当前位置:首页>>高中数学>>教师中心>>个人作品专辑>>教材编者>>章建跃>>编后漫笔>>精华选萃

本期刊登了王能斌的《对三角函数定义修改的感悟》。文中指出,对于三角函数的定义,许多老师很怀古,钟情于“任意角终边上一点的坐标比值”的定义方法,而对“单位圆上点的坐标就是三角函数”的定义方法不适应,提出种种理由拒绝它。早在2007年之初,我就在《数学通报》上发文,剖析了这些“理由”,这里不再赘述。其实,数学定义是选择的结果。教材的选择,既要考虑定义本身是否简单、易学及对后续学习的影响,还要考虑它是否反映了现代数学的发展和实际应用的需要。人教A版用单位圆上点的坐标定义三角函数,是因为它体现了“三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现”,并能给后续学习带来极大方便,这在王老师的教学中也得到了证实。这里我想谈的是要以开放的心态,更新自我,通过深入理解内容而实现习惯的改变。

 

公元前的亚历山大里亚时期,为了建立定量的天文学,以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时、计算日历、航海和研究地理等,三角术在希腊定量几何学中应运而生。到托勒密(Ptolemy,公元168年去世)出版《数学汇编》,希腊三角术及在天文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量三角恒等变形问题,包括和(差)角公式、和差化积公式等,证明采用了初等几何方法。三角学的发展与天文学相互交织,且服务于天文学。到十六世纪,三角学开始从天文学里分离出来,并成为数学的一个分支。为了应付航海、天文、测量等实践之需,制作三角函数表成为三角学研究的核心工作。因为在制作过程中需要大量的三角恒等变形,所以三角恒等变形问题占据了重要地位。后来,随着对数的发明,特别是微积分的创立,三角函数表的制作变得轻而易举,繁杂的三角恒等变形不再需要,曾经重要的三角公式也风光不再。因此,在中学数学课程中,三角恒等变形应逐渐退出历史舞台。

 

那么,三角函数课程应如何与时俱进呢?

 

首先,从应用的角度看,应强调三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的地位,因为“三角函数与其它学科的联系与结合非常重要,最重要的是它与振动和波动的联系,可以说,它几乎是全部高科技的基础之一”①。要特别重视对y=Asin(ωx+φ)的研究。

 

第二,“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动,密切配合的周期函数,它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数;而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质(主要是其对称性)的直接反映。”②所以,要充分发挥单位圆的作用,三角函数课程要用单位圆为载体来组织,要借助单位圆的性质研究三角函数的所有内容。

 

第三,在思想、方法上,要强调函数的变换(映射)与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等数学的主流思想和方法。例如,把诱导公式作为“关于x轴的轴对称变换T1”和“将θ的终边绕原点逆时针旋转的旋转变换T2”的合成;把和(差)角公式作为“角α旋转任意角β的旋转变换公式”等。

 

第四,要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合。

 

总之,定义三角函数的最好方式是利用直角坐标系中的单位圆③抓住三角函数作为刻画匀速圆周运动的数学模型,这就真正抓住了要领,就能以简驭繁。

 

注:

 

①齐民友. 三角函数 向量 复数[J]。数学通报,200710)(11

 

②项武义. 基础数学讲义丛书·基础几何学[M].北京:人民教育出版社,200482

 

[]R·柯朗等. 什么是数学. 左平,张饴慈译. 上海:复旦大学出版社,2005283

    
【上一篇】
【下一篇】