)的几何表征

 

l        目标函数的几何表征

 

  四、学习行为分析

 

通过前两课时,学生对于物资调运问题、产品安排问题、下料问题等已初步学会了如何分析实际应用问题,能根据实际数据假设变量,从中抽象出二元一次不等式(组)作为约束条件;能联想其几何意义,用相应的平面区域行表示它们.

 

巩固二元一次不等式(组)所表示的平面区域的基础上,使学生能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数;对于目标函数学生未必能一下子想到相应的直线系,教学中,教师需引导学生把z看成常数,把z=2x+3y看成关于x,y的二元一次方程;然后引导学生关注z与直线z=2x+3y的纵截距的关系,借助直线的截距概念,把较为复杂的线性规划问题变成易于理解和易于操作的图形变换,直观地运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大(小)值

 

通过这种从点与数对的对应,线与方程的对应,到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升,使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性.

 

  五、教学支持条件分析

 

考虑到学生的知识水平和消化能力,教师可借助计算机或图形计算器,从激励学生探究入手,讲练结合,精准的直观演示能使教学更富趣味性和生动性.

 

通过让学生观察、讨论、辨析、画图,亲身实践,调动多感官去体验数学建模、用模的思想,让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系.

 

  六、教学过程设计

 

  1.问题引入

 

引例:某工厂用AB两种配件生产甲、乙两种产品.每生产一件甲产品使用4A配件,耗时1h;每生产一件乙产品使用4A配件,耗时2h.已知该厂每天最多可从配件厂获得16A配件和12B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?

 

问题1:该厂生产什么?怎么生产?

 

设计意图:引导学生读题,完成实际问题数学化的过程.承前一课时,使学生进一步熟练如何从实际问题中抽象出不等式组(约束条件)并用平面区域表示.

 

设甲、乙两种产品每日分别生产xy件,生产甲产品需满足;生产乙产品需满足;生产时间需满足,从而得出二元一次不等式组:

 

           1

 

问题2:可能的日安排,什么意思?

 

设计意图:让学生了解日生产方案的数学符号表示,不等式组(1)的整数解的实际意义,并顺势给出“可行解”、“可行域”概念.

 

教学中,可以结合几何画板,让学生“读出”可行解,即可行域中的18个整点:

 

00),(01),(02),(03);

 

10),(11),(12),(13);

 

20),(21),(22),(23);

 

30),(31),(32);

 

40),(41),(42).

 

      

 

对于边界附近的点,如(33),(43,),(44)是否可行域中,需引导学生配合不等式来判断,这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考.

 

问题3:若每生产一件甲产品获利2万元,每生产一件乙产品获利3万元,如何安排生产利润最大?

 

设计意图:通过添加最优化问题转入对新知识的探究,使学生体会知识生成的自然和线性规划模型的价值.

 

  2.问题的深入

 

利润函数模型的建立.设生产利润为z(万元),则z2x3y

 

这是一个二元函数,甲、乙两种产品的数量共同影响生产利润,不是学生熟悉的问题.

 

教学时,可引导学生分别求各种可能安排的利润(列举):z=?

 

x

y

z=2x+3y

0

0

0

0

1

3

4

1

11

4

2

14

 

观察得到,当x4y2时,z最大,z的最大值为14万元.引出最优化问题,顺势给出“最优解”概念.

 

问题4:如何看待利润函数的解析式z2x3y?

 

设计意图:得出利润函数z2x3y后,学生多会与一元函数求最值的问题进行类比,考虑定义域(这里是可行域)的作用,求最值的代数的或几何的方法.在学生活跃的思维中,寻求数形结合思想方法应用的契机.

 

由利润函数的解析式z2x3y,视z为常数,则z2x3y就是关于xy的二元一次方程,在平面直角坐标系中,方程z2x3y表示斜率为,在y轴上的截距为的一组平行直线(直线是其中的一个代表).

 

由于z2x3y中的(xy),来自于可行域,所以直线z2x3y与可行域有公共点.

 

可追问以下问题:

 

当直线z2x3y经过可行域中的哪个(些)点时,z最大?

 

当直线经过可行域中的哪个(些)点时,最大?

 

当直线经过可行域中的哪个(些)点时,与y轴的交点最高?

 

故求z的最大值,可转化为求的最大值,而是直线z2x3yy轴上的截距,只要看直线系z2x3yy轴的交点的最高即可.

 

从(一元)函数的观点来看,z是以直线z2x3yy轴的交点的纵坐标为自变量的(一元)函数.

 

由于y的系数为正,故z是直线的纵截距的增函数,即当直线的纵截距最大(与y轴的交点最高)时,目标函数有最大值.(熟练之后,就不必化直线方程为斜截式了!)

 

问题5:怎样求解线性规划问题?

 

设计意图:通过这个具体例子,让学生梳理问题解决的思路,归纳最优化问题的求解思路:

 

1步:依题意,列出不等式组

 

    

 

2步:画出可行域(实际上也就找到了可行解).

 

3步:依题意,求出目标函数

 

 

4步:作出目标函数所表示的某条直线(通常选作过原点的直线),平移此直线并观察此直线经过可行域的哪个(些)点时,函数有最大(小)值.

 

5步:求(写)出最优解和相应的最大(小)值.

 

解得点M的坐标(42).

 

x4y2时,z最大,zmax2×43×214(万元).

 

教师可作以下示范解答

 

解:设……,依题意,得不等式组:
   
作平面区域(如图),

 

      

 

设……,依题意,得目标函数z2x3y

 

作直线2x3y0,平移之,经过点M时,z最大.

 

x4x2y8得点M的坐标(42).

 

因此,当x4y2时,z最大,zmax2×43×214(万元).

 

  3.线性规划概念组

 

问题6:什么是线性规划问题?

 

设计意图:在学生已经获得感性认识的基础上,给出线性规划的相关概念.

 

在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题.线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成,其中可行域是可行解的集合,可行解是满足约束条件的解.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解.

 

结合本例,让学生思考最优解、可行解、可行域有怎样的关系?

 

教师总结,最优解一定是可行解,可行解的集合即可行域;最优解一般位于可行域的边界上.并进一步概括解线性规划问题的步骤,可简化为5个字:建、画、移、求、答.

 

建:建立线性规划的数学模型(约束条件和目标函数)

 

画:画出线性约束条件所表示的可行域;

 

移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;

 

求:通过解方程组求出最优解;

 

答:回归问题,写出答案.

 

  4.问题的变式

 

设计意图:通过目标函数的不同变式,让学生熟悉最优解的求法,尤其是y的系数为负的情况.借助“几何画板”软件集中呈现目标函数的图形变化,能提高课堂效率,建立精准的数形联系.

 

问题7:如果每生产一件甲产品获利3万元,每生产一件乙产品获利2万元,如何安排生产利润最大?

 

          

 

目标函数为,直线y轴的交点的横坐标为

 

作出直线,并平移,观察知,当直线经过点(42)时,直线y轴的交点最高,即x4y2时, z取最大值,且zmax16

 

问题8:如果每生产一件甲产品获利2万元,每生产一件乙产品获利4万元,如何安排生产利润最大?

 

       

 

目标函数为,直线y轴的交点的横坐标为

 

作出直线,并平移,观察知,当直线经过点(23)或(42)时,直线y轴的交点最高,即x2y3x4y2时, z取最大值,且zmax16

 

问题9:如果每生产一件甲产品获利1万元,每生产一件乙产品获利4万元,如何安排生产利润最大?

 

      

 

目标函数为,直线y轴的交点的横坐标为

 

作出直线,并平移,观察知,当直线经过点(23)时,直线y轴的交点最高,即x2y3时, z取最大值,且zmax14

 

问题10:如果每生产一件甲产品获利3万元,每生产一件乙产品亏损2万元,如何安排生产利润最大?

 

让学生先猜测;注意:z的最大值→直线z3x2yy轴上的截距-z/2的最小值.

 

        

 

目标函数为,直线y轴的交点的横坐标为

 

作出直线,并平移,观察知,当直线经过点(40)时,直线y轴的交点最低,即x4y0时, z取最大值,且zmax12

 

猜测与实际运算结果相符吗?问题出在哪?

 

教师可借助Exel针对对所有可行解,求出生产利润.

 

 

x

y

z=3x2y

0

0

0

0

1

-2

4

1

10

4

2

8

 

 

教学时,对于每一种变式,都需要学生首先明确:

 

1)问题满足的不等式组是什么?对应怎样的可行域?

 

2)目标函数是什么?对应怎样的直线(系)?

 

3)求目标函数的最大值,还是最小值?关注对应的直线(系)与y轴的交点的最高点,还是最低点?

 

  七、评价设计

 

小结:

 

1.请谈谈你对“线性规划”的理解?“线性规划”中的线性规划的数学意义是什么?

 

教师根据学生的回答,强调以下两个方面:

 

线性:约束条件是线性的,目标函数也是线性的!

 

规划:规划就是求最优解,求可行域中使目标函数取得最值的可行解.

 

与(一元)函数类比:

 

 

函数

线性规划

自变量

 

 

自变量的范围

 

 

最值

 

 

最优解

 

 

 

2.解决线性规划问题时是怎样体现数形结合思想方法的?

 

课堂练习P103,第1题)

 

1)求的最大值,使满足约束条件

 

 

2)求的最大值,使满足约束条件

 

 

课下作业

 

1)补充:解决线性规划问题需要哪些主要步骤?

 

2)教科书P105,习题3.3A3

 

设计意图:这里是两个练习和一个作业题都是纯数学问题,主要是运用数形结合思想,熟练求出线性目标函数的最值.

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