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一、选择题

1.下列结论正确的是(     ).

A.时,    B.时,

C.时,的最小值为2      D.时,的最小值为2

考查目的:考查基本不等式及其在求最值中的应用.

答案:B.

    解析:A选择项中可能为负,不适合基本不等式;CD选择项中适合基本不等式,但取最小值等号取不到.只有B正确.

 

2.(2009天津理)高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,若的等比中项,则的最小值为(     ).

A.8            B.4           C.1          D.

考查目的:考查等比中项的概念、指数的运算,以及基本不等式求最值的运用.

答案:C.

解析:∵,∴,则,当且仅当时取“=”号,故选择C.

 

3.(2007海南、宁夏理)已知成等差数列,成等比数列,则的最小值是(    )

A.           B.                C.          D.

考查目的:考查等差、等比数列的概念与性质以及基本不等式的应用.

答案:D.

解析:∵成等差数列,成等比数列,∴,则,当且仅当时取等号.

 

二、填空题

4.(2010山东理)若对任意,则实数的取值范围是          .

考查目的:考查分式不等式恒成立问题的解法,以及利用基本不等式求最值等知识.

答案:.

解析:因为,所以(当且仅当时取等号),则,即的最大值为,故.

 

5.(2011江苏卷)在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点,则线段长的最小值是          .

考查目的:考查反比例函数的图象与性质、坐标平面内两点间的距离公式等基础知识,考查基本不等式的应用.

答案:4.

解析:因为函数是奇函数,所以两点关于原点对称,可设,则,当且仅当,即时取等号.

 

6.已知,则的最大值是           .

考查目的:考查基本不等式的应用、分析判断能力和运算求解能力.

答案:2.

解析:∵,∴,∴当且仅当时,的最大值2.

 

三、解答题

7.已知是等边的顶点,点分别在边上,且的面积二等分,记的横坐标为.

写出的表达式;的最小值.

考查目的:考查余弦定理、函数的解析式、基本不等式等基础知识,以及运算求解能力.

答案:;⑵当时,.

解析:⑴∵,又∵,解得,∴.

⑵∵,∴时取等号.

 

 

8. 已知,试比较的大小.

考查目的:考查不等式的性质、基本不等式等基础知识,以及推理论证能力和运算求解能力.

答案:当时,;当时,;当时,.

解析:∵,当且仅当时取等号,∴①当时,,而由,∴:②当时,;③当时,,再由①得,于是,∴.

综上所述:当时,;当时,;当时,.

    
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