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最近一个时期以来,社会各界对课程改革的议论很多,特别是一些高水平的数学家及中国数学会等重要学术团体对中小学数学教育改革给予了极大关注,提出了许多根本性的、有建设性的意见和建议。中小学数学教育改革受到如此广泛的关注,对于我国数学教育的健康发展是非常有利的,数学课程改革这一关系到中国的命运、子孙后代前途的重大事情,不能由少数几个人说了算,而是需要动员全国数学教育工作者的力量。各种声音、不同意见的正常交流、碰撞,对于我们更好地把握数学教育的内在规律,实事求是地看待我国数学教育的现状,客观地分析我国数学教育的优势及其存在的问题,理清改革的思路,避免改革的盲目性,增强改革的自觉性,使我国数学教育得到新的发展,是非常必要的。数学教育改革是一项复杂的系统工程,任何简单化的做法都是不可取的。正因为改革的复杂性、艰巨性,所以改革中会出现各式各样、大大小小的问题,现在的关键是如何及时发现问题,客观地反映问题,本着实事求是的精神,通过科学的分析、论证而积极地解决问题,并及时对改革的方向和步骤做出调整。

 

应当说,数学教育改革是社会发展的需要,并不以个人意志为转移,我国的中小学数学教育一直都在改革,而且形成了优良的传统,取得了举世瞩目的成就。随着时代的发展,数学教育要与时俱进,在继承优良传统的基础上,不断开拓创新,这是共识。问题的关键是如何改。

 

一、树立科学的教育观

 

当前,党中央提出科学发展观,强调构建和谐社会的重要性。显然,这是中国社会发展的一个新进程。数学教育如何才能体现科学发展观,如何进行数学教育改革才能适应构建和谐社会的需要,这是时代发展对数学教育提出的新课题。

 

我们知道,科学发展观强调的是社会的全面、协调与可持续发展,相应的,数学教育也要强调学生的全面、协调与可持续发展,这就是科学教育观。一段时间以来,为了追求升学率,在高考中得高分,不惜加班加点,搞机械、重复式的训练,消耗学生大量的时间、精力和体力,牺牲学生其它的兴趣爱好。这种做法在短时间内能够提高考试分数,但学生在心理发展、知识结构、能力结构乃至道德水平上都出现或多或少的问题,而且缺乏发展后劲。中学(特别是重点中学)的升学率显然是一个重要的指标,就像经济建设中的GDP指标一样。但社会发展到今天,基础教育的性质在发生变化,我国已经实行了多年的九年义务教育,高中教育也由“双重任务”演变为“普通高中教育是进一步提高国民素质、面向大众的基础教育,普通高中教育为学生的终身发展奠定基础。”所以,仅以升学率为目标的观念和做法已经落后于时代发展的要求。我们的教育观念也要与时俱进地变化。

 

科学的教育观,就是以人为本的教育观。以学生的发展为本,是科学教育观的本质与核心,而且应当是全面的、和谐的、可持续的发展。这就要求教师在教学中,不仅要看到所教的学科知识,而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用,在提高人的知识水平的同时,提高他们的素质,丰富他们的精神世界,实现人的全面、协调、可持续的发展。

 

 

 

科学教育观

内涵

以人为本

本质与核心

以学生的发展为本

目的

促进学生身心的全面发展

基本原则

保持和谐发展

重要体现

实现可持续发展

要求

关注个性差异,追求质量和效益

 

二、落实科学的教育观

 

前面谈的是观念,观念性的东西很抽象,容易达成共识,关键是如何将观念落实在行动上。但是,谈到如何具体落实的问题时就会出现分歧,到操作的层面更会出现五花八门,各行其道的现象,甚至会出现相互对立的情形。例如,大家都认为,数学教学应当培养学生的数学学习能力,学会数学地思维,使学生逐步养成良好的数学学习习惯。但是,在教学实践中,对于如何做才能达到这样的目标,却有着不同的观点和做法。例如,有人认为应当强调在数学基础知识的系统学习中来培养数学学习能力,基础知识的掌握是能力形成的前提;有人却认为学多少数学知识并不重要,关键是要让学生“学会学习”,如果有了数学学习能力,知识的掌握是不在话下的。所以,观念必须具体化,落实在行动上才能发挥作用,并且只有经过实践才能真正发现观念的本质差异,检验观念是否正确。

 

我认为,数学教育中落实科学教育观,就是要为学生打好坚实的数学“双基”,发展学生的数学能力,培养学生的理性精神。一句话,数学课要以讲数学、学数学为前提,否则学生的任何发展都将落空。中学之所以要开设各种学科,就是因为这些课程在学生的发展中承担着自己的任务,有其他学科所不可替代的功能。尽管各门学科有一个相互协调、整合的问题,但首先还是要发挥好各自的作用,扮演好各自的角色。否则,学生的发展就会落空,相应的学科也不必存在。

 

相应的,在数学教育目标上,“知识与技能、过程与方法、情感态度价值观”的提法也需要得到进一步具体化,这就是说要具体化为双基、能力、理性精神。

 

关于双基,我想强调的是,它指的是“数学的概念、公式、法则、定理、定义等以及内容所反映的数学思想方法”。数学思想方法作为双基的内涵,不仅有理论依据,而且对数学教学实践有非常重要的指导作用。当前的教学中出现的许多问题,都与课堂教学中不注意“内容所反映的数学思想和方法”有直接关系。例如在概率的教学中,没有把注意力放在使学生理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性上,而仅仅是放在概率的计算上(用排列组合知识)。顺便指出,为了真正把握“内容所反映的数学思想方法”,教师应当努力提高自己的数学水平(不仅仅是会解题)。

 

关于数学能力,现在有许多提法,有的给出十几种能力,我认为比较混乱,不容易把握。实际上,最基本的还是运算能力、思维能力、空间想象能力和用数学解决问题的能力,关键是要对这些能力的内涵有正确的理解。例如对于“思维能力”,要注意它包含直觉思维能力和逻辑思维能力两个方面。这样,就可以防止类似于在平面几何教学中出现的仅仅关注逻辑思维能力的偏差。

 

关于理性精神,我认为实事求是的态度,正直诚实的品格,追求真理的勇气和信心,寻求一般性模式、追求简洁与形式完美的思维方式和行为习惯,追求逻辑的严谨性和结论的可靠性的意识,等等,都属于其内涵范畴。

 

三、对几个具体问题的把握

 

我们应当针对问题进行改革,不能采取否定一切、推倒重来的办法。教育改革一定是在继承基础上的发展与创新。没有继承就不会有真正高水平的创新与发展。因此认真分析我国数学教育的优势与不足,从而明确改革的方向和内容,这是非常重要的。尽管非常困难,但是我们仍然应当非常细致来区分什么该改而什么不该改。当没有充分的证据时,改应当非常谨慎。

 

我国数学教育的优势是明显的。我国中小学数学教材有体系结构严谨,逻辑性强,语言叙述条理清晰,文字简洁、流畅,有利于教师组织教学,注重对学生进行基础训练等优点。数学课堂教学强调为学生铺设合适的认知台阶,强调启发式教学,强调变式训练,我国学生的数学基础扎实,运算能力和逻辑推理能力强。

 

我国数学教育也有明显不足。从数学教育内部看,其中最主要的是教学没有真正抓住数学的本质,常常纠缠在细枝末节上,存在脱离数学本源的现象,学生训练得太多太苦,时间、精力投入太大,数学思想发展的不够理想,“数学地思维”的习惯没有很好地养成,教学效益不理想。具体地,以下问题是主要的:

 

1)数学教学“不自然”,强加于人,对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响;

 

2)缺乏问题意识,解答“结构良好”的问题多引导学生主动提出问题少,对学生提出问题的能力培养不力;

 

3)重结果轻过程,结论记忆多关注知识背景和应用少,“掐头去尾烧中段”,导致学习过程不完整;

 

4)重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括,方法论层次的内容渗透不够,导致机械模仿多独立思考少,数学思维层次不高;

 

5讲逻辑而不讲思想,强调细枝末节多关注基本概念、核心数学思想少,对学生数学素养的提高不利。

 

针对数学教育中存在的问题,广大教师正在探索改革的路子,提出了许多改进的方法。例如,强调创设问题情境,让学生进行自主探究、合作交流,强调让学生经历数学知识的形成过程,强调数学的实际应用,等等。应当说这些教改尝试都是非常好的。但是,在改革的过程中我们特别应当注意把目标确定在提高数学课堂教学质量和效益上,切不可为改而改,搞形式主义。改革的初期出现这样那样的问题是可以理解的,关键是看到了问题就应当积极想办法纠正。犯错误是可以原谅的,犯同样的错误是不可原谅的。

 

1.数学课程内容──保持高标准。

 

一段时间以来,“大众数学”的口号在世界上被广泛宣传,而且被用来指导数学课程改革。因为要讲平等,让所有人都有机会学习数学,因此降低数学课程内容难度成为世界改革的潮流。但是,随着改革的开展,人们发现为了使数学能够被一般大众所接受而简单地降低内容难度不但没有提高大众的数学水平,反而出现大众的数学水平的整体下降。显然,数学课程不能以人人学会作为设置理念,否则将是没有终点的退却。美国在倡导“大众数学”后,数学教育质量严重滑坡,学生在国际测试中不能令人满意的表现,大众数学水平的整体下降,引起一些有识之士的担心。全美数学教师联合会在20004月出版的课程标准修订版中,明确提出了“公平需要对所有学生都有高要求并提供均等且优良的机会”。所以,“大众数学”不能以降低标准为代价,“公平”既表现在(高)标准的一致上,也表现在优良学习机会的一致上。

 

心理学的研究表明,对学生学习相对高深内容的期待,对培养学生的数学学习兴趣、增强学生对自己数学学习能力的信心有重要影响,因为人都有一种不甘示弱、接受挑战的心理倾向。如果认为必须降低内容水平才能适应学生的学习能力,这种心理暗示将使我们的下一代畏惧数学(我反正学不了,所以我也不必付出努力),成为低要求的受害者。

 

值得注意的是,要明白“高标准”的含义。例如,我们不能认为要求学生理解用“关系”语言表述的函数概念就是高标准。只有符合学生认知发展水平、学生经过真正的努力能够达到的要求,才是我们说的“高标准”。课堂教学中,教师应当通过适当的方式让学生知道对数学学习的高标准。例如,不断地向学生提出有挑战性的学习任务;要求学生不仅记住事实和操作步骤,而且要思考并理解其原理;鼓励学生独立解答问题,探索用不同途径解答问题,并愿意坚持不懈地做出努力;出现错误时,要求学生不是改正答案了事,而是要思考出现错误的原因,善于从错误中学习;启发和鼓励学生使用类比、推广、特殊化等逻辑思考方法,自己尝试得出一些数学结论;经常要求学生反思自己的学习过程;等等。

 

2.问题情境──适切性。

 

应当说,许多数学概念都有实际背景,真实的问题情境对提高学生的数学学习兴趣、为理解数学知识提供机会等都会产生积极影响,但我们必须记住,学校里还是要以学习抽象的数学知识为主,以数学知识的学习为载体,培养学生的抽象思维能力为主要任务,而且毕竟学习时间有限,如果所有数学知识的学习都要求经历原始的抽象过程,那很难想象学生可以在短时间内形成今后学习、工作所需要的基础。

 

所以,我们要注意正确理解“问题情境”的内涵,即问题情境可以从学生的真实生活背景中产生,但从数学知识发展的内在需要所自然产生的问题也是非常重要的,而且是主要的,数学知识内在的逻辑发展线索、解决实际问题的需要都可以成为创设情景的源泉。

 

对于教学中创设问题情境,我们要强调适切性。问题情境应当与当前的教学内容有内在联系,能够从中引出课题、是概括出有关知识的基础,不能为了吸引学生暂时的注意力而“创造”出一些“情境”来。与当前内容关系不大的情境只能分散学生的注意力。

 

3.探究、交流等活动──有效性。

 

当前,“自主探究”“合作交流”等词出现的频率很高。应当说,在我们以往的教学中,教师讲得多学生动得少的现象是存在的,在强调创新精神和实践能力培养的今天,加强学生活动是需要的。中学数学学习中,主要应当是抽象的逻辑思维活动,组织探究、交流活动的目的应当是促进学生的数学学习兴趣,使学生更加积极主动地投入到数学学习之中,从而更好地理解数学知识的本质,而不是为了营造活跃的课堂气氛,为活动而活动。如果课堂活动热热闹闹,但活动内容与数学学习任务没有太大关系,那么这样的活动应当终止。

 

所以,数学教学中引入各种活动要强调有效性。活动要与理解当前数学知识的本质紧密相关,通过活动能够形成理解知识本质的经验,有效地促进学生的数学理解。要根据数学知识的类型以及学习的类型安排活动:陈述性知识到陈述性知识的学习(数学符号、规定,像0=10向量与任意向量平行等),只要教师讲解、学生听讲并记忆就可以;陈述性知识到程序性知识的学习(某些概念的学习并理解概念所反映的思想方法等),可以先由老师讲解再安排讨论、解答问题等活动;程序性知识到陈述性知识的学习(为了概括某些数学方法等),可以先安排探究活动,获得理解知识的经验与素材,然后再由教师或学生进行概括;程序性知识到程序性知识的学习(为了获得难以用语言明确表达的数学知识),主要通过安排活动。另外,在组织活动时,要考虑如何使全体学生都能参与其中?因为组织不当,会使活动变为少数几个“尖子”的表演,从而造成两极分化,这是与课改的初衷相违背的。所以,活动必须精心设计、组织。

 

4.问题──开放度。

 

问题能提高学生对数学内容的兴趣,为学生提供建构重要数学理解的机会,激发学生反思数学概念和数学思想方法;问题能促进学生主动思考和解答问题,并在课堂中讨论他们的解答,使学生投入有意义的数学学习。因此,数学教学应当“以问题带动教学”,并促进学生学会提问,使他们形成“凡事问个为什么”的习惯,达到以自己的问题和别人的问题带动学习。

 

问题有不同的开放度

 

以数学语言和符号形式呈现的“常规问题”。这种问题的目标指向是巩固知识,熟练记忆。一般只要按照指定的方法解答就可以,因此其开放度低。这种问题是教学中使用最多的,也是必须的。

 

以数学语言和符号、简单的现实情境呈现的“变式问题”。这种问题的目标指向主要还是巩固知识,加深知识的理解。解答方法与“常规问题”的解答方法类似,但需要通过建立知识之间的联系,所以解题方法具有一定的可选择性。这类问题有一定的开放度。

 

以现实情境或数学概念发展过程(“问题情境”)呈现的“开放性问题”。这类问题的目标指向是发现新的数学概念或原理,建立数学观点与事实之间的联系。所以解决这类问题一般不是用指定的方法,可以有不同的思路,使用不同的知识。这类问题的开放性较大。

 

因此,问题与当前的知识类型、目标指向有关,这里的关键是教师应当根据知识的类型和教学目标,提出开放度适当的问题。一般的,问题可以在数学思维过程中的关键点、难点、重点上提出,以开启学生的思维,引发学生的独立思考。

 

当前,如何在课堂教学中,根据教学进程的需要,提出适度的问题是需要努力研究的,也是教师需要加强的基本功。

 

5.课堂教学过程──连贯性。

 

在第三次国际数学与科学研究的一个课堂录像研究中,教学内容的内在联系性是考察数学课堂教学质量的一个重要内容。研究结果表明,高质量、高效益的课堂教学往往是围绕着一个中心论题设计的,课堂教学过程就是这个中心论题被仔细展开并逐步深入的过程,课堂中涉及的各数学成分都与这个中心论题存在内在关系。教师以这个中心论题的展开和深入为基本线索,精心组织相关的数学成分,使相应的核心数学概念或重要数学思想成为一个综合的整体,相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开。而那些效果差的课堂教学,论点或内容多、杂乱,关联性差,也没有得到深入的展开。我们中国的数学课堂教学历来有连贯一致的传统,这是应当得到很好坚持的。

 

为什么数学课堂教学要有连贯性?实际上这是由数学的学科特点以及思维的逻辑性所决定的。数学的不同学科(代数、几何等)具有内容的内在联系性、思想本质的一致性,人的思维的连贯性、思考与推理的逻辑性,两者都要求数学课堂教学过程具有连贯性。

 

为了保证连贯性,在数学课堂教学设计时应当注意什么?我想关键的还是要思考如何突出数学的那些核心概念和重要思想。实际上,某些数学内容确实比其他内容重要些,例如单位、数及其运算、比例关系、函数、变化率、统计观念、向量等等,因为它们是理解其他数学概念的基础,是联系不同数学领域的纽带,当然还应当包括相应的数学思维和推理(合情推理与逻辑推理)。一句话,具体内容的教学中要经常地考虑与核心概念和重要思想的联系。

 

    
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