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函数是中学数学最重要的、也是学生最难理解的概念之一,因此如何设计好它的教学过程,是数学教研中经久不衰的热点问题。本期刊登的“函数概念教学的再思考”一文,从对函数概念学习的渐进性分析入手,明确了高一阶段函数概念的核心是“对应法则”,在APOS理论指导下分析了学习“集合对应说”函数概念应经历的阶段,比较了函数概念的不同呈现方式,通过问卷方式了解学生的函数概念认知基础,然后再设计出精细的函数概念教学过程。我们相信,这样精雕细琢地设计概念的概括过程,学生对函数概念的理解将容易得多、到位得多。

 

实际上,概念教学的核心就是“概括”:将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开,以若干典型具体事例为载体,引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲背景,讲思想,讲应用”,概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程。这里有几个要点值得注意:

 

第一,数学概念的高度抽象性,决定了对它的认识过程的曲折性,不可能一步到位,需要一个螺旋上升地、在已有基础上进一步概括的过程;

 

第二,人类认识数学概念具有“渐进性”,个体对数学概念的认识要“重演”人类的认识过程,因此学习像函数这样的核心概念,需要区分不同年龄阶段的概括层次(如变量说、对应说、关系说等),这也是“教学与学生认知水平相适应”的本意所在;

 

第三,为了更有利于学生开展概括活动,例子的选择至关重要,“一个好例子胜过一千条说教”;

 

第四,“细节决定成败”,必须安排概念的精致过程,即要对概念内涵进行“深加工”,对概念要素作具体界定,让学生在对概念的正例、反例作判断的过程,更准确地把握概念的细节;

 

第五,在概念的系统中学习概念,即要通过概念的应用,形成用概念作判断的“操作步骤”的同时,建立相关概念的联系,这是一次新的概括过程。

 

顺便提及,在我们的一次有3200多位教师参与的调查中,有68.04%的老师认为应当“从映射到函数”地进行函数教学。这样做在数学的严谨性上无懈可击,但从人类对函数概念认识的渐进性考虑,从学生“重演”人类认识过程的规律出发,从“让学生经历概念的概括过程”考虑,“从映射到函数”的处理方式是否都存在诸多不利呢?

 

数学概念教学的重要性是公认的,但对概念教学过程的理解是仁者见仁的。不过,无论有多少不同理解,概念教学的核心就是两个字——概括。

    
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