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又到一年收获时。2012年高考将至,人们都希望老师在最后时刻能点石成金,给学生灵丹妙药,让他们成为得分高手。那么,怎样才能使学生具备“得分高手”所应有的化解各种难题的功力呢?我想从数学教学的眼前利益和长期利益两个角度谈谈认识。

 

显然,就眼前利益而言,数学是考生入大学之门最重要的“敲门砖”,所以数学必须得高分。高考是选拔性考试,试卷中必有学生不熟练乃至陌生的题目,解答这些题目,要靠平时积累的经验,以及从中悟出的解题之道。然而,对“解题之道”的追求,却有两种截然不同的做法:一种是急功近利,让学生在高中入学第一天就“瞄准高考”,日复一日地施以“题型+技巧”的机械训练,结果是因为过分执着于分数,反而使学生“身行道而心不随”,最终心愿难遂;另一种做法,正所谓“十年苦修,一朝得道”,以平常心对待,以“山涧流水不争先”的心态,恪守“行乎当行,止乎当止,任其自然”的教学之道,在“非教非授”之间,营造“感之悟之”的学习环境,使学生“身心皆行道”,最终掌握破解高考难题之法门而取得高分。

 

然而,即使是上述第二种做法,也只能算是“小乘数学教学”。“大乘数学教学”不仅关注眼前利益,更是着眼于学生的长期利益,而且使眼前利益成为长期利益的一个“驿站”。

 

我们曾经提出,数学教学的长期利益是“使学生学会做人做事”,“做人”就是有理性精神,“做事”就是会数学地思考。显然,靠目前课堂中用于训练学生的题目是无法实现长期利益的。那么在数学课上到底该让学生学哪些知识,养成怎样的数学精神呢?下面试用丘成桐在公众报告《几何学赏析》中讲述的“几何起源:毕达哥拉斯—柏拉图—欧几里得—傅里叶”说明之:

 

公元前一世纪,希腊哲学家泰勒斯提出,要创造一个演绎的方法,利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这是一个突变,以前哪个国家的文化都没有这种想法。他的学生毕达哥拉斯采取了定理证明的概念,毕达哥拉斯学派认为宇宙的实体有两个:一个是数字,万物皆数,数的存在是有限方面的实体;一个是无限的空间,空间的存在是无限方面的实体。数字跟空间结合而生出宇宙万象。

 

柏拉图是哲学家也是数学家,提出了尺规作图三大难题:三等分角、化圆为方、倍立方体,它们直到19世纪伽罗瓦理论出现后才得到完满解决。数学家们发现,这些问题与用尺规构造的数字有密切关系,这些数字必须满足一些以整数为系数的多项式方程,而尺规构造出的数字并不能满足这些方程,因此它们不能用尺规作图来解决。柏拉图提出三个问题只是出于好奇,可解决它们的方法却影响到近代数学与近代科学的发展,伽罗瓦群论成为20世纪、21世纪最重要的理论之一。

 

欧几里得是柏拉图之后集几何学之大成者。他用柏拉图的学生亚里斯多德发明的三段论,从五条公理出发推导出平面几何的所有定理,开千古科学演绎法之先河,对牛顿力学体系产生了直接影响。因为人们不太愿意接受平行公理,所以试图用其他四条公理证明之。结果,这一企图没有实现,但导致算术几何的诞生。可以说,平行公理最重要的是影响到算术几何的诞生。

 

算术几何以后,通过高斯与黎曼,对空间的观念开始完全改变,空间不再是欧氏空间那样简单,而是能变动、能影响日常所见的物理现象的空间。19世纪伟大的法国数学家傅里叶说,数学可以用来决定最一般的规律,同时也可以量度时间、空间、温度,所以数学跟大自然一样广泛、丰富,和大自然走的是相同的轨道,也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。

 

从上所述可见,逻辑的思想、演绎的方法、数与空间结合而生出宇宙万象的观念、解决尺规作图三大难题过程中体现的抽象思想、欧几里得公理化思想与体系及其体现的以简驭繁观念……这些才是真正的数学之道,它们与学生的长期利益关系更密切。

 

那么,在你的课堂中,这些体现数学之道的内容出现过多少呢?

    
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