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重难点:会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

考纲要求:①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.

③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

经典例题:求不等式|x2|+|y2|≤2所表示的平面区域的面积.

 

 

 

当堂练习:

1.下列各点中,与点(12)位于直线x+y1=0的同一侧的是  (  )

    A.(00            B.(-11       C.(-13              D.(2,-3

2.下列各点中,位于不等式(x+2y+1)(xy+4)<0表示的平面区域内的是  (  )

A.(00            B.(-20         C.(-10           D.(23

3.用不等式组表示以点(00)、(20)、(0,-2)为顶点的三角形内部,该不等式组为_______.

4.甲、乙两地生产某种产品,它们可调出的数量分别是300t750t.ABC三地需要该种产品的数量分别为200t450t400t,甲运往ABC三地每1t产品的运费分别为6元、3元、5元,乙地运往ABC三地每1t产品的运费分别为5元、9元、6元,为使运费最低,调运方案是_______,最低运费是_______.

5.画出不等式组表示的平面区域.

 

 

6.一个农民有田2亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为400千克;若种花生,则每亩每期产量为100千克,但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可卖5元,稻米每千克只卖3元,现在他只能凑足400元,问这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?

 

 

7.已知-4≤ab≤1,-1≤4ab≤5,求9ab的取值范围.

 

 

8.给出的平面区域是△ABC内部及边界(如下图),若目标函数z=ax+ya0)取得最大值的最优解有无穷多个,求a的值及z的最大值.

 

 

 

9.若把满足二元二次不等式(组)的平面区域叫做二次平面域.

    1)画出9x2-16y2+144≤0对应的二次平面域;

    2)求x2+y2的最小值;

    3)求的取值范围.

 

 

参考答案:

 

经典例题:思路分析:主要是去绝对值,可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题,化复杂问题为简单问题.

    解法一:原不等式|x2|+|y2|2等价于

    作出以上不等式组所表示的平面区域:它是边长为22的正方形,其面积为8.

    解法二:∵|x2|+|y2|2|x|+|y|2经过向右、向上各平移2个单位得到的,

    |x2|+|y2|2表示的平面区域的面积等于|x|+|y|2表示的平面区域的面积,由于|x|+|y|2的图象关于x轴、y轴、原点均对称,故求得平面区域如下图所示的面积为2,故|x|+|y|2的面积为4×2=8.

    ∴所求面积为8.

 

  

当堂练习:

1.C; 2.B; 3. ; 4. 甲地运往B300t,乙地运往A200t,运往B150t,运往C400t5650;

5. 思路分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

解:运用“直线定界,特殊点定域”的方法,先画出直线xy+5=0(画成实线),如下图,取原点(00),代入xy+5.00+5=50,∴原点在xy表示的平面区域内,即xy+50表示直线xy+5=0上及右下方的点的集合,同理可得x+y0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x3表示直线x=3上及左方的点的集合.

 

  

6. 思路分析:这是一个求最大利润问题,首先根据条件设种两种作物分别为xy亩,根据条件列出不等式组和目标函数画图,即可得到最大利润.

    解:如下图所示,设水稻种x亩,花生种y亩,则由题意得

而利润P=3×400240x+5×10080y

=960x+420y(目标函数),

    可联立得交点B1.50.5.

    故当x=1.5y=0.5时,

    Pmax=960×1.5+420×0.5=1650

    即水稻种1.5亩,花生种0.5亩时所得到的利润最大.

 

  

7. 思路分析:可以把ab分别看成横坐标和纵坐标,根据不等式组画出可行域,然后求目标函数9xy的最大值和最小值.

    解:问题转化为在约束条件下,目标函数z=9ab的取值范围.

    画出可行域如下图所示的四边形ABCD及其内部.

        ,解得得点A01.

当直线9ab=t通过与可行域的公共点A01)时,

使目标函数z=9ab取得最小值为zmin=9×01=1.

    解得得点C37.

当直线9ab=t通过与可行域的公共点C37)时,

使目标函数z=9ab取得最大值为zmax=9×37=20.

    9ab的取值范围是[-120.

 

 

8. 思路分析:本题考查逆向思维、数形结合的思想方法,利用图形的特性和规律,解决数的问题或将图形信息转换成代数信息,削弱或清除形的推理部分,使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.

    解:直线z=ax+ya0)是斜率为-ay轴上的截距为z的直线族,从题图可以看出,当-a小于直线AC的斜率时,目标函数z=ax+ya0)取得最大值的最优解是(14);当-a大于直线AC的斜率时,目标函数z=ax+ya0)取得最大值的最优解是(52);

只有当-a等于直线AC的斜率时,目标函数z=ax+ya0)取得最大值的最优解有无穷多个,线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为-,所以a=时,z的最大值为×1+4=.

9. 思路分析:本题可以使用线性规划的基本思路,像二元一次不等式所示的区域一样,我们仍然可以用“线定界,点定域”的方法来确定9x2-16y2+1440所表示的平面区域.

    解:(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144,其值为144>0,因此9x2-16y2+1440表示的平面区域如图所示的阴影部分,即双曲线-=1的含有焦点的区域.

     (2)P(xy)为该区域内任意一点,由上图可知,当P与双曲线的顶点(0,±4)重合时,|OP|取得最小值4.所以,x2+y2=|OP|2=16.

     (3)Q(20),则直线PQ的斜率为k=,其直线方程为y=k(x-2),代入9x2-16y2+144=0(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0,由Δ=0k=±

由图可知kk-.

故所求的取值范围是(-∞,- ]∪[+).

 

    
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