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(二)教材结构体系的变革

 

数学知识之间具有很强的前后逻辑关系,数学是所有学科中系统性最强的学科。众所周知,加法必须先于减法与乘法,除法与乘方只能在乘法之后,由乘方而导出开方从而完成代数运算系统;同样,整数而后有理数再到实数,整式、分式、根式,依运算的逐级发展而顺序出现,而后有了指数与对数;相应地,方程与不等式、函数顺序而出,并从一次到二次再到高次、由一元到二元再到多元依次发展,数和式的运算、方程、函数相互交错,成了中小学代数的一个体系。几何也一样,它是人类完成的第一个公理体系,从图形的一些“原始概念”出发,从简单到复杂,依次研究点、直线、角、三角形、四边形和圆等的结构、性质、大小度量以及相互之间的位置关系等,形成了一个平面几何的概念、原理的体系。从公理体系的要求,一个科学的体系必须达到概念不能循环定义、命题不能循环论证。也就是说,不能用后面的概念来定义前面的概念,前面的命题不能用后面的命题来证明,这就是系统的逻辑性。因为只有这样的逻辑严格性,才有结论的确定性和真理性。中小学数学不可能采用严格的公理体系,但逻辑性是必须遵守的,否则要犯科学性错误。而且这种逻辑性也是数学的教育价值之所在,构建科学的教材结构体系的目的就是要训练学生思维的逻辑性、严谨性。因此,构建符合数学知识的发展逻辑,并与学生认知水平相适应的教材结构体系,对于学生的数学理解至关重要,而且关系到数学学科的教育价值是否能得到充分发挥。所以,中国的教材编者十分重视教材结构体系问题。

 

50年来,在数学教材结构体系方面一直存在不同观点,主要涉及两个问题:一是分科直线式好,还是混合递进式好;二是以怎样的思想贯穿始终?

 

1.结构体系的构建原则

 

关于教材的结构体系,在1963年的教学大纲中规定了如下几条原则[1435-436]

 

1)注重数与数的内在联系、形与形的内在联系,以及数与形的联系与区别;

 

2)注意学生的认识过程和接受能力;

 

3)小学、初中和高中分段、各有重点;

 

4)与理化等相邻学科的配合。

 

上述原则比较全面地考虑了数学各科内容的关系、学生认知规律以及与相邻学科的关系等,因此成为构建教材结构体系的基本指导思想。

 

2.分科与混编

 

小学数学教学内容以整数、小数、分数的四则计算为主,也有简单几何形体的认识,但它们的周长、面积和体积的计算也与计算相关,因此小学不分科。中学数学是分科还是混编,一直存在不同意见。普遍的共识是:各种数量关系、各种空间形式,都有各自的内在联系,数量关系和空间形式之间又有相互联系。中学数学的设科,究竟以哪一种联系为主,应该看怎样才便于学生掌握数量关系和空间形式的一系列的规律。分歧在于“哪一种联系有利于学生掌握数学规律”。

 

主张混编的认为,把代数和几何整合成一个教学系统,可以使数形结合便于用统一的数学思想贯穿教材;可以加强数学知识之间的联系,体现数学的整体性,有利于学生从整体上把握所学内容;便于内容的整合,有利于减少知识内容的头绪,有利于数学知识的综合运用;便于教材编写者灵活安排内容;等[4419]

 

主张分科的认为,“因为代数和几何各自的内在联系,比代数和几何之间的相互联系更为密切,并且研究代数和几何的方法也有所不同,所以代数和几何分科讲授,更便于学生循序前进地、牢固地掌握代数和几何的一系列的规律。但是在安排教学内容时,必须注意代数和几何两科的相互配合,注意数和形的适当结合,避免各科孤立,互不联系”[1436]

 

总之,两种方式都有各自的优点,但也有各自的缺点。例如,分科安排虽然使各科自身系统、完整了,但带来的问题是繁琐、费时、缺乏数与形结合所带来的高观点等。

 

上述两种观点,后一种占上风,因此“按分科编排”成为中学数学教材的“习惯”。不过在实际教学中,并不是“学完代数再学几何”,而是代数、几何并行。例如,初一设代数,初二、初三代数、几何并行,每周代数、几何各3课时;高一代数、立体几何并行,高二代数、解析几何并行等。从实践的效果看,这样安排“对数学学习,对整个初中课程安排都是有利的” [10196]

 

3.各科内容的安排

 

各科内容如何安排的问题,始终是教材编写的核心问题之一。50年来,教材编写者对这一问题的研究没有间断过。比较典型的思想体现在1963年开始使用的那套教材中,其内容安排和思想主线如下[42941436-438]

 

1)代数教材,初中先讲有理数、实数、代数式、一次方程、二次方程、代数式的恒等变形和列方程解方程的基础,然后讲函数的初步知识。这样,由常量到变量,既符合数的发展过程,也符合学生的认识过程。到高中,先在初中代数的基础上,把数的范围扩大到复数,把代数式、方程、不等式的知识拓广加深;然后再讲数列极限、幂函数、指数函数、对数函数,把函数知识加以概括和提高,使学生全面地掌握初等函数的知识;最后讲数学归纳法、排列、组合、二项式定理、概率、行列式。

 

2)几何教材,根据图形性质的内在联系,从简单到复杂、从平面到立体进行安排。内容安排突出图形的最主要的性质,以便学生以简驭繁地掌握几何的基础知识,同时注意和代数的配合。平面几何先安排直线、三角形、四边形等直线图形的位置关系和相等、不等关系,再安排圆,然后安排相似形以及需要以相似三角形为基础的三角初步知识,最后安排正多边形、圆的周长和面积。在安排直线图形时,为使有关三角形相等、不等的知识集中在一起,以便于学生掌握,所以先安排平行线,再安排三角形。立体几何先安排空间的直线和平面,然后安排多面体、旋转体。在讲空间的直线和平面的位置关系时,为了便于学生掌握,按照线线、线面、面面的位置关系编排。

 

3)平面解析几何,为了使学生对已学的数学知识融会贯通,把数和形的研究紧密地结合起来,提高他们综合运用数学知识的能力,同时更有利于学生系统地掌握平面解析几何的基础知识,为以后学习高等数学打下扎实的基础,因此将它安排在高中阶段的最后。内容安排先讲直角坐标,再讲极坐标;先讲直线,再讲圆锥曲线;先讲标准方程,再讲一般方程。在讲圆锥曲线时,为了便于学生掌握,按照圆、椭圆、双曲线、拋物线的顺序编排。

 

4.局部成块安排与局部穿插安排

 

由于教材编写者对数学知识之间的联系方式的看法不同,因此在代数、几何各科内容的体系构建上还有不同的做法。

 

例如,中学代数内容,在1959年之前,在整体上按照“数——式——方程——函数”作整块安排,其结构体系是:

 

初中:算术——代数式、方程(一般概念)——正负数(即有理数)——整式——多项式的因式分解——代数分式——一元一次方程——联立一次方程(即二元一次方程组)——开平方;

 

高中:幂与方根——二次方程——函数及其图像(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数)——二元二次联立方程——数列——指数、指数函数、对数——排列、组合和二项式定理——复数——不等式——高次方程。

 

1963年,代数的结构体系变为:

 

初中:有理数——整式——一元一次方程——一元一次不等式——因式分解——分式——可化为一元一次方程的分式方程——比和比例——一次方程组——数的开方——近似计算——根式——指数——一元二次方程——可化为一元二次方程的方程——二元二次方程组——常用对数——函数和它的图像(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数);

 

高中:数(数的概念的发展、复数)——代数式(多项式理论)——方程(方程理论,多项式方程)——不等式——数列和极限——幂函数、指数函数、对数函数——数学归纳法——排列、组合、二项式定理——概率——行列式。

 

说明:这一教材体系特别讲究数学理论的完整性;另外,它把“概率”放在代数中学习。

 

1978年的代数教材结构体系是:

 

初中:有理数——整式的加减法——一元一次方程——一元一次不等式——二元一次方程组——整式的乘除法——因式分解——分式——数的开方和二次根式——一元二次方程——指数和常用对数——函数及其图像(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数)——统计初步;

 

高中:幂函数、指数函数、对数函数(含集合、函数的一般概念)——三角函数——线性方程组——复数——排列、组合、二项式定理(含数学归纳法)——概率——逻辑代数简介——数列和极限——导数——积分。

 

1992年的初中代数教材结构体系:

 

有理数——整式的加减——一元一次方程——一元一次不等式——二元一次方程组——整式的乘除——因式分解——分式——数的开方——二次根式——一元二次方程——指数——常用对数——函数及其图像(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数)——解三角形——统计初步。

 

1997年高中代数教材结构体系:

 

集合与简易逻辑——函数——指数函数、对数函数——三角函数——平面向量——数列、数学归纳法——不等式——排列、组合、二项式定理——复数——极限——导数与微分——积分。

 

  从上述变化过程可以看到,在教材的局部知识体系的构建上,也有不同的处理方式。例如,初中的“整式”,在20世纪60年代以前一般是整体处理;1978年以后则分成了两段,在整式加减之后,即安排一次方程、一次不等式;然后再安排整式的乘除,接着安排因式分解。“实践证明,这样安排效果较好”。分式原先分成分式的概念和性质、分式的运算两段,后来改为约分后就讲分式的乘除,通分后就讲分式的加减,效果也较原先为好。“这些例子,反映了局部知识系统完整,并不一定就比局部中各项知识之间或与外部知识之间的联系更紧密”。这也是作为教材的数学知识体系与作为数学科学的知识体系之间差异的表现之一。在构建教材的结构体系时,这样的问题总是需要认真研究和实践检验的。例如,按“数——式——方程——不等式——函数”的顺序,还可以再根据“次数”作两个循环:“数——式——一次方程——一次不等式——一次函数”和“二次方程——二次函数——二次不等式”;再如,在立体几何的教材体系构建中,可以按照“直线与直线的位置关系”、“直线与平面的位置关系”和“平面与平面的位置关系”安排,也可以按照“空间中的平行关系”、“空间中的垂直关系”来安排。

    
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