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陈振宣先生关于“构建数学核心概念意象”的论述,其主旨是追究概念的本源,寻找适当的模型表达。其实,中学数学的内容,追本溯源,都有本质的精简性、思想的朴实性,本源上都是自然且直观的。因此,把数学教得平易近人、精简实用应是数学教师的基本追求。

 

不久前看到一篇“等差数列前n项和公式的推导”的教学论文。文中提到,“倒序求和”是重要的思想方法,由高斯求1+2++100的方法得不出“倒序求和法”。因此,“人教A版”应当改变设计思路,以“梯形钢管堆的计数”“梯形面积”等引出“倒序求和”法。

 

是否老师们都认为“倒序求和”是重要的思想方法呢?在网上搜索相关文献,发现大多数老师持这一观点,并且都紧紧围绕这一“思想方法”展开教学,不遗余力地要让学生掌握这一方法。教材培训时的“即兴调查”结果也一样,大多数老师认为推导等差数列求和公式的思想方法是“倒序求和”。

 

我认为,“倒序求和”并不是什么思想方法,“重要”就更谈不上了,它只是为了避免对项数n进行奇偶讨论而引入的一个技巧,并不具有根本的重要性。

 

事实上,推导等差数列{an}n项和公式的核心思想是:用等差数列的性质“等差数列{ an }中,当m +n=p +q时,am + an = ap + aq ,将不同数求和化归为相同数求和,数量关系上看是利用了“平均数”概念;进一步地,如果从等差数列的概念和通项公式出发,由于Sn=na1 +d[1+2++(n1)],问题可化归为求1+2++(n1)。所以,“人教A版”的设计思路,即:从“高斯的故事”引入,再归纳高斯方法的本质,明确其实质是用了上述性质,然后再用这一方法求1+2++n的值(需要分n为奇数、偶数),最后再过渡到一般等差数列的求和公式,是一种聚焦基本概念和基本原理,引导学生经历从特殊到一般的归纳过程,从中领悟“化归”的思想方法的思路。“倒序求和”的技巧可以在讨论n的奇偶性而获得求和公式后,再让学生思考“能否想个办法避免讨论”,把公式变形为2 Sn=n(a1 + an),再联系性质而得到。因此,“倒序求和”的技巧实际上是“倒过来想”的产物,估计前人也是出于避免对n的奇偶讨论而想到的。许多老师都在为这一“思想方法”的自然引出而绞尽脑汁,但我认为,如果仅仅盯在“倒序求和”上是做不到的,因为它不是“原发性”的,不是求和公式这一“内容所反映的思想方法”。

 

因此,应把“等差数列前n项和公式”看成是等差数列概念、性质的应用课。这一课的教学,重要的是要培养学生从基本概念、基本原理出发思考问题的习惯。具体教学时,应在明确任务(即用基本量a1dn(a1ann)表示Sn)的基础上,引导学生从基本性质、通项公式入手,寻找化归的方法,在不断“求简”的追求中得到“倒序求和”。

 

顺便提及,在等差数列{an}中,看看a1=1d=1这一特例,考察一下它与一般等差数列的关系,不难发现:最简单、最本质的等差数列就是123,…,n这就是等差数列的意象。其他都是它的“变式”——a1代表不同“起点”,d代表不同“步长”。研究等差数列时,想想自然数的性质是很有启发的。

 

领悟数学知识所蕴含的思想方法是教师的基本功,也是构建合理的教学过程、提高课堂教学有效性的前提。

    
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