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一、选择题

1.如图,正方形边长为10,且四个小正方形的对称中心在正方形的顶点上,小正方形的各边与各边平行或垂直,若小正方形边长为,阴影部分面积为,则能反映的函数关系的图象大致是(  ).

考查目的:考查二次函数的图象及建模能力.

答案:D.

解析:由题意知,阴影部分的面积和恰好等于一个小正方形的面积,∴函数的解析式为

,∴符合题意的图象为D.

 

2.今有一组实验数据如下:

1.99

3.0

4.0

5.1

6.12

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律,其中最接近的一个是(  ).

A.      B.      C.      D.

考查目的:考查几类函数的增长速度及函数的拟合.

答案:C.

解析:画出数据的散点图易知,答案应选C.

 

3.下列函数中,随的增大而增长速度最快的是(  ).

A.       B.      C.        D.

考查目的:考查指数函数、对数函数、幂函数等几类不同函数的增长速度.

答案:A.

解析:(0,+∞)上,总存在一个,使得当时,有排除BC.,∴的增长速度大于的增长速度,故选择A.

 

二、填空题

4.三个变量随变量的变化情况如下表:

1.00

3.00

5.00

7.00

9.00

11.00

5

135

625

1 715

3 645

6 655

5

29

245

2 189

19 685

177 149

5.00

6.10

6.61

6.95

7.20

7.40

其中呈对数函数型变化的变量是         ,呈指数函数型变化的变量是         ,呈幂函数型变化的变量是          .

考查目的:考查指数函数、对数函数、幂函数等几类不同函数的增长速度.

答案:.

解析:由表格及指数函数、对数函数、幂函数三种函数增长速度不同的特点可知,答案分别为.

 

5.一块形状为直角三角形的铁皮,两直角边长分别为40cm60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是        .

考查目的:考查二次函数的建模和实际应用能力.

答案:600.

解析:设直角边长分别为时,对应的矩形边长分别为,则,解得,∴矩形的面积,∴当时,矩形的面积最大,最大面积().

 

6.计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8100元买的一台计算机,9年后的价格大约是     .

考查目的:考查指数的运算和指数函数的实际应用能力.

答案:300.

解析:设计算机的价格平均每年下降的百分数为,由题意得,解得,故9年后的价格大约为().

 

三、解答题

7.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验.经检验,病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表.

天数

病毒细胞个数

1

1

2

2

3

4

4

8

5

16

6

32

已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候,小白鼠将会死亡.如注射某种药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%.

⑴为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?

⑵第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(答案精确到天,已知:lg2=0.3010)

考查目的:考查函数建模及运用指数函数、对数函数解决实际问题的能力.

答案:⑴27;⑵33.

解析:⑴由题意知,病毒细胞个数关于天数的函数关系式为,则,两边取常用对数得,得,即第一次最迟应在第27天注射该种药物.

⑵由题意知,注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为,再经过天后小白鼠体内病毒细胞个数为.由题意得,,两边取常用对数得,,解得,即再经过6天必须注射药物,即第二次应在第33天注射药物.

 

8.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度(km/h)与时间(h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(0)作横轴的垂线,梯形OABC在直线左侧部分的面积即为(h)内沙尘暴所经过的路程(km).

⑴当时,求的值;

⑵将变化的规律用数学关系式表示出来;

⑶若N城位于M地正南方向,且距M650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.

考查目的:考查分段函数和一次函数、二次函数的应用,以及函数建模能力和运算能力等.

答案:⑴24;⑵;⑶沙尘暴发生30h后将侵袭到N.

解析:⑴由图象可知:当时,,∴.

⑵当时,

时,

时,.

综上可知,.

时,;当时,,∴当时,令,解得.即沙尘暴发生30h后将侵袭到N.

    
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