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数学是一个系统,理解和掌握数学知识需要系统思维。

 

系统思维就是把认识对象作为系统,从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法……系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维(见注)给我们带来整体观、全局观,具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。

 

中学数学中,数、式及其运算,方程与不等式,多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数,等差数列、等比数列,向量,平面几何、立体几何、解析几何,概率、统计,导数、积分等等,都是一个系统。每一个数学概念都可以看成一个小系统。

 

运用系统思维方式研究数学对象,以三角形为例,可以按如下过程展开:

 

第一步,定义“三角形”,明确它的构成要素,即三角形有三条边、三个角;

 

第二步,用符号表示三角形及其构成要素,并以要素为标准对三角形进行分类,即分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,或不等边三角形、等腰三角形;

 

第三步,研究基本性质,即研究要素之间的关系,得到“三角形两边之和大于第三边”,“三角形内角和等于180°”,“三角形内,大角对大边,等角对等边”等;

 

第四步,研究“相关要素及其关系”,如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”,“三角形三条中线(高、角平分线)交于一点”等;

 

第五步,三角形的全等(反映空间的对称性,“相等”是重要的数学关系,也可以看成“确定一个三角形的条件”);

 

第六步,特殊三角形的性质与判定(等腰三角形、直角三角形);

 

第七步,三角形的变换(相似三角形);

 

第八步,直角三角形的边角关系(锐角三角函数),解直角三角形。

 

上述过程在初中阶段完成,是对三角形这一系统本身的研究。高中阶段主要从三角形与向量、三角函数等相互联系、相互作用的角度展开研究,得到正弦定理、余弦定理等。

 

概括起来就是:

 

定义——表示——分类(以要素为标准)——性质(要素、相关要素的相互关系)——特例(性质和判定)——联系(应用);

 

定性研究(平直性、对称性等)——定量研究(面积、勾股定理、相似等)。

 

值得指出的是,上述过程具有普适性,既适用于三角形的研究,也适用于其他数学对象的研究,因此体现了系统思维方式的结构性。数学实践活动中,只要紧紧抓住这一结构,再通过横向或纵向的类比与联系,引导学生去认识和把握具体数学对象的要素和功能的关系,就能使他们建立起研究数学对象的结构,并形成完整的认识。例如,在学习“数列”一章时,因为“数列是一种特殊的函数”,所以先要求学生概括函数的研究结构:

 

函数的定义——表示——图像与性质——应用——基本初等函数(重复“定义——表示——图像与性质——应用”的过程)

 

再引导学生类比得出数列的研究结构:

 

数列的定义——表示——性质——应用——特殊的数列(等差数列、等比数列)

 

教学过程中,由数列是“一列数”,可以引导学生类比“数及其运算”的研究,以“代数学的根源在于代数运算”为指导思想,从运算的角度去发现和提出问题、认识和解决问题。例如“等差数列”的要素是“作差”和“差相等”,前者是“运算”,后者是“结果”。因此引导学生从运算角度观察数列,是等差数列概念教学的关键。通项公式、前n项和公式以及各种性质的教学也如此。

 

总之,培养系统思维,是为了使学生养成全面思考问题的习惯,避免“见木不见林”,进而使他们在面对数学问题时,能把解题目标、实现目标的过程、解题过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样,“使学生学会思考,成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。

 

  注系统思维[EB/OL].[2013-11-16].http://baike.baidu.com/link?url=sT9G9VcMuSgx5VjQbdQiEz2uHGMtLwEovR OFOalgwoWFLaAy4LnJVTFrrUnVuuUf

    
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