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1.解析几何在中学数学课程中的地位和作用

 

从前所述可见,解析几何把代数的知识和方法系统地用于研究几何,数形结合的思想和方法不但使代数、几何获得了前所未有的进展,而且还使微积分的发明水到渠成。因此,解析几何既是沟通代数与几何的桥梁,也是从初等数学过渡到高等数学的桥梁。

 

由于人类活动的需要,解决天体运动、抛射体运动、单摆运动等各种运动问题成为数学的重大课题。而运动可以从两个角度看:一是作为点的轨迹;二是作为位置与时间的关系。数学史上,在函数概念还没有充分认识之前,函数被当作曲线来研究,例如,正弦曲线是在旋轮线的研究中作为它的伴侣曲线而进入数学的。后来,人们使用运动的概念来引进曲线,例如,伽利略证明了斜抛体的运动轨迹是抛物线,因而把抛物线看成是动点的轨迹;牛顿说,曲线是由于点的连续运动而描画出来的。把曲线看成是动点的轨迹这一概念逐渐地被认可和接受以后,函数(变量之间的关系)与曲线的联系就很紧密了,从而也就使解析几何与函数的联系更紧密了。某种意义上看,由于借助于坐标系而描绘了函数图象,使抽象的函数得到形象直观的表示,从而使研究函数的方法更加多样而有力,对函数性质的认识也更加全面而具体。当然,函数与图象曲线与方程毕竟是两个不同的问题。例如,函数y=f(x)中,xy的地位不平等,函数y随自变量x的变化而变化,两者有依赖关系;方程f(xy)=0中,xy的地位平等,虽然也有依赖关系,但并没有一个随另一个变化的关系;函数中,xy之间有特殊的对应关系(单值对应),表现在图象上,就是平行于y轴的直线与图象至多有一个交点;方程的解没有这种限制,所以交点可以不止一个;借助函数的图象讨论性质,这里的性质是函数的变化规律,由方程讨论曲线的性质,这里的性质是曲线的几何性质。

 

另一方面,众所周知,解析几何的研究对象与欧氏几何相同,但是它们的研究方法不同,这里不再赘述。

 

综上所述,中学数学中的解析几何以数形结合思想为指导,以坐标法为核心,以空间形式为研究对象,用代数方法研究几何;与函数知识紧密联系,是初等数学通向高等数学的桥梁。因此,解析几何是融中学代数、几何、三角等为一体的综合性课程。通过解析几何学习,可以使学生对已学知识融会贯通,把数和形的研究紧密地结合起来,提高综合应用数学知识的能力。同时,系统地掌握解析几何的基础知识,也为今后学习高等数学奠定了坚实的基础。

 

2.解析几何的教学目标体系

 

解析几何的教学目标体系可以从知识、方法、思想、观点等几个层次进行构建。在确定这一目标体系时,要特别注意从解析几何的学科特点出发。

 

考察解析几何的学科特点,最重要的是它的“方法论”特征;另外就是它的“综合性”,首先是用代数方法研究几何问题,同时,用几何的眼光处理代数问题(几何直观能力的体现)。据此,解析几何的首要教学目标应是理解“坐标法”,具体包括用坐标法解决问题的过程和要素(“三步曲”)以及在应用坐标法过程中体现的数形结合思想。当然,要让中学生通过解析几何的学习完全掌握坐标法是不现实的。因为虽然从方法本身看非常朴实,但中学的解析几何中处理的内容相对简单,还不足以表现坐标法的力量,所以只能要求学生初步掌握方法,初步学会用坐标法思想思考和处理问题,并注意在其它学科的学习中渗透。

 

思想方法必须有具体知识作为载体才能被领会,也只有和具体知识融为一体才能发挥作用。因此,坐标法必须在解析几何知识的学习中逐步掌握。直线和圆锥曲线是比较简单的平面曲线,以这两种曲线为载体学习解析几何,可以更好地使学生把精力集中于坐标法的领悟。具体的知识目标是:

 

掌握直角坐标系中曲线与方程的关系。

 

能根据直线、圆锥曲线的几何特征,选择适当的直角坐标系,建立直线方程和圆锥曲线方程;能通过直线方程、圆锥曲线方程讨论它们的性质。

 

一般地,能根据问题的几何特征,选择适当的坐标系建立曲线方程,并能通过方程研究曲线的性质。

 

能利用坐标变换化简曲线方程。

 

了解一些重要曲线的极坐标方程和参数方程。

 

更高层次地看,由于解析几何是运用辩证法思想分析和解决问题的典范,因此教学中应利用这一特点,培养学生用运动、变化和对立统一等观点分析和解决问题,领会辩证法思想。

 

3.解析几何的课程结构图

 

1)总体结构

 

 

2)直线与方程

 

 

3)圆锥曲线与方程

 

 

几点说明:

 

第一,数形结合思想和坐标法是统领全局的,曲线与方程的关系(一种充要条件)是讨论各种具体问题的基础,但这些都是“默会知识”,要采取逐步渗透的方法使学生领会和掌握。在学习直线与方程、圆与方程时,采取默认的方式,先不刻意从“曲线与方程”角度讨论,学生也不会特别提出疑问。有了一定的基础后,在椭圆、双曲线、抛物线之前讨论“曲线与方程”,还是比较合适的。

 

第二,斜率概念和过两点的直线的斜率公式是“直线与方程”部分的核心内容,其他大部分内容都可以看成是由此“导出”的内容。“点到直线的距离公式”由于其联系的广泛性,是“先用几何眼光观察与思考,再用坐标法解决”的好素材,能很好地体现坐标法的综合性。圆锥曲线中,椭圆具有典型性,其他曲线的讨论可以通过类比椭圆的讨论完成。

 

第三,直角坐标系内,两点间的距离公式、定比分点公式(中点坐标公式)、倾斜角、斜率、两条直线的交角(平行、垂直)等与直线的方程没有直接关系(不需要根据直线方程来讨论),这些内容的安排可以有一定的灵活性。从系统性考虑,把交角、平行、垂直等作为性质,在求出直线方程后,用坐标法进行讨论,也是作为“用代数方法研究几何问题”的初步实践,比较合适。另外,作为应用,在直线与方程的最后安排一定的用坐标法解决平面几何典型问题(如与三角形的外心、重心、垂心有关的问题)的实践,对于学生领会坐标法、提高学习兴趣等都是有好处的。

 

第四,圆锥曲线与方程是中学解析几何课程的核心内容,也是平面几何没有涉及的,所以应当特别强调确定这些曲线的几何要素的探索。在明确几何要素的基础上,再利用对称性建立坐标系求标准方程。圆锥曲线的统一定义表明它们之间的内在联系,是非常重要的。但是为了分散难点,把表现各类圆锥曲线的“个性定义及其方程”放在直角坐标系下讨论,把“统一定义及其方程”放在极坐标系下讨论。实际上,在极坐标系中建立统一定义下的圆锥曲线方程更加方便,方程也更加简单、优美。

 

第五,从解析几何课程的性质出发,由削枝强干的考虑,同时也是课时所限,对于那些需要较多的平面几何知识才能较好解决的问题,在解析几何教学中最好不要涉及。也就是说,解析几何中的综合,应当以“用坐标法解决几何问题”为主,研究“代数关系的几何意义”为辅。

 

第六,高中解析几何课程,空间坐标系可以不必涉及。在用空间向量解决立体几何问题时,再介绍空间直角坐标系就可以了。这样既体现削枝强干原则,又体现学以致用的原则。用到时再适时引入有利于学生的学习兴趣、及时巩固等。

 

4.解析几何的内容和要求

 

    1)直线与方程

 

①理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式;掌握两点间的距离公式。

 

②根据直角坐标系内确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程点斜式,并能由点斜式推出两点式及一般式;理解斜截式与一次函数的关系。

 

③能根据直线方程探索并掌握:两条直线平行或垂直的条件;两直线的交点坐标;点到直线的距离公式;两条平行直线间的距离。

 

④能用直线的方程解决简单的问题。

 

2)圆与方程

 

①在平面直角坐标系中,根据确定圆的几何要素,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

 

②能根据直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

 

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

 

3)曲线与方程

 

结合实例,理解曲线与方程的关系,进一步感受数形结合的基本思想。

 

4)圆锥曲线与方程

 

①从具体情境中抽象出确定椭圆、双曲线、抛物线模型的几何要素;掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

 

②能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系等)和实际问题。

 

5)坐标变换

 

①在直角坐标系中,通过具体例子,探索并理解坐标平移公式。

 

②在直角坐标系中,通过具体例子,了解坐标伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

 

6)极坐标系

 

①能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,理解极坐标系和平面直角坐标系的区别与联系,能进行极坐标和直角坐标的互化。

 

②能求简单曲线(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)和圆锥曲线统一定义下的方程。

 

7)参数方程

 

①利用直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数写出它们的参数方程。

 

②能求平摆线和渐开线的参数方程。

 

③能用参数方程解决一些简单问题。

 

说明:

 

到底应该让学生讨论哪些圆锥曲线的性质,主要应该从是否能较好反映圆锥曲线的重要特点出发。从标准方程的特点,最容易得到的是范围、顶点、对称性等,而离心率、准线、渐近线、光学性质等最能反映圆锥曲线特点的性质,则很难直接从方程中得到,需要安排专项讨论才能完成。所以,圆锥曲线性质的讨论可以分为如下三块:在“个性定义”下,讨论范围、顶点、对称性、渐近线等;在“统一定义”下,讨论离心率、准线等;在圆锥曲线的应用中讨论光学性质。

 

“几何变换的代数表示”与这里讨论的问题联系并不紧密,因此坐标变换的内容如果不与“曲线方程的化简”结合,不能显示其学习的必要性。所以,是否需要这一内容,或者把它放在函数中去,都是可以研究的。

    
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