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一、教学内容分析

 

1.内容及其逻辑线索

 

实践中,我们经常要通过建立数学模型,将实际问题转化为代数问题。例如:

 

一个长方形的蔬菜大棚的长比宽多2 m。为了扩大生产,将长和宽各增加了3 m,从而将大棚的面积扩大了39 m2。问:这个大棚原来的长和宽各多少米?

 

设宽为x m,容易列出下列方程

 

(x+3)(x+5)=x(x+2)+39

 

然后,我们用运算律(特别是分配律)和等式的基本性质(移项法则),把含有未知数的算式加以简化,并最终确定未知数x所代表的值。

 

从知识的发展过程看,完成上述简化过程需要明确以下问题:

 

第一,简化算式的过程中,为什么可以针对未知数施行数系运算律?

 

第二,简化过程中,会遇到哪些运算,其中最基本的运算是什么?

 

对于第一个问题,虽然在简化过程中我们不知道未知数的值是多少,但它是一个数。因为数系运算律对于任何数都成立,所以对“未知数”也成立。这是非常直观的,能被初一学生容易地理解。

 

为了明确第二个问题,我们来分析一下可能的整式运算。

 

实际上,整式本身就是运算的结果——数与字母相乘所得的积叫做单项式,几个单项式相加所得的和叫多项式,单项式和多项式统称为整式。值得注意的是,整式中的数和字母都满足运算律。整式的运算就是对数、字母符号运用运算律所进行的形式运算。前面已学的整式的加减就是利用分配律去括号后,通过合并同类项而完成的。

 

两个多项式相乘,我们先用分配律把它转化为单项式的乘积之和式来计算,而单项式的乘积则是用乘法的交换律、结合律和幂的运算性质(指数法则)来运算。所以,多项式乘法的基础是单项式的乘法,而单项式的乘法又以幂的运算性质为基础。

 

那么,幂的运算有哪些形式呢?通过归纳可以发现,最基本的形式是三类:am·an(am)n(ab)n。有了这三类形式的运算法则,任何多项式的乘法就都可以完成了。

 

2.需要研究的特例——乘法公式

 

数学中,研究特例具有特别的意义。一方面,一般性寓于特殊性之中,特例往往蕴含了数学对象的重要规律,对特例的研究是对数学对象性质的认识深化;另一方面,许多数学问题往往可以通过分类、特殊化等方法获得解决,而特例在其中扮演了分类标准、转化目标的作用。因此,特例往往成为重要的数学研究对象。例如,平面几何中,平行、垂直的位置关系,等腰三角形、直角三角形,平行四边形(再特殊化就是矩形、菱形、正方形)等都是研究的重点对象。代数中,各种代数公式、定理往往也是在特例的考察中发现规律,逐步归纳得出的,例如在对多项式乘法的特例考察中,我们就可以得到各种乘法公式:在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

 

1)当c=ad=b时,有平方差公式(a+b)(ab)=a2b2

 

2)当c=ad=b时,有完全平方和公式(a+b)2=a2+2ab+b2

 

3)在完全平方和公式中,用-bb,有完全平方差公式(ab)2=a22ab+b2

 

4)在(a+b)2=a2+2ab+b2的基础上,对多项式的次数进行推广,就可以归纳地得到二项式定理

 

5)在(a+b)(ab)=a2b2的基础上进行归纳,可以得到

 

(a2+ab+b2)(ab)=a3b3

 

(a3+a2b+ab2+b3)(ab)=a4b4

 

……

 

(an-1+ an-2b+ an-3b2++bn-1)(ab)=anbn

 

综合以上分析,“整式的乘法”的内容和逻辑线索是:

 

同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式的乘法——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式

 

二、如何引入课题

 

本节课是一章的开篇,因此需要重点关注两个问题:一是构建“先行组织者”,使学生明确本章的学习主线;二是要让学生掌握“同底数幂的乘法法则”。教学设计中,要以上述内容分析为基础,落实好知识的发生发展过程的教学,并加强代数研究方法的指导,潜移默化地进行“数学地认识问题和解决问题的方法”的教学。

 

显然,每节课都可以有不同的引入方式,但不同的引入方式却能反映不同的教学观。概括地说,本堂课的引入可以从两个角度考虑。

 

一个角度是“从整体出发,逐渐分化”,即从整式运算的整体出发,引导学生从宏观到微观,逐步寻找整式的乘法所需要的逻辑基础,将研究的问题具体化,进而构建整体研究思路,然后再按照知识的逻辑顺序逐步展开学习。这一角度的关键是用好“先行组织者策略”。这样,根据前面的教学内容分析,我们可以提出如下问题:

 

问题1 关于整式及其运算,我们已经学习了哪些知识?——单项式及其次数的概念、多项式的概念、整式的概念,整式的加减运算等。

 

追问:整式的加减运算的实质上在做什么?用了哪些运算律?为什么可以用这些运算律?——实质是合并同类项;用了加法的交换律和结合律,因为整式中的字母也代表数。

 

问题2 类比数的运算,你认为接下来可以研究整式的什么运算?——整式的乘法、除法。

 

追问1:你能归纳一下整式的乘法的基本类型吗?

 

合作学习:按小组活动,列出一些整式,构造出一些整式的乘法算式,并归纳出整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。

 

追问2:你能设想一下多项式乘多项式的步骤吗?——利用分配律转化为单项式的乘积之和,再利用乘法交换律、结合律进行单项式乘单项式。

 

问题3 所以,上述三类整式的乘法,以单项式乘单项式为基础。那么单项式的乘积的基本类型又有哪些呢?——am·an(am)n(ab)n三类。

 

小结:两个多项式相乘,我们先用分配律把它转化为单项式的乘积之和式来计算。单项式的乘积的基本类型是am·an(am)n(ab)n,只要我们知道了它们的运算法则,就可以用乘法的交换律、结合律以及这些法则进行单项式的乘法运算了。本节课就先来研究am·an

 

另一个角度是以“整式的乘法”的内容和逻辑体系为依据,逐个提出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方……的学习任务,最后通过单元小结概括整体知识结构。教学时,采用从具体到抽象的方法,从具体数字的运算中归纳出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则。这是目前被普遍采用的教学思路。

 

比较上述两种引入,前一种方式的立意更高,思想性更强,“数学味”更浓,课题的引入更加自然而水到渠成,能使学生切实地感受到学习同底数幂的乘法的必要性,同时还能更好地落实“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力的培养”。这样的安排,更加符合数学法则产生的原来面目,完美地体现了数学教学的整体观,因此课堂更加大气,能给学生更多智慧的启迪,思维的教学更加到位。然而,这一方式不仅对学生的数学素养、学习能力要求较高,而且对教师的专业素养和教学能力的要求也很高。另外,许多人还会担心这样做需要更多的教学时间,占用运算技能的训练时间,对考试成绩有不利影响等等。

 

关于课堂的起点,时下流行的是“情景引入”,往往展示一些现实情景,并要求学生举出生活实例,然后从中抽象出研究的对象。本课也不例外,大部分版本的教材也是按照这样的思路,先给一个具体问题,列出包含同底数幂的算式,再提出学习任务。我认为,这样的做法并不全面。我在一篇文章中曾经提出,对“从现实引入”的更全面认识,应从数学知识的发生发展过程需要来考虑,这个“现实”既可以是“生活的现实”,也可以是“数学的现实”。这里,生活的现实应该是学生熟悉的,是与当前学习内容紧密相关的,而且要尽量避免人为编造;“数学的现实”是在数学知识发展过程中自然而然地提出的问题。随着数学学习的不断深入,学习内容的抽象程度不断提高,更应强调从数学知识发展的逻辑必然性中提出问题。就本节课的学习内容而言,学生已经学过整式的概念、加减运算,从“数式通性”的角度说,学习同底数幂的乘法的基础(即数的乘方)很牢固,因此,用前一种方式引入,不仅更能体现数学的整体性,更有利于创新精神和实践能力的培养,数学的思维训练价值更能得到充分发挥,而且也与学生的认知准备相适应,更能体现学习的自主性,也更能激发学生的学习主动性。

 

三、教学中应关注什么

 

我们知道,初中的代数,与小学算术的差别,在于代数中引进了“不定元”(用字母代表数)和多项式运算。“代数学的根源在于代数运算,也即加、减、乘、除、乘方、开方等等。所有能够用代数运算加以表达的问题都统称为代数问题。而代数学这门学问所要研讨的就是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题。”(项武义,基础代数学,1)显然,多项式的运算所要解决的问题是代数中的最基础问题:如何有效、有系统地进行多项式的加、减、乘、除、乘方、开方,而“整式的乘法”则是“基础的基础”。因此,在本课的教学中,应该关注的核心问题是“如何有效、有系统地算”。具体的是两个问题:一是同底数幂的乘法法则,实际上是解决算理的问题,实现“有系统地算”;二是如何用法则进行有效计算,实际上是进行运算技能的训练,提高运算能力,实现“有效地算”。

 

1.加强运算技能的训练

 

运算技能的训练是代数教学的基本任务,本节课的“训练点”在两个方面。一是“用同底数幂的乘法法则进行计算”,关键是解决“把不同底转化为同底”,这是知识与方法的角度;二是运算习惯的培养,与“数感”、“符号意识”等相关,具体可以从“先观察,后计算”、“先定符号,再算绝对值”等方面着手。

 

例如,对于(ab)3(ba)4,学生往往拿起笔来就算:

 

(ab)3(ba)4=[(ba)]3(ba)4=(ba)3(ba)4=(ba)7=(ab)7

 

显然,这样的“算”是低效的。而如果先观察,发现(ba)4=(ab)4,这样就能使运算更简便、更有效。

 

2.关注代数的基本思想

 

前面的讨论中已经涉及了一些代数基本思想,例如“代数学的根源在于代数运算”,运算律(特别是分配律)是解决各种各样代数问题的核心等,这里不再赘述。下面要重点讨论的是归纳的思想和归纳法的应用。

 

代数中,各种各样的公式、法则等,都是用归纳法得到的,也即从数字到字母、由低次到高次、由一元二元到多元,逐步归纳地发现,然后再用归纳法证明其正确性。这是一个完整的过程:归纳地去探究、发现,归纳地定义,然后再归纳地论证。本节课要学习的同底数幂的乘法法则,也是采用归纳的方式得到的。因此,教学中应有意识地提示学生,从具体数字的同底数幂出发,利用数的乘方的意义,发现其中的规律性,最终得到对任何数都成立的同底数幂的乘法法则,这个过程使用的是归纳法;在代数的学习中,自觉地使用归纳法,既能使我们更有效地发现各种代数公式、法则等等,同时也是培养发现和提出问题的能力的重要契机。

 

小结

 

本课内容简单,从掌握知识的角度看没有什么难点。但如果从注重数学的整体性,强调代数基本思想,加强运算技能以及发现和提出问题的能力等角度看,教学中又有许多值得注意的问题,因此需要我们在课题的引入、同底数幂的乘法法则的得出、法则的应用等环节加强思考,努力为学生构建一个前后一致逻辑连贯的代数学习过程,使他们在掌握知识的过程中学会思考,把他们培养成为善于认识问题、善于解决问题的人才。这是“数学育人”的康庄大道。

    
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