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关于“好数学教学”,我们已经连续讨论了好几期了。我想不厌其烦地强调“好数学教学”的根本标准是“数学育人”,也就是要在学生的终身发展上产生最大的长期利益。由数学的学科性质所决定,这种“利益”首先体现在学生通过数学学习而发展了逻辑思维能力,并学会了思考,也就是掌握了研究问题的“基本套路”。

 

什么叫研究问题的“基本套路”呢?熟悉人教A版教科书的老师一定对下面的逻辑图印象深刻:

 

 

这就是“基本套路”。如果在教学中,一有机会就引导学生以这个逻辑图为指导展开思考活动,那么经过长期熏陶,就能使学生在潜移默化中养成一种思考习惯。最终,当他们独立面对一个新的研究对象时,就不会感到无从下手,那种“讲过练过的不一定会,没讲没练的一定不会”的现象也就能杜绝了。更重要的是,“基本套路”是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力的落脚点。

 

高中数学中,“基本套路”的教学载体比比皆是。例如,从tan(αβ)= 出发:令βα(特殊化),有tan2α=;令βπ(特殊化),有tan(πα)=tan α(诱导公式);更特殊地,令αβ,有tan αtan βtan αtan β1……我们可以通过“特殊化”而“制造”出形形色色的三角恒等式,如:已知αβ,求证tan αtan βtan αtan β。当然,还可以通过“推广”来“制造”,如将“二元”推广到“三元”,有tan(α+β+γ)=;再令α+β+γ=kπkZ)(特殊化),又有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ;或令α+β+γ=而得tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1;当然还可以推广到“n元”。

 

通过这个例子我们可以看到:第一,如果学生掌握了“基本套路”,那么他们自己也能“创造”出许多数学题目来,这样的学习既可以让学生学会思考,也可以让他们学得更主动、更有趣;第二,课标减少三角恒等变换内容和课时、降低变形的难度是非常正确的,在三角恒等变换上花费过多的时间和精力,让学生做一些与数学核心概念关系不大且人为制造的繁难变形,意义不大,的确有浪费学生时间的嫌疑,甚至是一种“与学生过不去”的行为;第三,在三角恒等变换中注重“基本套路”的教学,就是落实课标“引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓励学生独立探索和讨论交流,引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式,以此作为三角恒等变换的基本训练”的教学建议,就是发挥了它的教学价值。

    
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