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三、如何落实“思维的教学”

 

大家都认同“数学是思维的科学”,“数学教学是思维的教学”,其理由已有大量讨论.关键是如何落实.观摩陶老师的课以后,我的强烈感受是:思维的教学就该如此.

 

1.树立正确的学生观

 

老师的学生观很值得我们关注.他总是说,“学习是学生自己的体验与感受”,因此学生在课堂教学中的参与度很重要.重视学生的课堂感受才能把握学生的思维节奏,也才能使激发学生的思维积极性落在实处.为了推动学生的深度参与,陶老师采取了许多切实有效的措施.例如,人的思维品质在敏捷性、灵活性上都有差异,因而思维有快有慢.为了面向全体,陶老师在提出问题后,要求学生“想好了就举手示意一下,让我了解大家的思考进度”,并提醒那些速度快的“别着急,等一下其他同学,你自己也再想想”,待大多数同学都举手示意后,再请“愿意讲的学生”讲,然后提示“你讲完了吗?” “大家听清楚了吗?”“还有没有不同意见?”这种平等交流的氛围使学生在不知不觉中放松了心情,自然而然地形成了大多数同学参与思考、讨论的局面,不同想法的交流、补充在无形中推动了概念理解的深化.我认为,这些措施看似简单但教育寓意深刻,这是陶老师在长期实践中日积月累所形成的“习惯性动作”,是一种自动化的行为,这些习惯与行为是教师在专业化发展过程中应努力追求的.

 

2.让学生真正“动起来”

 

从学习方式看,陶老师特别强调让学生主动实践的重要性.众所周知,要使学生真正理解书本知识,必须要有他们自己身体力行的实践,从自己亲历亲为的探索思考中获得体验,从自己不断深入的概括活动中,获得对数学概念本质的深刻领悟,获得诗外真功夫.现在的关键是要把这些理念落实到课堂中.陶老师的做法是:以数学概念的发生发展过程为线索,循序渐进地安排学生的观察(实践性探索)、思维(理性思考)和迁移(知识应用)活动,引导学生动手做、动眼看、动耳听、动口说、动笔写、动脑思、用心想,全身心地投入学习,在理解概念的过程中,实现数学能力的发展,培育理性精神.

 

3.精心选择和使用例子

 

老师在例子的使用上可谓匠心独运.例如,根据教材编写意图以及学生的实际,他在让学生举例后,及时补充了两个例子:“2009220日自上午930至下午300上海证券交易所的股指图”,“某射击运动员打靶的序数与环数对应表”;为了促进学生理解对应关系,他让学生对函数y=x2y=赋予具体意义;等.“榜样的力量是无穷的”,一个好的例子胜过一千次空洞说教,陶老师的课堂实践充分说明了这一点.例如,用上述“股指图”,通过讨论得到“从9301500,每一时刻都有唯一的一个股票指数”,从而让学生明确了如何根据概念作判断:先思考“谁跟着谁变化”而找到“自变量”,再看是否有唯一的数与之对应;通过射击的序数与环数的对应表,让学生知道了表格表示的函数,同时通过对“如果第三次射击时脱靶了,还是函数吗?”的讨论,让学生在比较中明确了函数概念的核心──“对应关系”的本质;对于函数y=x2y=等,学生似乎早已熟悉,但从课堂表现看,学生并不能顺利地说出它们的对应关系,转化为集合与对应的语言表示也不顺畅,赋予y=x2y=以实际意义,如“以正数x为正方形的边长,y为正方形的面积,那么对于任意一个正数x,都有唯一的一个y=x2与之对应,对应关系就是正方形的边长对应于它的面积”,“对于任意一个非负数,取它的算术平方根,由于任意一个非负数都有唯一的算术平方根,所以y=是函数,对应关系是xx∈{非负数}”,给学生的思考和用概念解释问题建立了一个“参照系”,学生对抽象的函数概念特别是对应关系的理解也就变得具体有形了.

 

有关研究认为,专家型教师拥有如下三方面的专业知识:学科知识,教育学知识──如何进行教学的知识,有关学科知识的教育学知识——怎样解释概念、怎样解释概念所反映的学科思想、怎样纠正学生对概念的理解错误等.他们对这些知识的细节有丰富的了解,而且有许多可以用于解释的具体例子,其组织方式也有突出特点——知识之间的联系很紧密,知识得到充分的整合.陶老师在课堂教学中充分表现出了这些特点:他对数学知识的理解深刻,对概念及其所反映的数学思想方法的解析到位,对学生在理解概念时容易发生困难或错误的地方心中有数.课堂观察发现,陶老师不仅对函数概念的细节有丰富的了解,而且有许多信手拈来、恰到好处的用于促使学生深化概念理解的好例子.

 

4.关注课堂中生成的教学资源

 

老师捕捉学生思维闪光点(课堂中即时生成的资源)的能力很强,并能通过恰当的问题引发学生进一步思考,具有高超的教学机智.对此,我们结合一个教学片段(课堂实录)加以评述.

 

T(陶老师):今天我们谈论的话题是函数.大家在初中已学过函数,你能举几个函数的具体例子吗?

 

S1:年数增长,年份和年龄.

 

T:谁是谁的函数?

 

S1:年龄是年份的函数.

 

S2:电压一定,电流是电阻的反比例函数.

 

S3:买东西,价格随买东西的增多而增多.

 

T:价格还是什么?

 

S3:哦,价格一定,总价随买的东西的增加而增加.

 

S4:氢氧化钙的溶解度随温度的升高而升高──一次函数.

 

评述:上述学生举例的过程表明,他们对初中的函数定义有记忆,但有的已经有些模糊,特别是对“函数值随自变量的变化而变化”的把握不到位.陶老师在这样的地方展开“追问”,有效地强化了概念理解.

 

T:我也举个例子.……上海证交所股指图.股票指数是时间的函数吗?

 

S(齐答):是!

 

T:你怎么判断这就是函数?(停顿)大胆举手说说.

 

S5:每一个自变量取值都有唯一对应的数.

 

T:自变量是什么?

 

S5:时间.哦,每一个时间都有一个股票价格指数与之对应.

 

T:她讲得很好.先找自变量,再看有几个与之对应的数,如果是唯一的,就是函数.下面看另一个例子.这是某射击运动员打靶的序数与环数对应表.

序号

1

2

3

环数

8

8

8

这是一个函数吗?

 

S:(小声)是.

 

T:声音不大,说明不敢确定.要判断是否为函数,需要从哪几个方面说?

 

S:解析式.

 

T:一定要解析式吗?

 

S6:不一定.对每一个自变量,有唯一的数与之对应就可以.对每一个序号(数),都有唯一的一个环数与之对应.

 

T:如果第三次脱靶了,是不是函数?为什么?

 

S7:是.脱靶是0环,还是有唯一的数与之对应.

 

T:有不同意见吗?

 

S80环和脱靶不一样,这时没有记录,因此没有与之对应的数.

 

T:两种意见.思考一下,矛盾是怎么产生的?

 

S9:矛盾在于脱靶是没有记录还是为0环.如果是0环,那就是函数,否则不是.

 

评述:学生举的例子局限于“有解析式的函数”,这对引入“对应说”有不利影响.因此,陶老师及时补充上述两个例子,并提问“你怎么判断这就是函数?”意在引导学生“用概念思维”.当学生给出抽象的回答后,再追问“自变量是什么?”在学生回答“每一个时间都有一个股票价格指数与之对应”后,及时指出“先找自变量,再看有几个与之对应的数,如果是唯一的,就是函数”,这就强化了用概念作判断的“操作规范”.

 

对于表格是否表示函数,学生的反应是犹豫的.陶老师以“要判断是否为函数,需要从哪几个方面说?”为引导.学生说“解析式”,正好进入“圈套”,陶老师以“一定要解析式吗?”继续推动思考,使学生自己得出“对每一个自变量,有唯一的数与之对应就可以”的结论.然后,又以“脱靶是否表示函数”的问题情境引发学生讨论,进一步明确了“对于每一个自变量,都有唯一的数与之对应”这一函数的本质属性.

 

总之,陶老师围绕“对应关系”这一核心,精选例子,有序推进学生的思考活动,不断深化对函数概念本质的领悟,这样的教学比教师反复强调“要注意,只要……就可以了”的效果要强多了.

 

T:好,(脱靶是算作0环还是没有成绩)大家可以问问体育老师.下面大家总结一下,一个函数有几部分组成?你在举例时抓住了几点?

 

S10:两个量,一个量是自动变化的,另一个是有某种关系变的.xy,两者有关系.

 

T:关系?“脱靶了”,有关系吗?对“关系”有要求吗?

 

S10:哦,必须要有一个数值与之对应.

 

T:看来学得不错.对x有限制吗?如打靶、上证指数,不会是负数.y有没有范围限制?也有.

 

评述:这一段总结是从具体例子到函数概念的过渡,很重要,使学生进一步明确了“对应关系”、自变量的范围和函数值的范围等“要素”.至此,概括出“对应说”已经水到渠成.

 

下面讨论一个问题:能不能用集合和对应的语言刻画函数呢?大家考虑一下,考虑好了举手示意一下.

 

S11:(考虑一段时间后)函数中,因变量看成一个集合,自变量也看成一个集合,自变量的集合中任取一个元素,有因变量集合中唯一一个元素与之对应.

 

T:讲得很好,不过有口误,应该是“因变量或自变量的全体看成一个集合”.集合用在自变量、因变量中,有一个对应,我们引进符号fABxAyB来表示.因为y是这个对应的结果,所以写成y=f(x).为什么这么写呢?因为yx经过f对应过来的.于是我们得到用集合与对应的语言刻画的函数概念(用PPT展示).

 

评述:在与陶老师的课后交流中,他谈到先出y,再出y=f(x)是有意为之,他认为这有利于加深学生对xyf之间关系的理解.陶老师这样的心机实在令人钦佩.通过这样的处理,学生对用严谨的数学语言(两个数集AB之间的对应关系)刻画两个变量之间的数量关系这一函数概念的要害的体会确能大大加深.

 

T:大家看清楚函数的概念了吗?看清了我就想问问大家:与初中的函数概念有本质区别吗?

 

S:没有,就是引进了一些符号.

 

T:好,既然这样,那其中哪些是关键词?如何理解?(停顿后)刚才的问题清楚了吧?再看看概念.

 

S12:非空数集,任意的x,唯一确定的y与之对应.

 

S13:少说了一个:确定的对应关系f

 

Tf是什么东西?

 

S13:例如,正比例函数,f就是比例系数;用f(x)表示可以是一个式子;也可能……

 

T:也可能是什么?

 

S13:也可能是个数.

 

T:大家帮他想想.他认为对应关系是关键,这很好.但什么叫对应关系?还没有说清楚.

 

S14A中任一数在B中有唯一f(x),每一对(xf(x))的对应关系就是唯一确定的对应关系.

 

T:用个例子说说,如二次函数y=x2,我只问对应关系是什么?

 

S14:对应关系是y=x2

 

T:对吗?再看y=,对应关系是什么?它要干什么?

 

S14:对应关系是y=

 

T:用自然语言读一遍,看看实际上在干什么?

 

S14:开方.哦,应该是“取算术平方根”.

 

T:那谁能用一个具体实例解释一下y=x2的对应关系?

 

S15:如果x取正数,我以边长为x的正方形为例,只要给定一个边长,就有唯一的正方形面积与之对应.对应关系就是“边长x面积x2”.

 

T:很好.那打靶的例子呢?对应关系是什么?

 

S16y=8

 

T:对吗?改一下:

序号

1

2

3

环数

1

1

8

 

S17x12y1x3y8

 

T:对吗?实际上表格就表示了对应关系,在思考对应关系时,注意x的范围是重要的,上述y=8不全面,因为没有指明x只取123的事实.

 

再看股票指数图,对应关系是什么?

 

S18:每一个时间点都有唯一的一个股票指数值.

 

T:对,图就表示了给定一个时间点(自变量)所对应的唯一指数值(函数值)……

 

评述:老师说“要设法突破难点”,从他的课堂教学实践看,他的这个“法”不是自己的说教,而是想方设法挖掘学生的体验,从学生的想法中发现引导他们深入思考的契机.因此,他特别注重让学生表达、举例,让学生之间相互印证、启发等.当然,这需要教师有驾驭课堂的高超能力.

 

上述过程中,陶老师围绕“对应关系”展开教学,让学生自己举例,陶老师从中挖掘推动感悟概念本质的契机.从学生的举例、回答可以发现,理解y=f(x)的含义确实是一个难点.陶老师只问对应关系是什么,采取了多元联系表示的方式,引导学生通过赋予函数表达式具体意义、变换表现形式等,使他们形成对应关系的心灵体验.其中,打靶一例很好地推动了学生对函数的对应法则、定义域、值域是一个整体,这样才能准确、完整地刻画两个变量之间的数量关系的认识.

 

值得指出的是,陶老师并没有在“任意性”“唯一性”上做太多文章,而是把这些问题延后了.我认为这样处理是明智的.因为一方面“对应关系”实在重要,一节课不能有太多的重点;另一方面,对“任意性”“唯一性”的理解困难也很大,待学生接触更多的函数实例,形成较多的体验后再逐步解决是有效的.

 

结束语

 

在准备这个单元的观摩课时,我全程跟踪,不仅与陶老师进行了广泛的、坦诚的交流,而且实时观察他的课堂教学,对内容的解读、教学目标的确定、教学过程的安排,以及课堂教学中的师生行为等,都进行了深入细致的讨论.这一过程给我以愉悦的精神享受,同时也给我认识函数概念(乃至整个中学数学)教学以极大的启迪.总结起来,函数概念的教学应强调如下几点:

 

第一,要注意学生已有的知识基础,利用好学生已学过的“变量说”,特别是其中蕴含的“对应关系”;

 

第二,把握住本单元的核心任务,即要让学生建立一般意义的函数概念,了解函数的抽象符号的意义,了解函数中的问题、内容和方法,初步形成研究函数问题的“基本规范”;

 

第三,用集合对应的语言定义函数,引进数字以外的符号f(x)表达函数,是学生很难理解的事情,短时间内无法完成,需要在后续指数函数、对数函数、三角函数、数列等具体函数的学习中不断强化;

 

第四,典型实例很重要,要精心选择,其中要特别注意只能用图象、表格表示的例子的作用;

 

第五,用图象、表格表示函数时,学生对其中的对应关系的理解有难度,需要精心引导,但一旦学生有了体验,将极大地提升他们对“对应说”的理解水平;

 

第六,让学生把抽象的函数赋予实际意义,是推动用概念思维、促进学生领悟“对应关系”的好方法;

 

第七,数学是思维的科学,概念是思维的细胞,数学思维更是用概念思维,因此数学是培养思维能力的最佳载体.教学中,让学生举例,从学生举例中挖掘思维过程,并用你凭什么说……?“你是怎么想的?”等促使学生深化思考,逐步培养学生用概念解释数学对象的能力与习惯,是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措,体现了思维教学的真谛,也是培养学生思维能力的有效途径.

 

第八,要强调启发式教学的地位和作用.高中数学教学方式要强调综合性,该让学生活动的地方教师决不代替,而且要把实质性的概括机会留给学生,例如具体实例共同特征的概括就应该让学生完成.但要注意,不讲≠放羊,不是教师无所作为,而是“此时无声胜有声”,是教师通过问题启发,激疑、激思而使学生进入愤悱状态后的独立思考阶段.同样,讲授≠注入,不是教师胡乱作为,而是启发式讲解,是答疑解惑,而且该讲解的地方要讲准、讲透.例如函数的定义就应当在学生对具体实例共同特征的概括后,由教师讲解而不必让学生探究,只是要注意像陶老师那样,在“先出y还是先出f(x)”上精心思考.

 

参考文献:

 

R. J. Sternberg & W. M. Williams, 教育心理学.张厚粲,译.北京:中国轻工业出版社,20032-17

    
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