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在最近研制完成的《高中数学课程标准》中,对函数概念的学习有这样一段描述:

 

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不但象义务教育阶段那样,把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言来刻画函数。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数是数学和其他学科的基础,并能够初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。为了加强不同内容间的有机联系,学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解,体会函数与方程的联系,体会函数图象是理解和研究函数的直观工具。

 

在现行教学大纲中,对函数内容的学习没有提出这样总的要求,而是根据具体的知识点提出了相应的要求。实际上,从上个世纪初的数学教育改革运动(克莱茵──贝利运动)提出“以函数为纲”的口号以来,函数内容一直都是中学数学的核心内容,但非常遗憾的是,函数也是广大中学生感到最难学的内容,而且对函数学学习的困难到底是怎样产生的,函数学习的心理机制是怎样的,如何帮助学生克服函数学习的困难,如何提高函数教学效果等问题,一直没有得到很好的解决。今天我们来谈一谈这个问题,大概的思路是根据我本人的教学经验、课堂观察以及一些理论思考,从历史的、心理学的观点来分析一下函数学习困难产生的原因,并对函数学习困难的排除提出一些建议。

 

一、历史背景

 

    函数概念已成为现代数学的基本思想之一,它渗透到了数学的一切领域。它是数学知识体系的有力基础,但它是学校数学学习中最难掌握的概念之一。函数概念具有复杂性层次,同时还有与之相应的众多次概念,这是函数概念难学的原因之一,因为甚至在最初等的水平上,函数也可以根据不同情境做出不同处理,并由此而产生各种不同的困难。过去,函数概念的掌握,或任何数学概念的掌握被简单地归结为一个任务系列:给学生提供一个条理清晰、结构合适的练习来展现概念的各个方面,让学生理解、内化和掌握这个概念。但实践表明这是一种理论幻想。迄今为止,尽管对数学概念掌握的过程进行了大量研究,但仍然无法知道人们是如何学习数学概念的,学习发生的内在机制还是未知的。我们甚至还不知道如何对儿童进行自然数排序的教学。儿童最终学会了数数、大小顺序等等,而且我们能够粗略地验证学习过程的各个阶段,但它们是如何发生的,在这个过程中儿童经历了哪些基本体验仍然是一个谜。获得函数的深刻理解也是一样的。让学生按照我们事先设定的体系学习的目的是给儿童打下继续学习数学的逻辑基础,但实践表明,纯粹按照数学的逻辑体系(它往往与数学概念原产生过程相反,就如同分析法与综合法的关系一样)进行学习,过分形式化的体系是与学生的数学认知规律相矛盾的,是造成数学学习效果不良的主要原因。

 

新数运动中,有人建议把函数概念作为中小学数学的统一要素,中国也有“以函数为纲”的提法,认为“不迟于6年级函数一词…(及其背后的思想)应当牢固地建立…”,“像…函数…的概念从很小的儿童就能够初步介绍,并且反复应用直到建立起深刻的理解。我们相信这些概念纳入课程不是因为它们是现代的,而是因为它们在组织教材中有用”。虽然许多人一开始就看到函数的形式化处理方法不利于学生形成函数概念,但仍然广泛地在课堂上出现。

 

教科书为了定义函数概念而设置的各种不同引入情境,如箭头、表、代数描述、作为输入—输出黑箱、映射(集合与对应)等等是大家熟悉的。所有这些处理方法中用映射的处理方法似乎是教学上最弱和最不直观的。这里,函数被定义成两个数集之间的映射,要求“集合A中任意一个元素在集合B中有唯一的一个元素与之对应”。这一似乎非常容易理解的定义在教学实践中被证明是非常抽象而且难懂的。可以毫不夸张地说,函数定义的这种处理方法是一种把严格的形式强加给学生的方式,学生不但缺乏认知准备,而且在学习中也没有得到理解定义所必须经历的过程,因此,教师并没有给学生营造理解函数定义的环境。这样,学生除了能够背诵定义的条文以外就再也没有别的了。

 

形式化的处理方法是希望学生能够按照数学的严谨性标准来理解概念,而且希望这种深刻的理解能够得到迁移。也就是说,只要学生真正理解了数学的基本原理,那么这种原理就会在处理其他问题时得到自觉的应用。但实际上这种迁移并不容易发生。理论要应用于实践还需要有一个过程,更何况,理论应当来源于实践。学生理解了幂、指、对函数的定义(当然这一理解是十分困难的)和性质,并不一定能够迁移到三角函数的学习中去。教材以及教师经常说的“显然”对学生来说并不显然。因此,对于任何一种函数,在形成概念的过程中,教师都需要十分精心地进行设计,主要是要为学生提供足够的机会,来经历概念的发生和发展过程,任何用形式化的语言直接揭示概念定义的做法都是不可能收到好的效果的。在数学概念的教学中,过程的浓缩会造成学生认知的极大困难。教学实践也表明,用函数思想处理问题对学生来说是非常困难的。例如,用函数单调性来讨论某些不等式,如已知abm都是正数,且ab,求证:。实际上,函数的学习困难伴随了大多数中学生的整个数学学习过程。

 

二、学习理论中的困难

 

当前,认知心理学关于数学学习的理论探讨还处于“初级阶段”,能够用来较好地解释数学学习内在机制的理论还没有形成。因此,对函数学习是如何发生发展的、学生在学习过程中的思维机制如何的研究任重而道远。函数渗透在数学的每个角落。普通加法和乘法的二元运算就可以看作从R×RR的映射;方程的解与函数的零点相对应;代数不等式、三角不等式问题可以从函数取值情况分析或函数单调性来考虑,等等。构成中学数学课的主要组成部分的一切技术都可以用函数思想加以讨论。实际上,这就是现在非常流行的所谓“函数模型”。那么,所谓的“函数思想”到底是如何形成的?数学家为什么习惯于从函数思想出发思考和解决问题?学生的函数学习困难到底是如何发生的?在学习函数概念时的错误为什么会产生?有没有普遍适用的克服函数学习困难的“药方”?

 

函数概念的教学到底应当依照怎样的模式?目前国际上比较流行的有三种数学学习理论,它们试图描述如何学习数学概念,已经被应用到函数的学习上。

 

1Gagne(1970)的累积式数学学习理论,它是奠基在行为主义框架内的。他认为,学习能够引起行为的改变,改变是可见的,因而是可测量的。所以,学过课题X的证据是能够完成一组与X有关的任务。他把课题X分解成子课题并把子课题分解成它的先决条件(pre-requisite)。对于每个子课题都有一组任务,它们都能用作掌握该子课题的证据。先决条件树伸展、继续伸展直到能够假设对一特定水平的一切任务都在学习者的知识基础之内。这就是说,Gagne建立了一个任务的等级制度(hierarchy),必须通过它一步步去掌握一个特定的课题。当然,这种等级制度和真实的学习并不完全符合。低层次的学习是否一定导致下一阶段的学习还需要更多的证据,另外,把学习任务分得过细有导致低水平细节干扰知识整体把握的危险,所谓的“见木不见林”。

 

奥苏伯尔有“逐渐分化”、“综合贯通”和“提供先行组织者”的教学策略。

 

2Schoenfeld等认为,知识的获得必须通过四种水平的理解:

 

    水平关系到在模式水平上知识的宏观结构。例如,在直线方程Ly=mx+b中理解mb分别表示斜率和y-截距。

 

水平知识要素的具体界定、特例分析以及对某些限制条件等──对知识的细节处理。例如,如果m>0,直线上升,如果|m|大,直线陡,点(0b)是直线的y-截距,等等。

 

水平和支持知识的上层结构有关系──对知识联系性的处理。比如认清过已知两点的直线斜率:(y2y1)/(x2x1)、能够考虑作两个有向线段之比和认清在y=mx+b中当x=0时就得到它的y-截距。

 

水平是在超出熟悉情境和个体建构在水平3上看到的概念要素的时候──知识综合的、创造性的应用。

 

要深刻理解任何一个课题都必须通过这些水平。

 

这个理论描述的学习过程显然是从整体到细节分化,再到综合应用的路线。这个理论对学习过程的理解仍然处于“外部描述”。

 

3Dubinsky的学习理论使皮亚杰理论的各方面适合去掌握数学概念。每个个体通过反映性抽象构建他自己的数学知识。这个理论关心这一途径:过程内化成常规,浓缩成概念, (一个程序跟另一个程序)协调(反向进行)和在更广的范围内一般化

 

Dubinsky相信,个体的数学知识和他对所见问题情境的反应倾向有关,他将根据自己对问题情境的解释,通过()()模式去处理这种情境。学习是有情节的。他分析这种情节并给这门学科部分指令去产生他所谓的发生分解,然后研究发生分解如何和学生的模式紧密配合。

 

在这些理论之间有明显的相似性。每一种理论都有把学科分解成学习序列的倾向。在序列中,SchoenfeldDubinsky试图确定分解的内容和学生头脑中的认知结构变化之间的紧密程度(数学知识结构与学生头脑中的认知结构之间的对应关系)。特别地,Dubinsky的公式证明是特别适合于函数概念的,因为函数是(输入—输 )过程和数学对象的统一体,对象必须作为概念实体来对待。所以把函数过程浓缩为数学对象的技术似乎和函数概念的发展完全匹配。Dubinsky通过使学生集中到用合适的语言(它允许把函数或它们的符号用作对象)编制函数程序的过程上,用浓缩过程取得了某种成功。

 

但此中出现了一个大问题,Dubinsky(1988)是这样说明的:

 

如果是这种情况,那么就很难描绘如何用一般术语进行学习。知识的状态能够观察到,但是从一种状态到另一种状态的实际运动就不能了。如Sinclaire(1987)所述,学习发生,但是当观察其发展时,必须满足于在较高的但是固定的状态上去看它,由于它的复杂性不可能去观察连续的发展。只可能去推测学生通过在其口头或书面交流中唤醒的概念映象的概念化的认知结构。所以我们怎么才能够确切地知道学生有了和函数定义相关的、与过程性函数概念相反的抽象函数概念呢?过程性函数概念能够处理在像特定函数的编程这样的给定情境中的所有任务。

 

发展Gagne式的等级制度和发生分解的“完善结构”的主要问题是它们能够搞得非常复杂。对于甚至是最简单的任务必须掌握的先决条件的清单可能搞得非常庞大;课题搞得过分原子化—全部似乎比它的部分之和大得多。在Gagne的等级制度中,各分步之间是相互割裂的,在许多情况下似乎都是孤立技巧的汇总。简言之,虽然有水准基点,从它能够测量一个人的函数知识,但是内容描绘的是其知识的特定状态。虽然一种特殊词汇似乎正按Schoenfeld等和Dubinsky的方式发展来用更一般的术语讨论学习,但是注意力主要集中在情节学习和给学生对函数概念有困难的个别细节处理上。我们很少知道为什么产生这些问题,我们也不知道如何保证消除毛病。

 

下面看对函数概念内涵要素的理解中的基本问题。

 

三、变量

 

全面理解变量的内涵并不容易。虽然它是数学中一切抽象事物的建筑材料,但是许多学生不知道它的意义。例如,下列情况大家可能经历过:先让学生解一个以x为变量的方程;再让学生去解只改变变量名称(如以y为变量名)的“新”方程。尽管在学生面前有原问题的解,但还是会有相当数量的学生仍然从头开始,甚至部分高中学生也有类似的情况。这些学生把变量名字的改变看作产生了一个全新的问题,先前的解答过程并迁移到当前的情景中来。为什么没有出现迁移,特别是对“变量”这种具有一般意义的基本思想方法?这是一个非常值得研究的问题。请大家考虑一下,为什么变量概念的理解存在如此大的困难?

 

在教学实践中,教师常常对变量概念的理解困难估计不足,有的老师甚至从来就没有考虑过这个问题,实际做法是教师仅仅给出变量(因变量、自变量等)这个词汇,仅此而已,至于学生脑子中的变量概念会是怎样的,通过定义能否使变量概念得到发展,这些很少顾及。大家不妨以“你认为什么叫变量”为题,问问学生。实际上,变量概念的学习并不象我们在黑板上写定义这么简单。“学生考虑作概念的例子的一组数学对象不必和由定义确定的一组数学对象一样”,更加严重的问题是,对“变量”这样抽象的概念如果得不到恰当的具体例子的支持,学生将无法真正理解它。对于这一点,已经理解了变量概念的老师似乎很少注意它。 教师常常被“自动化”阻塞了顿悟的通道,“掌握一种活动如此完善以至如何和为什么的问题(学生尚不理解它们)不再问,不再把它理解为有意义和有关系的问题了”。教师往往按照自己的理解水平进行教学。

 

例如,三角函数中的任意角概念,许多老师可能会想,我用一个教具,顺时针转转再逆时针转转,学生就理解了什么叫“任意角”,没有遇到什么困难呀。真的这样吗?我们认为,是否真正理解,还是要看学生能否在后续学习中自觉地应用“任意角”这个概念。大家可以回忆一下,学生掌握三角函数诱导公式、两角和与差的三角函数等内容时所出现的问题到底是怎样产生的。(书中42页到43页)

 

四、函数、图象和形象化

 

虽然大多数学生能够作简单的图象,但是他们常常把函数图象看成为函数之外的东西,没有把它当成函数的一个有机组成部分来对待。更有甚者,他们可能错误地对待他们自己画的函数图象上的数据。实际上,数学学习中,“画个直观图形”是非常重要的。例如:

 

角为100°34°46°的三角形的外接圆半径为85cm,求内切圆的半径。

 

解这个题目时,画出草图对解答会有很大帮助。但许多学生草图画得不正确,而且再也不用它。

 

另一些问题:求过点(55)与圆相切的切线方程;

 

求直线x=3时的ab的值;

 

解不等式:,等等。

 

这些问题的解答,相当多的学生都用解析方法,而没有把它们与图形表示联系起来。数与形式数学的两方面,有了直角坐标系以后,数与形统一了,因此,用图象方法看函数的许多方面(各种性质)似乎很自然。但是对学生来说情况并非如此。他们好像只靠解析地处理信息和解练习题,而不靠形象的方法。所以,要使学生把函数与图象自觉地联系起来,把函数的图象作为函数概念的一个有机组成部分并不容易。实际上,学生的形象化意识(数形结合思想)的形成需要很长的过程。

 

教学实践表明,许多学生不会用图象来解释问题,而且即使他们画出了图象,也不能正确地解释图象,即他们不理解图象描绘的自变量和因变量之间的关系。例如,对于不等式|x|1的解,学生能够用实数轴上的图形(一维)加以解释,但要求他们在直角坐标系内用图形来表示,很多学生会感到困难。另一个例子是,解一元二次不等式,很多学生习惯于转化为,然后按照两个因式同号的方法来转化。再如,学生很不习惯把函数变换等与图形变换(如轴对称、中心对称等)联系起来。

 

中学的函数概念发展需要形象化的支持,发展学生数形结合的能力是发展函数概念、获得对函数概念的深刻理解的重要途径,作为代数的函数概念与作为几何的函数图像的紧密结合也是发展关于函数的认知结构的主要途径。通过强调函数的形象表示可以减少函数概念的学习困难。另外,直观和形象化技能也是可以训练的。

 

五、抽象、符号和焦虑

 

    函数及其相应的子概念具有抽象的各种程度。随机地打开任何一本数学杂志或者教科书,数学符号和公式会随处可见。学生常常会浏览这一页看看符号和公式是否熟悉。如果其中有许多是他们不认识的,那么他们的脑子里立即会蹦出一个字:难!他们会想,需要花多少时间和精力才能理解所写的是什么呀!这会引起学生的焦虑。而且这种感受在我们的学生中比较普遍。我们知道,学生对数学内容的这种感觉主要是因为数学语言与他们熟悉的日常语言之间的差异很大,数学语言具有最大的抽象性,抽象是数学研究的一切。这种抽象性和它在课堂里的快速推进常常是造成许多学生数学学习失败的主要原因。虽然抽象有层次性,例如函数概念就可以在各种不同的抽象水平得到表述。但是,对于自己已经熟悉了的内容,教师经常不去分水平,“这还不容易吗”是我们经常听到的。例如,“两角和与差的三角函数”中,得到再求,需要用一个同余变换,老师常常认为这是非常容易的,但从我的实践看,情况并非如此。心理学的研究表明,教师在教学中出现的这种情况比较普遍,他们已经掌握这个课题并且也期望他们的学生及时这样做。实际上,教师水平的高低、功夫深浅的标志之一就是能否“从学生的角度看问题”,这也是对学生的要求把握在一个怎样的“度”上的问题。“欲速则不达”是常识,但在实践中却很难把握。更加值得注意的问题是,如果数学教师把那种“这太容易了”的意思通过某种方式(常常在无意时下,在不经意之间)传达给学生,而学生又确实感到不容易时,那么学生会放弃努力,在开始学习之前就泄气了。心理学把学生出现的这种情绪叫做数学恐惧症或焦虑,而且这是数学学习失败的原因之一,即在很多情况下,学习失败是感情(情绪)原因而不是认知原因。当然,数学焦虑不仅是学生的事情,数学教师甚至数学家也有他感觉不舒服的数学领域。

 

虽然数学焦虑是多方面的,但符号的复杂性常常是理解函数概念的障碍。符号问题过去不太被注意,现在国外有专门的论述,把它称为“数学表示”符号困难在初等数学的每个地方都潜伏着。在函数概念的学习中,符号引起的学习困难常常表现在如下的一些方面:

 

1所造成的理解困难。

 

我们知道,它表示的是这样的一个“过程”与“结果”的统一体:x在函数f下的对应值为y,而且这里的f必须是一个映射,这个符号的内涵非常丰富,而且也非常复杂。实际上,许多学生在高中毕业了也没有真正搞明白到底是个什么。在我们的教科书中,映射被表示成fAB,它抓住了映射的动态的一面。如果学生能够把函数真正理解为一种特殊的映射(非常遗憾,许多学生并不这样看),那会有利于全面而深刻地理解函数,并对后续的学习也有好的作用。例如,它有利于理解复合函数,而且它还能够帮助学生进一步理解自变量概念。这样,学生在讨论函数的单调性问题就会减少一些困难。再如,已知,那么使x值是多少?许多学生解这个问题的时会出现困难。但如果把问题的叙述方式改变一下:函数fx)以24为零点,那么,多少乘4可以使fx=0?由于文字语言把对应关系叙述的具体明确了,引导了学生的思维,学生解决此问题的困难就大大降低了。数学问题的用词会影响学生回答问题的能力。因此,在教学过程中,经常要求学生用自己的语言重新叙述问题是减轻数学问题的抽象程度的一个有效手段。

 

我们再来看一下学生对函数定义的理解。实际上,造成上述求零点问题困难的原因仍然在对函数定义的理解上:“对于A中的任意一个数,在B中有唯一的一个数与之对应”,这里的“任意”二字是不容易把握的,实际上,学生常常不能认识到,函数把定义域中的每个点转换到新的数值。直到理解这一点以前,像已知f(x)的零点求f(kx)的零点这样的问题就不能够充分地理解。

 

2.用参数形式来把函数形象化也证明是极端困难的。

 

例如,考虑下列问题:

 

对于每个实数xf(x)是数的最小值.f(x)的最大值是什么?

 

问题中涉及到三个量,可以从参数的角度看待它们,如令y1=4x+1y2=x+2y3=2x+4,而f(x)=min{y1y2y3}。这时,如果将上述三个函数在直角坐标系中表示出来,也即利用参数将函数形象化,那么,问题将迎刃而解。但实践表明,学生的困难很大。

 

3.反函数学习中的困难。

 

反函数的学习中,符号的理解困难是众所周知的。为什么会有如此大的困难?从数学思维的角度看,这里涉及了逆向思维的使用问题,人有思维定势,从另一个角度思考问题是困难的,逆向思考问题就更不容易了。例如,用数学语言表述的下列问题:已知f(g(x))f(x)g(x);或已知f(g(x))g(x)f(x)的解决,涉及到逆向思维。

 

(已知,求的值之类的问题,学生可能会解答,但对于其中的深层次问题,如涉及函数性质方面的,可能就不一定清楚。)

 

另外,由于反函数实际上是对一类特殊的映射(一一映射)的研究,涉及了许多复杂的概念及其关系(必须把函数与其相应的反函数作为一整体),有许多限制条件,这也是造成学习困难的重要原因。

 

这里又涉及到对变量概念的理解问题。表示的是同一个函数,只是因为习惯使然,数学中一般使用来表示反函数。这对教师来说不成问题,但对于学生来说,问题是非常大的。从根子上来说,仍然是对变量概念的理解和把握有困难。即便他们常常有求解反函数所需要的一切技能,学生仍然需要时间来内化这些技能包括用这种方法处理函数。在教师的头脑中必须总是有认知心理学关于自动性的告诫:数学概念对学生不是自明的,即使经过我们对它们的清楚说明。

 

六、表达性困难

 

教学实践表明,对大多数学生来说,符号、记号等等越多就越复杂,实际上对教师自己来说也是这样的。

 

    符号常常是学生出问题的原因,即便符号所表示的基本思想是简单的,而对于函数这样的具有多样性、丰富性和复杂性的概念的符号表示则更是如此。数学学习焦虑,常常是因为 过分热衷于使用符号和抽象的“心智”过程而而引起。当人们看到通篇都是数学符号的数学著作时,产生“头都大了”的感觉是非常自然的。数学家说,好的数学不必是复杂的数学,而复杂的数学也不一定是好数学。爱因斯坦的能量转换公式E=cm2非常简单,但它却表达了宇宙中质量和能量之间的最本质关系。但是,在数学上,虽然人们觉得选择不太复杂而且更直观的符号表述是自然的事情,遗憾的是,过去的似乎并不这样。

 

七、小结

 

以上我们总结了学生在学函数概念时存在的某些现象、困难以及从历史的和心理学的观点来看它们为什么会产生。学生在学习过程中表现出的困惑和焦虑似乎阻碍着学习。这里我们要着重指出的是,函数和它们的相应概念没有被形象地表达和这种不形象的方法阻碍了人们函数意识的发展。人们似乎比较习惯于用解析式来表达,其他方式,如图象、表格甚至是文字等,在人们的头脑中似乎都不被认可。函数,作为表示变量之间依赖关系的模型的思想并不容易形成。学生似乎只用符号表示方式去思考函数。实际上,在人们的心目中,组成数学的大多数课题都是非形象地思考的。应当说,形象思维的欠缺是函数概念乃至整个数学学习的严重障碍。当前,有人肆意否定中国的数学教育,特别是对几何内容的否定,是非常值得我们警惕的。

    
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