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4,平面向量的结构化设计。

 

我们知道,位置是空间最基本原始的概念。空间中由AB的有向线段就是AB两点所标记的两个位置之间的差别的具体化描述。位移向量(自由向量)则是一个将这种“位置差别”加以定量化的基本几何量,其本质内涵是的方向与长度,也就是当两个有向线段为同向平行且相等时,两者所表达的位移向量定义为相等。与物理学中的位移合成类似,在此基础上,可以通过位移向量的合成定义向量的加法。与数及其运算类似,在定义向量的加法的基础上,可以定义向量的减法和数乘运算。从几何角度考察向量运算,则有如下结果:

 

一个点A、一个方向e可以定性刻画一条直线;引进向量数乘运算ke,那么直线上每一个点X就可以定量表示为k1e

 

一个点A、两个不平行的方向e1e2在“原则”上确定了平面(定性刻画);引入向量的加法运算e1+e2,那么平面上每一个点X就可以定量表示为k1e1+k2e2

 

同样地,引进向量的数量积的定义

 

a·b=|a|·|b|·cosα

 

几何中讨论的长度、角度、面积等就转化为对向量的表达和运算。

 

另一方面,从代数的角度考虑,引进一个量及其运算就自然要考察其运算律。而从对运算律的几何含义的考察中发现,空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律。例如:

 

向量加法的定义植根于空间的平行性。在欧氏几何中,关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换,而平行四边形定理所转换而得者,就是向量加法的交换律;

 

相似放缩是欧氏空间的特色,这也就是向量的数乘运算的来源。而关于相似形的基本定理,即相似三角形定理,用向量数乘运算来表达就是数乘分配律;

 

关于长度和角度的基本定理,即勾股定理和余弦定理,可以用向量的数量积来有效地计算,而数量积本身又有一套十分简明有力的运算律,特别是分配律。“本质上,数量积的分配律是勾股定理的提升和精简所得,也可以说是勾股定理代数化的最佳形式”。

 

根据上述分析,我们可以这样来构建平面向量教学的结构系列:

 

1)借助位移、有向线段引入向量概念;

 

2)借助位移的合成定义向量的加法运算,再类比数的减法、乘法运算引进向量的减法运算和数乘运算;

 

3)考察向量运算的几何意义,运算律及其几何含义;

 

4)从度量长度、角度等的需要出发,引入向量的数量积概念,考察其几何意义,运算律;

 

5)与解析法建立联系,考察向量的分解(平面向量基本定理)及坐标表示,并考察在坐标表示下的一些基本问题(向量运算的坐标表示,向量度量关系的坐标表示,等等)。

 

概念是知识结构化的关键。概念按照从具体形象到表象再到抽象的等级排列,概念的拥有量、抽象水平以及使用概念的灵活性是一个认知行为的基本要素。可以说,课堂教学是形成概念序列的思维活动。因此,从结构化角度加强概念教学,使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列,对于掌握知识、发展能力是至关重要的。下列做法值得关注:

 

1)概念教学遵循从具体到抽象的原则,采取“归纳式”,让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动,而不是给出概念定义,举例说明,练习巩固;

 

2)正确、充分地提供概念的各种变式;

 

3)适当应用反例,罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析,是促进学生认识概念的本质、确定概念的外延的有效手段;

 

4)在概念的系统中学习概念,使学生有机会从不同角度认识概念,建立概念的“多元联系表示”,这不仅便于发挥知识的结构功能,使概念具有“生长活力”,有益于知识的获得、保持和应用,而且对发展学生的概括能力有特殊意义;

 

5)精心设计练习,在应用中强化概念间的联系,巩固概念网络,加深概念理解。

 

3.“两个过程”有机整合,精心设计概括过程──过程原则

 

“两个过程”就是数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程。

 

改进教师的教学方式和学生学习方式是时代发展的要求。把改革的基点放在使全体学生都能独立思考上,使讲授式教学与活动式教学相结合,接受式学习和发现式学习相结合,形成互补,从而使学生被动接受的局面得到改变。这里,“结合”“互补”都是在“两个过程”的有机整合中,不断引导学生的概括活动实现的。

 

贯彻过程原则,必须做好两个还原。第一个是还原知识的原发现过程,这就要求我们在教学设计中思考数学知识结构的建立、推广和发展过程;数学概念的产生过程;解题思路的探索过程;数学思想方法的概括过程;等等。第二个是学生思维过程的还原,这就要求我们在教学设计中,为学生构建一条“从具体到抽象,由此及彼、由表及里,从个别到一般,从片面到全面的思维通道。有了这两个还原,概括过程的主导思路也就明确了,以这条思路为依据设置问题情景,引导学生开展类比、猜想、特殊化和推广等思维活动,使他们经历概括过程。显然,强调“过程性”的核心是强调教学过程的思想性,使学生在课堂中有高度的思维参与,经历实质性的数学思维过程。

 

在设计概括过程时,如下措施值得注意:

 

1)通过分析“两个过程”,明确概括过程的主导思路,围绕这条思路确定猜想和发现的方案;

 

2)在把概括的结论具体化的过程中,推动对概念细节的认识;

 

3)通过变式、反思、系统化,建立概念的联系,形成概念体系;

 

4)强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用。

 

 

 

具体的,我们可以尝试以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程:

 

1)创设问题情境,引起学生对新知识的注意与思考;

 

2)开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动,形成假设;

 

3)利用已有知识进行推理论证活动,检验假设,获得新知识,并纳入到已有认知结构中;

 

4)新知识的应用,加深理解(理在用中方知妙),建立相关知识的联系,巩固新知识。

 

5 不等式基本性质的猜想、证明和应用

 

知识的发生发展过程:从等式到不等式;在运算过程中的“不变性”。

 

思维的过程:类比等式的基本性质得到关于不等式基本性质的猜想,并以实数大小的基本事实为依据进行推理论证。

 

因此,概括过程的主导思路是:类比等式的基本性质猜想不等式的基本性质,以实数大小的基本事实为依据进行证明或证伪。

 

教学设计思路如下:

 

1)引导学生回忆规定实数大小方法(顺序公理,数形结合);

 

2)引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用(实数大小比较归结为统一的与0的大小比较或判断差的符号问题);

 

3)引导学生回忆等式基本性质的获得过程及其基本思想(考察运算中的不变性);

 

4)引导学生类比等式的基本性质提出一些不等式的基本性质的猜想;

 

5)尝试用实数大小的基本事实证明性质;

 

6)辨析不等式的基本性质(与等式问题比较,考察异同;不同语言表述性质;等等);

 

7)尝试从基本性质出发,得出一些新的结论(如abcd,则acbdab0,则0;等等);

 

8)概括思想方法(与实数性质、等式性质的联系性;在数与运算的系统中考察关于实数大小的基本定理;等等)。

 

4.强调“反馈—调节”机制的应用,有效监控教学活动──调控原则

 

任何有计划的活动都需要有一个调控机制,这样才能使活动目标有效达成,否则是“脚踩西瓜皮,滑到哪里算哪里”。为了使教学活动维持在最佳状态,追求教学的高效益,“反馈—调节”机制的使用是必须的。实际上就是通过及时调控,始终使学生在自己的思维“最近发展区”内活动。

 

在“反馈—调节”机制的使用中,非常重要的是学生自我监控的参与,因此这是一个涉及“元认知”的问题,对于提高学生的数学能力,特别是思维能力是至关重要的。自我监控能力的培养是一个重要但未被重视的问题。

 

反馈信息要注重差异,调节则要有意识地采取分化性措施。在课堂教学设计中,下面几个方面值得考虑:

 

1)给不同需求的学生提供不同类别的专门帮助;

 

2)布置可选择的作业集合,满足不同学生的不同需求;

 

3)认真考虑学生的个人爱好,机智地将其纳入课堂教学。

 

五、课堂教学结构的选择

 

在课堂教学设计中,需要根据教学内容和教学条件,选择适当的课堂教学结构。

 

应当说,课堂教学结构并不能一概而论,原因是教学条件复杂多样,学生之间存在个性差异,教学内容也千差万别。因此在教育理论研究中,课堂教学结构历来是风格各异、流派纷呈。不同的教学流派主张的课堂教学结构往往各有千秋。当前要防止千篇一律的“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的结构模式,应当注意探索教学结构多样化的途径。

 

从扎实搞好“双基”教学,提高学生数学能力,逐步发展学生探索数学规律的能力,培育理性精神的要求出发,我们认为下面的课堂教学结构具有普适性,它包括有层次的五个环节。

 

1.创设问题情境,明确学习目标。

 

以问题为教学的出发点,激发学生的好奇心和学习兴趣,使学生产生“看个究竟”的冲动。

 

学习目标一定要让学生非常清楚地知道,只有这样才能使学生把握学习方向。一般的,学习目标中,掌握数学概念的内涵(知识点),领悟概念所反映的数学思想方法,建立相关知识的联系,学会数学地思考与表达等,应当成为基本内容,最重要的是要形成数学的思维方式。

 

2.指导学生开展尝试活动。

 

1)在学习目标的指引下,通过适当的问题引导学生回忆已有的相关知识。

 

新的学习建立在已有学习基础上。许多时候,建立已有知识之间的联系就是学习目标。例如,用向量法研究平面几何问题、解析几何问题,涉及到几何的各种概念,平行、垂直、相似等各种关系,长度、角度、面积、体积等各种度量,以及向量的有关知识,这些都是学生已经具备的,要学习的就是它们之间的联系。新的学习要成功,不仅要具备前提性知识,而且它们要有可利用性,这就要使它们得到回忆。这种回忆不要采取简单的“……是什么?”的方式,而要通过一些问题来引发,也就是说,回忆知识不能采用机械的问答式,而要注意思考性,在引导学生回忆已有知识的过程中,引起知识之间的联结,以利于形成新的猜想。

 

2)提供适度的学习指导。

 

这里的指导不是“告诉学生答案”,而是引导学生的思路,让学生有目的地开展阅读、观察、实验、类比、联想、归纳、推理以及交流等活动,以提高学生学习的效率。主要还是根据学习内容的特点,通过一系列的问题来引导学生发现规律。

 

提供学习指导,实际上是一个师生互动的过程。互动的方式很多,就教师与学生之间的互动形式来看,有以教师为主的互动(“问话式”,教师问学生答)和在教师指导下以学生为主的互动(“对话式”,互问互答);就互动的内容来看,主要是通过“问题——操作、思考——回答”的方式来展现;就教师提问来看,有认知要求的差异,即学生会根据教师提问的要求,在识记、推理、探究、评判等不同的思维水平上来回答问题。我们不能对如何互动作一概而论,还是应当根据学习内容的特点进行设计。但是有一个原则要把握住,这就是要保持学生的思维水平,问题应具有思考力度。主要是把握好指导的“度”,保持认知要求──不适当的“指导”往往会降低认知要求。“度”的准确把握来源于对学生的全面准确的了解。

 

3.组织变式训练。

 

在训练过程中,正例、反例各有功效,应当恰当使用:

 

正例(典型性、丰富性,适量,变式),通过归纳,概括共同特征,形成正确概念;反例,用于辨析概念。一般来说,反例应当在使用正例形成一定的概念理解后使用,以达到对细节、特例的深入了解,避免认识的片面性。

 

要精心设计练习中思考性的合适梯度,提高训练的效率。既要防止过分的机械模仿,又要避免过早要求学生解决复杂的应用问题。

 

给学生提供自己提出问题的机会,逐步增加创造因素。

 

4.认知结构的组织和再组织。

 

结合必要的讲解,指导学生从联系的角度研究新知识,将新知识概括到已有的认知结构中去。可以从两个方面考虑:一是引导学生进行归纳总结;二是提供适当的综合应用新知识的机会。

 

另外,在教学设计的系列中,必须设计在一段时间内有间隔的系统复习,以保证知识得到良好的保持;为了促进迁移,应当在一定的时候提供“问题解决”的机会,使学生能够把学到的知识运用到与学习情景本质上不同的新情景中去。

 

5.根据教学目标,及时反馈调节。

 

每一堂课都要有反思学习过程的任务,使学生对照学习目标检查自己的学习效果,提出疑问,由教师或同学有针对性地进行答疑或讲解。另外,应当通过反馈调节,给那些学习有困难的学生以补救的机会,尽量不使问题累积。

 

因为学生在学校里主要学习前人已经总结好的知识,因此,课堂里还是应当追求结构清晰的教学。虽然没有固定的结构可循,但一般的,一堂课应当既有骨架又有灵魂,还应当有教学的载体。这里,骨架就是相应的知识结构,灵魂就是相应的核心思想,载体则是师生活动。

 

六、课堂教学设计的基本环节

 

一般的,课堂教学设计由以下几个环节组成:

 

1.背景分析。

 

1)学习任务分析(重点:本堂课的核心概念、数学思想方法;前后相关的知识);

 

2)学生情况分析(重点:学生已有认知结构与新内容之间的潜在距离)。

 

2.教学目标的设计(重点:通过学习,学生能做哪些过去不能做的事)。

 

3.课堂结构的设计(重点:数学知识的逻辑顺序、教学活动顺序)。

 

4.教学媒体的设计(重点:适应学习需要,有利于揭示数学本质)。

 

5.教学过程的设计(重点:引导学生数学思维的“问题串”;变式训练;反思活动)。

 

6.教学评价的设计(重点:了解学生学习效果的任务,能准确了解学生在新情景中会做什么)。

 

教学设计是一个动态过程,需要在实践基础上的不断修正。

 

参考文献:

 

①顾泠沅.教学改革的行动与诠释,人民教育出版社,20038月版,第130页。

 

②项武义.基础数学讲义丛书·基础几何学,人民教育出版社,20049月版,第142页。

 

③曹才翰.曹才翰数学教育文选,人民教育出版社,200510月版,第149页。

 

    
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