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常常听到老师这样的疑惑:我讲完课后问学生“听懂了吗?”学生都答“听懂了!”但解题时却是“我不会!”为什么学生听懂的知识却不会用呢?

 

我想,问题在于老师是怎么让学生“听懂”的。进一步地,学生是“真懂”还是“假懂”?本期刊登的沈顺良老师的“三种不同引出的比较与分析”可以为“什么才是真懂”和“怎样才能使学生真懂”作些注解。

 

沈老师从听课中发现,由于教师对教学内容及相关知识的联系性的认识不同而给出了不同的教学设计,由此导致了不同的教学效果。在“片段一”和“片段二”中,值得我们注意的是学生的那两个“?”号。这是两个大大的问号!

 

在“片段一”中,老师设“局”太明显,学生虽然猜到老师的意图,得出了一般结论“logaM+ logaN= loga(M·N)”,但这样的结论并不是从知识发展的自然过程中产生的,是被老师“套”出来的。因为其中没有“内容所反映的数学思想方法”的启发,没有给出证明的基础,所以学生产生大大的“?”号是自然的。

 

“片段二”中,教师先让学生回顾对数的定义和指数幂的运算性质,然后提出“能否将am·an=am+n转化为对数运算的性质?”这是一个从天而降的问题,缺乏逻辑的必然性,因此必然让学生感到莫名其妙而产生大大的“?”号。这样的教学,学生也能听懂,但它是从指数幂的运算性质出发经“形式化变形”而得的,因为学生缺少将新问题化归为已有知识的心理过程,因此不利于对数运算性质的理解和掌握。这样,学生“听懂了但不会用”就在所难免。

 

实际上,人教A版在本节内容的开篇设计了一个“探究”:“从指数与对数的关系以及指数幂的运算性质,你能得出相应的对数运算性质吗?”其意图很明显,是希望学生利用指数和对数的关系,把对数问题化归为指数问题,借助指数幂的运算性质,导出对数的运算性质。这是本课内容的核心,应围绕它展开教学。当然,具体教学时还应根据学生的认知规律设计相应的过程。“片段三”理解了教材的编写意图,引导学生根据指数与对数的关系实现化归,从而得出对数的运算性质。这样的过程是自然的、水到渠成的。在此,学生不仅得到了对数运算的性质,而且理解了其中蕴含的数学思想方法。这是一种思维的教学,是使学生“学会思考”的教学,这样才能使学生“听懂了就会用”。

 

当然,要使学生真懂、会用,还是要通过学生自己的独立思考、自主探究。对数运算性质的推导并不难,教师可以先让学生明确教科书中那个“探究”的意图,与学生讨论清楚对数运算性质的研究思路,然后放手让学生自己探究,最后组织学生集体交流、相互补充就可以了。

 

顺便指出,有的老师把logaN理解为“对数运算”,认为“log39的运算结果是2”,这是不正确的。logaN就是一个数,其意义是=N。而对数运算是指对数之间的运算。

 

另外,数学史上,对数的发明与指数并无瓜葛,人教A版对此已有介绍。如果以自然对数的定义——为出发点,那么lnx表示函数f(x)=介于ξ=1ξ=x之间的“曲边梯形”的面积。根据积分的定义,我们很容易证明lnx1+lnx2=ln(x1x2)

    
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