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一、引言

 

数学是中小学课程体系中最重要的课程之一,这是因为它在学校育人的过程中具有独特的作用。这种作用主要体现在开发学生的智力,锻炼学生的逻辑思维,使学生学会认识问题和解决问题的基本方法,并在这个过程中提高推理能力,培育理性精神和创造力。归根到底,数学教育的重要性主要体现在提高国民的思维素质和理性精神上,而其基本途径则是精中求简地选择数学教材,构建体现数学核心概念及其反映的思想方法,符合学生认知水平和思维规律,易学好懂的教材体系,使学生认识数学的基本方法的同时,学会数学地思考和解决问题。

 

上述对数学教育重要性的认识应该是一种共识,广大数学教师也能认同。问题的关键在于:如何才能使这种认识转化为课堂教学的实践呢?这个问题的解决,又得回到对数学本身的认识上。只有老师理解了数学的基本思想方法,把握了数学地认识和解决问题的“基本套路”,才能在教学中自觉地遵循数学认识问题的轨迹,引导学生经历这样的认识过程,这样才能让学生有机会逐步学会数学地认识和解决问题。换言之,如果老师自己数学地认识和解决问题的方法理解不充分,那么他在教学中就很难把使学生学会数学地认识和解决问题做到位。

 

为了说明上述基本想法,下面从笔者最近听到的一堂《图形的旋转》课说起。

 

二、教学过程概要

 

环节一 课题的引入

 

先让学生观察转动的陀螺,再让学生欣赏动画,再让学生举日常生活中旋转的例子(学生举出时钟上的指针的转动,飞速转动的电风扇叶片,马路上的汽车轮子的转动,自行车行进中轮子的转动……)。然后问:

 

它们有哪些共同特点?

 

学生回答:“转”。由此引出课题:图形的旋转。

 

本环节的设计意图是:利用直观教具丰富学生的感性认识,使学生感受到除平移、轴对称等图形变换外,还广泛存在着旋转现象,从而产生探究这种变换的欲望。

 

环节二 定义的教学

 

教师先利用计算机展示点、线段、三角形绕一个点旋转的动态过程,要求学生在观察后回答问题:

 

你对旋转是如何理解的?

 

在学生回答“物体绕一点旋转”后,老师自己给出结论:

 

像这样,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P,那么点P和点P叫做这个旋转的对应点。

 

接着,给出例题1:如图1ABC是等边三角形,DBC边上一点,ABD经过旋转后到达ACE的位置。(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?(3)如果MAB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置?

 

 

1

 

老师采取问答式,让学生找对应点、对应角,然后讲解如何找对应点、对应角,步骤清楚,指令明确。接着进行概念的实际应用:

 

 

2

 

1 如图2,杠杆绕支点转动撬起重物,杠杆的旋转中心在哪里?旋转角是哪个角?

 

2 钟表的分针匀速旋转一周的时间为60分.(1)指出分针的旋转中心;(2)经过20分,分针旋转了多少度?

 

这两个问题的目的是引导学生用旋转概念解决问题,巩固概念。其中,学生对问题1的“旋转角”解释不清,教师帮学生说出了答案(没有引导学生“回到定义去”)。

 

环节三 探索性质

 

教师事先准备了如图3的学具(含有挖空的旋转中心、点、线段、三角形),让全体学生通过旋转作图来探究旋转的性质,并提出了如下问题:

 

C:\Users\sony\Pictures\IMG_0243.JPG

 

3

 

1)如图4a),点A绕点O旋转到点B,线段OAOB什么关系?

 

2)如图4b),除AOCBOD外,还有哪个角等于旋转角?这样的角有多少个?

 

3)如图4c),ABCDEF的形状和大小有什么关系?

 

 

                                         4

 

学生操作、说理后,教师自己归纳出性质:

 

1)对应点到旋转中心的距离相等——保距(见注)。

 

        2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角——保角。

 

3)旋转前、后的图形全等——保形。

 

在“设计意图”中教师写道:通过实验,让学生经历“画图观察猜想验证”的过程,为引导学生的思维由具体到抽象、由粗略到精细提供载体;培养学生的动手能力、观察能力和探究问题的能力,以及与人合作交流的能力;以问题为导引,逐步对旋转的性质进行探究,这样既突出了重点,又突破了难点。

 

接着,给出例题2:如图5E是正方形ABCDCD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形。      

 

 

5

 

在“设计意图”中教师写道:本题一方面巩固正方形和全等三角形的知识,另一方面进一步增强学生对旋转的性质的理解。观察学生的解题过程,笔者发现有的学生先延长CBF,使BFDE,再连接AF得到旋转后的图形ABF

 

环节四 拓展研究,承上启下

 

教师通过改变旋转的“三要素”(即旋转中心、旋转角和旋转方向),让学生体会,当“三要素”中的任意一个发生变化时,旋转所得的图形都会发生改变,从而既加深学生对本节课内容的理解,也拓展了学生的探究范围,为下节课利用旋转设计图案作好铺垫。

 

三、对教学过程的分析

 

(一)以一般的教学理论观点为视角

 

如果从教学论的一般理论看,本课的教学过程完整。具体而言是:

 

1.课堂教学结构完整,包括课题的引入、旋转的概念和简单应用、旋转的性质和简单应用、对旋转的拓展研究等环节。

 

2.教学方法主要采用问答法,注意学生自主活动和教师讲授的结合,安排了多样化的学生活动。

 

3.对于旋转概念和性质,都先以小组(六人一组)为单位组织学生探究,并在小组活动基础上进行全班交流,最后再由老师总结得出结论。

 

4.旋转概念的教学安排了如下过程:

 

1)以日常生活情景为载体引入课题,激发学生好奇心和学习兴趣;

 

2)借助计算机动态演示点、线段和三角形绕一点旋转,让学生观察后回答“你是怎么理解旋转的?”然后教师给出旋转的概念;

 

3)教师通过“有哪些关键词值得注意?”引导学生辨析旋转概念,并强调旋转的“三要素”;

 

4)安排“等边三角形绕一个顶点旋转”的例题,应用“三要素”解决问题,并强调“找对应点、对应角”的操作步骤;

 

5)安排有实际背景的应用题,进一步加深对旋转概念的理解。

 

上述过程概括起来就是:概念的引入——概念内涵的归纳——概念的明确(给定义)——概念的辨析——概念的应用(用概念解决问题的基本操作步骤)。因此,概念教学环节很完整。旋转的性质的教学过程也是完整的,这里不再赘述。

 

5.从教学设计中看到,教师注意到了数学与生活的联系,想让学生经历“画图观察猜想验证”的完整思维过程,并要“培养学生的动手能力、观察能力和探究能力,以及合作交流能力”等,结合教师的课堂教学实践,我们可以发现教师具有贯彻“新课程”理念的强烈愿望,而且也在努力实践。

 

因此,以一般的教学理论为视角,虽然在教学活动的组织实施、教师的教学行为和教学艺术等方面也有一些需要改进的,但整体上看这堂课没有大的瑕疵。

 

然而,如果从数学的角度,从发挥数学的内在力量开展育人活动的角度,从使学生学会认识问题、解决问题的方法的要求等审视本节课,那么需要改进的工作是大量的,而且许多都是带有根本性的。

 

(二)以数学课程的育人功能为视角

 

实现数学课程的育人目标,根本上还是要发挥数学的内在力量。这就要求教师在日常教学中,以数学概念的发生发展过程为载体,使学生经历完整的数学思考过程,包括:明确研究的问题,获得研究的对象,确定研究的内容,选取研究的方法,安排研究的进程,获得研究结论。只有这样,才能让学生逐步树立从数学的角度看问题的观点,逐步掌握数学思考的过程与方法,进而学会数学地认识和解决问题。从这样的要求来审视,本课的教学需要改进的问题有:

 

1.关于研究问题的明确,教师在引入过程中给出的“转动的陀螺”情景,学生举出日常生活中旋转的例子,与本课要研究的课题有很大的差距,其中有的是“空间转动”(如转动的电风扇叶片),有的是转动与平移的合成(如转动的陀螺、汽车轮子的转动),也有的可以看成是“图形的旋转”(如时钟上指针的转动)。因此,在没有对这些图形的运动类型作适当区分的情况下,只由“它们的共同特征是‘转’”是不能引出课题“图形的旋转”的。这里需要有教师的引导性语言的过渡。

 

2.关于研究对象的获得,即定义的教学,教师在演示点、线段和三角形绕一点旋转的多媒体课件后,问“你对旋转是如何理解的?”在学生回答“物体绕一点旋转”后就直接给出旋转的定义,这并不能使学生获得研究对象。其中存在三个问题:一是抽象的过程很不充分,没有对若干典型具体事例的共同特征的归纳过程,因此概括出旋转概念缺乏基础,这将给后续的所有相关学习埋下隐患;二是“你对旋转是如何理解的?”的数学指向不明,改为“要确定一个图形的旋转,需要哪些要素?”这样可以把学生的思维引导到“数学地刻画研究对象”上;第三,没有重视“对应点”这一附属概念的教学,这也会给后续研究埋下思想方法方面的隐患(旋转的性质往往归结为对应点的关系)。

 

3.关于旋转的性质的研究,教师在学生动手操作之前,没有对什么叫“旋转的性质”、如何研究“旋转的性质”等作出必要的说明,这样就使学生的操作活动带有很大的盲目性。尽管老师提出的三个问题对旋转作图的目的有一定的引领,但其实际效果也只是学生“按照老师的指令做”。

 

实际上,图形的旋转是一种图形的运动,教学中必须使学生明确,所谓研究“旋转的性质”,就是要考察旋转前后图形的关系。由“点动成线,线动成面”,首先应当研究清楚“对应点”之间的关系;由于几何关系中最基本的是“形状、大小、位置”,所以还应研究旋转前后图形的形状、大小和位置关系。在研究的思想方法上,一定要强调利用好确定这个旋转的“三要素”,这样才能使学生想到把对应点与旋转中心连接起来,进而水到渠成地发现性质(这也是具有普适意义的思想方法,例如研究圆的性质要利用好圆心和半径)。

 

4.在概念、性质的应用教学中,没有强调“如何应用概念、性质解决问题”,在学生遇到困难或出现错误时,没有引导学生“回到定义去”。

 

实际上,“概念是思维的细胞”。在解答数学问题时,学生找不到思维的切入点,很大的原因是他们还没有养成“回到基本概念去,从概念的联系中寻找解决问题的思路”的习惯。像例2的教学,要引导学生思考如下问题:(1)决定这个旋转的“三要素”是什么?(2)旋转后的图形与ADE有什么关系?(3)要画出旋转后的图形,关键就是要确定哪些点?当然,具体教学时,可以在学生做完后让他们回答“你是怎么做的?为什么?”也可以让学生先思考上述问题后再完成作图。

 

5.如何为后续学习埋下伏笔?教师通过改变“三要素”让学生观察“旋转效果的变化”,这里并没有留下什么悬念,在数学内容上没有发展的空间。

 

实际上,学习本节内容,除了研究“图形的旋转”本身的一些性质外,最主要的目的是利用这些性质去解决一些其它几何问题。其中最重要的是利用图形的旋转不改变图形的形状和大小,去探索一些几何图形的性质。所以,这里可以安排一些找两个全等图形(线段、三角形、平行四边形、正多边形、圆)的旋转中心、对应点、对应边、对应角等作业。

 

四、体现平面几何“基本套路”的教学设计

 

从上述分析中我们可以归纳出如下几何研究的“基本套路”:

 

明确问题——定义对象——研究性质(判定)——应用。

 

其中,“明确问题——定义对象”体现了数学研究对象的抽象过程和数学概念发生发展的完整过程,体现了“数学教学要讲背景”的要求;“定义对象——研究性质(判定)”体现了从概念及概念间的相互关系认识数学对象,通过数学命题刻画图形运动或变化中表现出的规律性。显然,这是数学的内核,也是数学育人的内在力量之所在。

 

下面我们就根据上述“基本套路”来设计教学过程:

 

环节一 情景引入,明确问题

 

引言:在现实世界中存在着各种各样与旋转相关的现象。例如,游乐园里旋转的摩天轮,地球绕着太阳转,汽车行驶过程中车轮的旋转,神州飞船绕着地球转等。因此,认识旋转运动的规律,对于人类的科技发展、生产活动乃至我们的日常生活都是很重要的。

 

问题1 你能再举出一些旋转的例子吗?

 

追问:你能将上述旋转大致分分类吗?

 

引导学生分析、讨论的基础上明确:旋转现象多种多样,例如,如果把太阳和地球都看成一个点,就是一个点绕着另一个固定点的旋转;摩天轮是绕着一根固定的轴旋转;车轮绕着车轴旋转,而车轴向前平移;等。

 

设计意图:明确研究旋转运动的必要性,为抽象出图形的旋转概念做准备。

 

先行组织者:我们看到,旋转运动各种各样,而且复杂程度也各不相同。对于复杂的事物,数学中往往采取从简单到复杂的方法开展研究。小学里学过图形的平移、旋转和轴对称,进入初中后,前面我们进一步研究了图形的平移和轴对称。类似的,今天我们将进一步研究图形的旋转这一最简单的旋转运动,也就是:在一个平面内,一个图形绕一个点的旋转运动。

 

出示课题:图形的旋转

 

环节二、归纳共同特征,获得旋转的概念

 

问题2 请同学们自己作一个ABC,再让它绕着顶点A旋转30°,画出旋转后得到的图形。你能得到几个符合要求的图形?

 

追问:(1)如果绕着顶点A旋转45°,你又能得到几个图形?(2)如果让ABC绕平面内任意一点O旋转角α,你能画出旋转后得到的图形吗?(3)比较一下大家画出的图形,你能得到什么结论?

 

设计意图:让学生通过动手实验,通过比较,感受旋转中心、旋转角和旋转方向等“三要素”对确定一个旋转运动的作用。三角形是最典型的平面图形,先绕着它的顶点旋转,再绕着任意一点旋转,这是一个从特殊到一般的过程,有利于学生从中归纳出旋转的本质特征。

 

问题3 结合自己的作图过程,你能说说,给定哪些条件才能使旋转后得到的图形是唯一确定的?

 

可以视学生回答的情况提示,任意一个要素不确定时,图形都不能唯一确定。

 

设计意图:引导学生归纳旋转的“三要素”。

 

板书“图形的旋转”的定义(略)。

 

概念的辨析:你认为应如何理解“把一个平面图形绕着平面内某一点O按某一方向转动一个角度”这句话?

 

设计意图:辨析概念的关键词,加深理解概念。

 

通过讨论、引导,明确以下几点:(1)对于一个给定的旋转,点O是固定的一点;(2)转动的角度大小也是固定的;(3)平面图形绕点O转动一个角,实际上就是这个图形上的每一个点绕点O转动了一个角(追问:如何刻画一个平面内的一点A绕点O转动一个角?)。

 

1  如图1ABC是等边三角形,DBC边上一点,ABD经过旋转后到达ACE的位置。(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?(3)如果MAB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置?

 

 

1

 

设计意图:及时巩固概念。让学生独立完成后,请一个学生回答。在学生回答的过程中,以“你是怎么想到的?”为引导,让学生用概念作判断。

 

补充定义:在一个图形的旋转中,如果图形上的点P经过旋转变为点P,那么点P和点P叫做这个旋转的对应点。

 

例如,点M和点M就是上述旋转的对应点。你能说出上述旋转中点EAC的对应点吗?

 

2 已知线段AB的长度是6 cm,点O在线段AB的垂直平分线上,且到线段AB的距离为4 cm。线段AB绕点O旋转90°,先画出点AB的对应点,再画出旋转后的图形。

 

设计意图:先画对应点,需要作辅助线,这是作对应图形的一个难点,例1的解答有利于突破这个难点。同时,本例也为旋转的性质的探究作了铺垫。

 

环节三、探究旋转的性质

 

先行组织者:根据已有的学习经验,得到一种几何对象后,一般要研究两个问题:性质和判定。同样的,对于图形的旋转,我们也要研究有关性质。

 

问题4 你认为我们应该从什么角度研究“图形的旋转”的性质?可以研究哪些性质?应该如何研究这些性质?

 

设计意图:让学生先明确研究的方向,再进行具体研究。

 

师生活动:通过讨论,明确这里的性质,就是指旋转前后图形的关系。最基本的,应当研究清楚“对应点”之间的关系;由于平面几何是研究几何图形的“形状、大小、位置”,所以还应研究旋转前后图形的形状、大小和位置关系。因为一个旋转由“三要素”唯一确定,所以研究中要利用好“三要素”。

 

学生自主探究:在明确了研究的内容和方法后,让学生独立探究,也可以合作探究。

 

课堂互动交流:让学生发言,交流研究成果。

 

在学生发言的基础上,师生一起总结出旋转的性质。

 

说明:上述设计注重了从概念到性质的研究过程,其用意是让学生学会用概念来思考;还注意了用几何研究的“基本套路”统领研究过程,贯穿着平面几何的基本思想方法。在教学活动中,始终强调“学生先做”,然后交流、互动、总结。这样做的目的就是为了落实数学基本思想和基本活动经验的教学,在这个过程中,学生的分析和解决问题的能力也会得到锻炼。

 

3 如图2E是正方形ABCDCD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°。你能用几种方法画出旋转后的图形?

 

 

2

 

设计意图:本题的目的是用旋转的性质解决简单问题。让学生用不同的方法作图,意在拓展学生用性质解决问题的思路。例如,只用性质1找到DE的对应点而作出图形;由性质3,所作图形与△ADE全等,点D的对应点是B,因此延长CBF,使BFDE,再连接AF就得到旋转后的图形ABF

 

在学生作出图形后,要追问学生是怎么做出的,用了什么性质等。

 

环节四、课堂小结

 

1.请你总结一下本课研究问题的过程。

 

要点:先从各种旋转现象中,区分出最简单的旋转,即一个平面图形绕平面内一点的旋转;再研究唯一确定一个旋转所需要的条件,进而给出“图形的旋转”的定义;然后研究图形的旋转的性质。

 

2.研究“图形的旋转”的定义的基本步骤是什么?

 

要点:先研究几个具体的旋转事例,通过分析、比较,归纳出它们的共同特征,然后再给出概念。接着还对概念的关键词进行了辨析,明确了旋转中心、旋转角和旋转方向都是唯一确定的,一个图形的旋转就是它上面的每一个点的旋转,点的旋转可以用它与旋转中心连线段绕旋转中心的旋转来刻画。

 

3.“旋转的性质”指什么?我们是如何研究的?

 

要点:“旋转的性质”是指旋转前后两个图形的形状、大小关系。由于图形的旋转可以归结为点的旋转,因此对应点的关系也是旋转的性质。研究性质时,我们总是与确定这个旋转的“三要素”相联系。

 

4.我们得到了“旋转的性质”,你认为可以用这些性质解决哪些几何问题?

 

例如,可以用性质研究图形的全等关系。

 

5.你觉得还可以研究哪些旋转的性质?

 

例如,通过旋转,线段的长度、角度的大小、面积的大小等都保持不变,位置关系(如平行、垂直)也不会改变等。

 

以上对数学教学中如何发挥数学的内在力量,使学生学会数学知识的同时,学会数学地认识和解决问题的方法,进而真正体现“学会学习”的育人目标,谈了个人的一些粗浅认识,希望能抛砖引玉,引发广大数学教师对数学教育本质的思考与实践。

 

这个“保距”与刚体运动中的“保距”不是同一个概念。严格地说,“保距”是指一个图形中的任意两点间的距离在刚体运动中保持不变。

    
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