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一、选择题

1.(2012安徽理)公比为等比数列的各项都是正数,且,则(     ).

A.4              B.5             C.6             D.7

考查目的:考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识.

答案:B.

解析:∵,∴,∵的各项都是正数,∴,∴,∴.

 

2.(2011江西理)已知数列的前项和满足:,且,那么(    ).

A.1              B.9                 C.10           D.55

考查目的:考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、的关系.

答案:A

解析:令,得,∵,∴,∴是首项为,公差为的等差数列,,因此,.

 

3.(2011天津理)已知为等差数列,其公差为,且的等比中项,的前项和,,则的值为(    ).

A.-110         B.-90        C.90        D.110

考查目的:考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用.

答案:D

解析:设等差数列的公差为,根据题意得,即,将代入,并解得,所以.

 

4.(2012湖北理)定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:.则其中是保等比数列函数的序号为(    ).

A.①②             B.③④           C.①③             D.②④ 

考查目的:本题考察等比数列的性质及函数计算.

答案:C.

解析:对于,所以保等比数列函数; 对于,所以不是保等比数列函数;对于,所以保等比数列函数;对于,所以不是保等比数列函数”.

 

5.已知数列满足,当时,,则(    ).

A.1              B.2               C.-1                 D.-2

考查目的:考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断,考查分析判断能力.

答案:A.

解析:由条件可得该数列为:,所以是周期为的周期数列,所以.

 

6.(2012上海理),在中,正数的个数是(    ).

A.25                B.50               C.75               D.100

考查目的:数列前项和的概念、三角函数的周期性,考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.

答案:D.

解析:当时,;当时,,但其绝对值要小于时相应的值;当时,;当时,,但其绝对值要小于时相应的值;当时,. ∴当时,均有.

 

二、填空题

7.(2009北京理)已知数列满足:,则_______________.

考查目的:考查数列的概念、周期数列等基础知识.

答案:10.

解析:依题意,得.

 

8.(2011湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为        .

考查目的:考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.

答案:.

解析:记题中的等差数列为,公差为,前项和为. 根据题意知,两式联立解得,∴.

 

9.(2010天津文)是等比数列,公比的前项和.,设为数列的最大项,则          .

考查目的:考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识,考查运算能力.

答案:4.

解析:根据等比数列前项和公式,得 .,当且仅当,即时取等号,而,∴当时,取最大值,即数列的最大项为,所以.

 

10.(2011江苏卷),其中成公比为的等比数列,成公差为1的等差数列,则的最小值是________.

考查目的:考查等差数列、等比数列的概念和通项公式,考查不等式的有关知识及推理判断能力.

答案:.

解析:由题意可得,∴. ,∴当取最小值时,,∴,即的最小值是.

 

11.(2012四川理)为不超过实数的最大整数,例如,.为正整数,数列满足,现有下列命题:①当时,数列的前3项依次为532;②对数列都存在正整数,当时总有;③当时,;④对某个正整数,若,则. 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)

考查目的:本题属于新概念问题,主要考查对新概念的理解、不等式的性质,以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.

答案:①③④

解析:易证,对于取整函数有下列性质:性质1:当时,;性质2:对,有;性质3:若,则. ①当时, ,故①为真;②当时,易知该数列为:(12交替出现),所以②为假;③∵ ,∴;由题易知,对一切均为正整数,所以无论是奇数还是偶数,均有 ,故③为真;④若对某个正整数则由 ,得,∴,∵是正整数,∴.又∵,∴(或由③为真,及,直接可得),故,因此④为真.

 

    
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