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学数学离不开解题。通过解题,学生可以加深概念的理解,深化对概念联系性的认识,优化数学认知结构,训练数学思维,提高分析和解决问题的能力。然而,所有这些解题目标都必须建立在“解好题”的基础上!

 

本期开篇,我们在“研究性学习”栏目一字未改地刊登了两位高一学生曹越琦、刘志宇的文章。之所以强调“一字未改”,是想让大家感受一下优秀学生的研究能力、文字表达能力。实事求是地讲,每期的投稿中,大量文章是不如两位同学的,虽然他们的文章可能是个案,但我想借此说明,我们老师应树立正确的学生观,特别是要对学生的学习能力有充分的信任。

 

这篇文章忠实地记录了他们花费四个月研究“简单多面体表面积与体积之间关系”的心路历程,从研究问题的确定,得到初步结论后的推广,推广中遇到的困难和挫折,再到反思和重新确定问题,概括出“生长”的定义,并进而抽象出一个具有普遍意义的问题,直至得出一个一般性结论,这确实是一个完整的研究过程。从中我们看到了两位同学在学习任务繁重下的坚持,面对曲折不气馁而勇于克服困难的勇气,更让我们看到他们如何逐步改进思路,经过不断抽象,概括出一个简单但有研究价值的问题,并用高中数学课程中不涉及的微积分知识加以解决,他们的独立思考、自主学习和创新精神历历在目。总之,尽管还不能断言他们得到的结论是否有用,但可以肯定的是,在此过程中,他们的发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力一定得到了锻炼和提高。可以相信,这样的研究经历不仅有利于他们领悟数学研究的真谛,掌握数学学习规律,学会独立思考,更轻松地学会课本中的数学知识,而且也有利于他们解题能力的提高,从而取得更加优异的数学成绩。

 

再看虞涛老师的“不妨这样认识双曲线”。虞老师围绕“渐近线”这一双曲线特有的属性,为我们构建了一个研究双曲线问题的框架。应当说,“从另一个角度看问题”是数学研究的“基本套路”,对于深入认识有关数学问题很有好处,同时也是培养学生的数学思维品质,提高他们的数学能力的有效方法,因而也是使学生学会学习的重要手段。不过,如果从“自然的,水到渠成的”要求出发,像前面两位同学那样,在过程中不断提出问题、改进问题并最终明确问题,逐步达到“返璞归真,至精至简”,不断完善研究方法,并精益求精地得出结论,那么我们还需要在虞老师构建的研究框架下,进一步地思考如何提出问题。例如,为什么要定义“有向距离”(就像为什么要定义“生长”概念一样)?为什么要在给“定义”之前先证明“命题1”和“命题2”?“研究框架”是如何构建出来的?为什么说“推导出双曲线的一般方程”就使知识具有系统性和完整性了?这里的“推理123”为什么不叫“推论”?该怎样证明(只用“由命题12及其证明可以得到”是不够的)?第三部分“研究有关的曲线与方程”,为什么要研究这些曲线与方程?它们具有典型性和丰富性吗?第四部分的“不妨思考”是怎样想到的?……总之,其中还有许多需要填补的“空当”,而这些“空当”可能是更具“思维的教学”价值的!

 

总之,从数学角度衡量,“好题”应具有以下“品质”:与重要的数学概念和性质相关,体现基础知识的联系性,解题方法自然、多样,具有自我生长的能力等;从培养思维能力的角度,则应有:问题是自然的,对学生的智力有适度的挑战性,题意明确、不纠缠于细枝末节,表述形式简洁、流畅、好懂等。

    
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