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本期有两篇讨论“零向量”问题的文章。从赵宏伟老师的参考文献中看到,许多老师对这个问题感兴趣。在我平时的调研中也常有老师问及于此。这些都说明“零向量与任一向量平行”“零向量与任一向量垂直”之类的规定,真的困惑了不少老师。对此,我有如下想法与大家交流。

 

首先,从向量代数的角度看,我们首先感兴趣的是非零向量,它们有好的运算—加法,并由此延伸出数乘向量。为了使它的逆运算(即减法)完满、不留空白,必须引进零向量。这是零向量的核心意义,就像实数集中的0在运算中的地位一样。由于零向量的位置特殊,数学家们约定“零向量的方向不确定”。这样,在处理具体问题时,让它与某一向量平行或垂直都可以。这是一种人为的、合乎习惯的并且方便于应用的规定,就像“0既不是正数,也不是负数”(其实也可以说成是“0既是正数,也是负数”)一样。

 

其次,向量有它的几何原型—有向线段,而且我们借助于几何图形,用“三角形法则”等定义它的运算,因此“向量集数与形于一身”。在研究了向量的运算及其规律后,回头再看向量运算及其结果的几何意义,就有了解决几何问题的向量法,而且向量法的力量无限。这种力量集中体现在它仅用“向量相加的‘首尾相接法则’”、“向量数乘的意义和运算律”、“向量数量积的意义和运算律”、“平面向量基本定理”等四条基本法则来解决几何问题。这些是中学向量教学应关注的核心问题。

 

第三,我们应把精力集中在核心的、更重要的内容上。例如:

 

如何理解函数概念?为什么课标提倡“从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手,引导学生联系自己的生活经历和实际问题,尝试列举各种各样的函数,构建函数的一般概念”?

 

如何帮助学生建立向量概念?为什么要强调向量的几何背景、物理背景?向量法的特色是什么?

 

如何与时俱进地理解任意角的三角函数?为什么要强调单位圆的作用?

 

为什么说“等差数列是自然数列的变式”?

 

为什么说“统计的核心思想是归纳的思想”?统计教学为什么要强调让学生亲自动手收集数据?

 

为什么说“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”?为什么在古典概型之前不讲计数原理?

 

如何理解“瞬时变化率就是导数”?导数的思想及其内涵是什么?

 

当然,教师在自己深刻理解的基础上,还要将这种理解做出教学表达,其目的是要有利于学生的理解。例如,把“零向量的方向不确定”与“0的符号不确定”作类比,可以帮助学生体会零向量的“味道”。

 

这篇短文是我在绍兴讲课时写成的。突然有一个联想,对零向量的这种“考证”,是否与当年孔乙己对茴香豆的“茴”有多少种写法的考证一样呢?这个联想对考证零向量的老师确实是大不敬了,望海涵。但无论如何,费那么多的笔墨于零向量,确实不够大气。

 

:本文涉及刊物内容详见张景中等《向量教学存在的问题及对策》,载《数学通报》2009年第9期。

    
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