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第二部分  课后与任课教师的互动交流

 

为了及时对照课堂中发生的情况(“生成”)与教学设计(“设计”)的差异,增强教学反思的时效性,在本节课的教学结束后,我和陶老师进行了互动交流.

 

章:对这个单元的教学目标你是怎么认识的?你心中的核心目标是什么?

 

陶:这个单元的教学目标,“课标”规定的是“能用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用”、“了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域”、“了解映射的概念”、“会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数”、“通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用”.我以为,核心是理解“对应关系”.通过教学要使学生体会到函数的对应法则、定义域、值域是一个整体,这样才能准确、完整地刻画两个变量之间的数量关系;函数的各种表示法、性质等,都是围绕函数概念展开的.当然,这个核心目标不是一节课能完成的.

 

章:你认为高中生理解函数概念的认知基础有哪些?

 

陶:必须注意到,高中生不是首次接触函数.在初中,学生已学过函数概念,认识到函数研究的是变量之间的依赖关系;学习过函数的表示法;函数的图象;并学过几个具体的函数(正比例、反比例、一次、二次),对函数已有不少认识.定义域、值域虽然没有作为一个概念提出,但学生已从具体函数的应用中体验到自变量有取值范围的限制,相应地,因变量也有一定的取值范围.这些都是重要的学习基础.初中物理、化学等学科的学习,也为学生用运动、变化观点刻画事物变化规律奠定了较好的知识和思想方法基础.另外,随着学生年龄增长、生活经验的增加,抽象逻辑思维能力的发展,他们抽象概括事物本质的能力也得到很大增长.这些都为学习函数的“对应说”提供了认知基础.

 

章:你认为学生理解函数概念的难点在哪里?可以怎样突破?

 

陶:我以为,难点在于对抽象符号“fAByf(x)xAf(x)B”的理解,主要是符号太抽象了,尤其是对应关系f到底是什么含义?突破的方法是,在学生已有认知基础上,充分利用初中学过的函数和生活实例,通过师生共同举例、分析,让学生领悟对应关系f的含义(这是重中之重),体会限定变量xy的变化范围的必要性,体会在其变化范围内变量的依赖关系,进而逐步使学生学会用数量关系刻画两个变量的依赖关系.

 

为了认识抽象符号f(x),应当特别注意采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法,以大量的、形式多样的实际问题为依托,使抽象符号f(x)具有坚实的具体背景,使学生更好地体会它所包含的具体信息:数集A中的数x在对应法则f的作用下所对应的数集B中的一个数.

 

章:在教学设计中,你考虑最多的问题是什么?你认为把握好哪些就可以使学生理解好函数概念了?

 

陶:我考虑最多的是,应充分利用学生已有的知识基础,找准“变量说”与“对应说”间的观点差异,为学生设计适当的认知过程,顺利实现从“变量说”到“对应说”的螺旋上升.要围绕“对应关系”这一核心展开教学,要设法让学生理解它的特点,特别是领悟“任意”“唯一”这些关键词,这也是难点.难点的突破不是靠“定义+解释”,也不仅是教师举例、学生说明.教师要千方百计找好例子,也要让学生举例,并让他们用函数定义分析、讨论.让学生在“说理──反驳”的过程中引发思维碰撞;在用定义对实例的抽丝剥茧过程中,感悟“对应关系”的本质特征.学习是学生自己的体验与感受,因此,我十分注重把学生引导到概念定义的过程中来,让他们“卷入”到函数概念中去.

 

这里我特别想说说“好例子”的重要性.就像你说过的,“一个好例子胜过一千次说教”.我在教学设计中,例子的选择确实下了大功夫.从学生的课堂表现看,股票指数图、射击命中表、让学生构建具体背景解释y=x2的对应关系等,在学生感悟“对应关系”中起了关键作用.

 

章:我注意到,你在课堂中特别重视让学生自己举例,而且问了许多“为什么”“凭什么”,请谈谈这样做的用意.

 

陶:让学生举例是为了让学生参与到概念的形成过程中来,为概括函数的本质特征提供丰富的背景基础.学生在举例时要考虑许多问题,比如:需要说明什么问题?哪些例子可以说明这个问题?哪个例子能切中要害?课堂实践表明,学生会尽量举与众不同的例子,因此可以得到丰富、多样的例子,学生可以从中得到相互启发;有的学生举的例子不确切,说明他的理解还不到位,正好可以用来纠正偏差;在说明自己的例子是函数的过程中必须使用概念,因而能深化学生的概念理解,提高学生的思维参与度.“你凭什么说你举的例子是函数?”就是要促使学生“回到概念去”.数学思维的特点是用概念思维,是逻辑思维.多问“为什么”,可以暴露学生的思维过程,而不是满足于获得答案;可以培养学生质疑的习惯;可以培养学生发现问题的能力.数学是思维科学,数学教学是思维教学,数学教师应把培养学生的思维能力作为主要任务.

 

章:我看过你的教学设计,又听了你的课,教学设计中的有些内容在实际教学中并没有出现.你是怎么考虑的?

 

陶:教学设计中有求函数定义域的练习,时间来不及就不做了.也许有人认为这堂课的教学任务没有完成.毫无疑问,每节课都应有一定的教学任务.但我认为,应当全面理解教学任务,其中以知识为载体的能力培养是最重要的任务,这是与数学教学的“育人”目标紧密相关的.

 

另外,教学是动态生成的过程,课堂上必然会有课前难以预料的事情发生.比如,我没有预料到,学生会在“射击时脱靶是否有成绩”上发生争论,而这个问题的讨论,对认识概念的关键词“每一个”“唯一确定”很有意义,当时就觉得这个讨论很值得;再如,当学生对对应关系f到底是什么还存在模糊认识时,我舍得花时间,再通过实例加以认识.在“预设”与“生成”发生矛盾时,我会毫不犹豫地选择“生成”.教学越民主,越尊重学生的认知规律,“教学任务没有完成”的事就越容易发生.讨论、交流活动是促进学生思维深度参与的平台,是感悟概念的机会,学生不仅训练了思维,加深了概念理解,培养了说理、表达能力,而且还在不知不觉中学会了倾听、尊重,身心健康也得到发展.所以我认为对“完成”两个字要有正确理解.那种为了把知识“交”给学生而中断学生实质性数学思维活动的“完成”,是得不偿失的.

 

第三部分  实践基础上的理性反思

 

人们常用功夫在诗外来强调做好一件事情其实取决于一个人的经历、阅历、学识、见解,以及他的才智、精神乃至道德境界,我想我们的教学就更是如此了.听完陶老师的课和他上面阐述的对本单元教学目的的理解、教学内容分析、学生认知分析、教学重点难点和教学过程设计意图,以及他在课堂中根据学生学习实际而对教学设计的及时调整,让我充分感受到他的课外功夫.我认为,成功的课堂教学是以教师对数学、学生、教学等的深刻理解为前提的.下面从教学内容的理解、教学目标的确定、概括过程的设计、思维教学的落实等几个方面,谈谈我对陶老师的课的认识.

 

一、教学内容的把握和教学目标的确定

 

初中以“变量说”定义函数,重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数,帮助学生形成对函数的直接体验,体会函数的意义,形成用函数解决问题的直接经验.本单元在一般意义上,以“对应说”定义函数,引进数字以外的符号(y=f(x)中,f不代表数,与xy的含义非常不同)表达函数,进一步明确函数的表示法,以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体,给出研究函数性质的方法和过程的示范,进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用,使学生形成用函数概念研究具体问题的“基本规范”.在此基础上,再回到“基本初等函数”的学习,通过对指数函数、对数函数、三角函数等具体函数的研究,逐步加深对函数概念的理解,在“基本初等函数”的应用中,不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性,建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.

 

所以,本单元的核心任务就是:建立一般意义的函数概念,了解函数的抽象符号的意义,了解函数中的问题、内容和方法,形成研究函数问题的“基本规范”.

 

老师在“函数的概念”中确定的教学目标,包含了“认识函数的背景”、“理解函数的定义(以‘对应关系’为核心)”和“抽象概括能力的培养”等三方面,准确地反映了本单元教学内容的地位和作用,要求适当,没有在一些细节上过分纠缠,因此显得大气,而且也符合心理学的“先行组织者”策略.

 

课堂观察发现,许多教师在这里都会强调概念的细节.如:函数是两个数集之间的对应;“任意性”;“唯一性”(一一对应或多一对应);y=f(x)是一个整体,不是fx的乘积,它是一种符号,可以是解析式,也可以是图象,也可以是表格;yf(x)如同一个加工厂,输入x,经过f而加工为另一个数值y;定义域、值域都是一个集合且值域是集合B的子集;等.这样针对着定义的抽象讲解,似乎是一种围绕“关键词”的概念“精致”活动,但由于学生刚接触抽象定义,头脑中理解这些细节的背景例证(包括正例、反例)还不够,因此这时强调“细节”,其效果只能是“越讲越糊涂”.

 

在给出概念的文字表述后,陶老师让学生自己举例,并通过“你凭什么说自己举的例子就是函数?”引导学生开展用概念解释事例的活动,这是概念教学中特别值得效仿的,是推动学生思维参与、加速概念领悟过程的重要措施.而这也恰恰是他准确把握教学目的的体现.

 

二、如何设计“概念的形成过程”

 

从教的角度看,概念教学的核心是引导学生开展概括活动:将凝结在数学概念中的数学思维活动打开,以若干典型具体事例为载体,引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念.数学教学要“讲背景,讲思想,讲应用”,概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程.其基本环节:①背景引入;②具体例证的属性分析、比较、综合;③概括共同本质特征得到概念的本质属性;④下定义(准确的数学语言描述);⑤概念的辨析──以实例(正例、反例)为载体分析关键词的含义;⑥用概念作判断──形成用概念作判断的“基本规范”;⑦概念的“精致”──建立与相关概念的联系.

 

从学的角度看,概念形成和概念同化是两种基本的概念获得方式.概念形成的实质是抽象出一类对象的共同本质属性的过程,其思维活动的核心是概括;概念同化就是学生利用已有认知结构中的相关知识理解新概念,理解的过程是新旧知识的相互作用过程,是将新知识纳入已有认知结构的过程,思维活动的核心仍是概括.对于概念学习的心理过程,我们借助当下比较流行的美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky)的“过程──对象”理论加以说明.我认为,这一理论实质上是对人们认识客观事物过程中的“去粗取精,去伪存真,由此及彼,由表及里”的具体化、细化.根据这一理论,像函数这类数学核心概念的掌握需要经历反复的、螺旋上升的建构过程,其基本结构是:

在函数概念的学习中,不同阶段有不同的智力操作.首先,学生利用自己熟悉的运算、变换等作用于函数的具体例证,并进行操作.例如,以“正方形的边长与面积间的关系”为载体,通过具体图形,建立边长与面积间的对应关系:112439416……;通过数的四则运算,体会R×RR的对应;通过求代数式的值体会由一个量的变化引起另一个量的变化的过程;通过解二元一次方程的操作体会变量之间的依赖关系;另外,学生还在学习中接触了通过图形、表格表示变量之间依赖关系的大量实例.在这个过程中,学生逐渐地把作用于函数的操作(输入──输出)、各种表示法(箭头、表格、语言描述、符号表示、图形等)以及作为对象的函数一起,内化到头脑中.一个操作必须得到内化,而一个内化了的操作是一个过程.操作只有得到内化,学生才会有自觉地反映它并把它和其他操作组合起来的可能.内化的过程需要经历适当的训练.例如,学生在操作大量具体函数的基础上获得“对于数集A中的任意一个元素x,在数集B中都存在唯一的一个元素y与之对应”这一思想,它不依赖于任何特定的函数,对集合AB以及对应关系f没有具体限制,但有“两个集合元素之间的依赖关系”的内涵,并能进行“输入──输出”的运算.这是一个由内化操作所得结果的过程,它是建构过程的一条途径.另一条途径是用已有的过程去建构新的过程,它包含两种方式:一种是通过逆,例如,“已知函数值求自变量”作为一个操作,然后内化变成一个过程;另一种是组织或协调两个或更多个过程,例如,函数单调性的认识,通过协调“函数图象”和“由函数解析式,通过运算或代数变换比较大小”(数与形的结合),能够帮助学生更好地领悟单调性的本质.

 

在内化过程中,始终伴随着“一般化”活动.例如,学生将正方形的边长与面积间的对应关系112439416一般化xx2,实质是概括出“对应关系”这一核心;对“xx2进一步“一般化”,可以表示其他问题(如匀加速运动)的变化规律;将各种具体事例的“对应关系”(再概括)浓缩为一般性符号“xf(x)”,得到一个具有“一般性”的“对应关系”,再用严谨的数学符号语言表述,得到形式化的函数概念,这是更高层次的“一般化”活动.

 

总之,通过大量的、从具体事例中概括“对应关系”的操作,学生积累了用集合与对应的语言刻画函数的活动经验,掌握了越来越多的函数具体例证,对“对应关系”描述变量之间依赖关系的作用的体会也越来越深刻,对函数的本质理解得越来越透彻,进而逐步明确函数研究的问题和方法,形成用函数思想研究问题的“基本套路”,养成用函数观点看待和处理现实问题和数学问题的意识.理想的学习结果是形成一个包含大量具体函数实例、清晰的函数下位概念(如变量、对应关系、定义域、值域、图象、函数性质等)、用函数观点处理问题的思想方法及“基本套路”、与其它相关知识(方程、不等式、曲线等)建立紧密联系的“函数认知结构”.

 

我们再看陶老师设计的教学过程:

 

第一步,让学生回顾初中的函数概念并举例;

 

第二步,学生举了许多能用解析式表示的例子,在问题“函数关系都可以用解析式表示吗?”的引导下,举出用图、表表示的函数实例,要求学生说明为什么它们是函数;

 

第三步,引导学生用集合与对应语言描述实例;

 

第四步,给出概念的定义;

 

第五步,借助实例辨析概念中的关键词;

 

第六步,用概念进行判断的练习(包括用“对应说”解释初中学过的几类函数,用概念解释一个具体解析式是否为函数,求函数的定义域、值域,判断两个函数是否“相等”等).

 

从对学生认知过程的预设看,上述安排较好地反映了“过程──对象”的概念学习需要:首先,让学生进行大量的操作,如“举例──说明”(举出例子并用“变量说”判断)、“用集合与对应的语言描述”、“关键词辨析”、“用新定义作判断”等;其次,通过“说理──反驳”活动(“你凭什么说……”等),将操作内化而使实例转化为一个“对象──过程”的整体;通过概括各种具体事例的共同本质特征的操作(浓缩),“一般化”而得到函数的“对应说”;通过协调三种表示法而产生一般性符号表示y=f(x);通过“直角坐标系中的图形是否为函数”、“两个函数是否相等”等(作为过程的逆),“构建具体背景解释函数y=x2的对应关系”,使学生“卷入”对概念的讨论中,推动对函数概念内涵的领悟;等.

 

参考文献

 

David Tall. Advanced Mathematical Thinking. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1991 107

    
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