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数学教学必须注重数学的整体性,这是由数学的学科特点决定的。这种整体性,既体现在数学概念及其反映的数学思想方法的一体性上,又体现在各部分内容的有机联系上。从教的角度说,把握好整体性,才能有准确的教学目标,才能把数学教得本质而自然,教学行为才能“准”、“精”、“简”,才能充分发挥数学的育人功能;从学的角度看,注重整体性,才能了解知识的源头、发展和去向,才能掌握不同内容的联系性,既学到“好数学”,又学得兴趣盎然。总之,注重整体性的教学才是好数学教学。

 

解析几何完美地体现了数学的整体性。项武义先生指出:空间的一个重要本质是它完美的对称性和均匀性,它在坐标解析几何中的反映就是所有直角坐标系之间的互换等价性。用坐标法研究几何事物时,“一定要铭记在心,只有那种和坐标系的选取无关者才具有本质的几何内涵”。因此,解析几何教学中,只有以那些具有本质几何内涵的事物为核心,才能真正体现好整体性。

 

本期刊登的《抛物线焦点弦问题源与流》,陈新辉老师把课本中所有“抛物线焦点弦”问题放在起来,并将其设计成一节“探究课”。这样确实能把同类问题串联起来,有利于学生形成一种具有连续性的研究思路。但从数学整体性的要求看,由于只是以一个(或几个)题目为“源头”,没有从解析几何的学科整体上去把握,因此学生只能看到浅陋的“源”,同时也难以发现“流”向何方。现实中,以这种方式“追根溯源”的并不少见。各种杂志上,类似的文章比比皆是,备受推崇且被广泛用于教学。究其原因,主要还在于数学理解水平较低,特别是不能用高观点来看中学数学内容,致使教学视野狭窄,纠缠于细枝末节,只见树木不见森林,甚至只看到了稗草。这样的教学,浪费了学生的时间,也损害了学生对数学的认识。

 

那么,到底应让学生研究抛物线的哪些性质呢?

 

首先,对于“与圆锥曲线焦点相关的问题”,我认为最值得研究的,应该是由焦点所反映的圆锥曲线的光学性质。“焦点”即是“光线聚焦之点”,让学生对这些光学性质进行“研究性学习”是天经地义的,这样不仅可以锻炼学生用坐标法研究问题的能力,而且还能使他们看到圆锥曲线的用处。

 

其他问题选什么呢?我想应该从更高的观点来把握。例如,“任意焦点弦ABA(x1,y1)B (x2,y2),都有x1x2=y1y2=p”,如果把它与著名的Pascal定理联系起来,就可以清楚地看到它的“源与流”。Pascal定理说:在圆锥曲线上任取六点{A1A2A3B1B2B3},令A1B2A2B1交于PA1B3A3B1交于QA2B3A3B2交于R,则PQR三点共线。现在,假设焦点弦AB处于三个位置A1B1A2B2A3B3,令A2B1A1B2交于PA3B2A2B3交于Q,那么,F(作为A1B1A2B2的交点),PQ三点共线。另外,陈新辉老师提到的那些“过定点”问题,实际上都可看成是Pascal定理的具体例证。进一步地,由Pascal定理还有:如果固定其中的五个点,让另一点动起来,就可以描绘出相应的圆锥曲线。也就是说,这个定理给出了圆锥曲线的“尺规作图法”。

 

那么,如何才能找到体现数学整体性的教学线索呢?显然途径不唯一。其中之一,可以是刘超老师在本期《再论数学史与数学教育》中提出的,从数学的历史中得到启发,找到素材。

    
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