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什么叫数学思想方法?它有什么作用?数学家和数学教育工作者对此有诸多论述。通常,大家从“数学思想”和“数学方法”两个角度来阐释,认为数学思想是对数学对象的本质认识,是认识具体数学概念、命题、规律、方法等的过程中提炼概括的基本观点和根本想法,对数学活动具有普遍的指导意义,是数学活动的指导思想;数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等,是由思想转化而来的具体操作方法,可以提高效果和效率。数学思想和数学方法是紧密联系的。通常,在强调数学活动的指导思想时称数学思想,在强调具体操作过程时则称数学方法。

 

我们说,数学思想方法如根,它是发现和提出数学问题的源泉,是分析和解决数学问题的根本。没有数学思想方法的教学,就如同一颗枯萎的树,不能生长、开花,更不能结果。例如,大家都知道等式、不等式的基本性质“是什么”,但为什么把它们称为“基本性质”?为什么要研究它们?特别是,如何才能让学生自己发现这些性质?课堂观察发现,很少有老师把这些纳入教学视野,实际上也鲜有老师去思考这些问题。因此教学中一般都把“能用基本性质解决问题”作为目标。我认为,这样的教学缺乏必要的数学思想,是“无根”的教学,学生学到的是没有生长力的知识,“学会思考”更是奢望。实际上,代数学的根源在于代数运算,要研讨的是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题;引进一种新的数(量)就要定义它的运算,定义一种运算就要研究运算律;字母代表数,数满足运算律,所以关于字母的运算也满足运算律;等等。这些就是数学教学中用来指导学生发现和解决代数问题的基本思想。它们是宏观的,但发挥着指路明灯的作用。例如,对字母施加运算,就要研究运算法则;由运算而得到各种代数式,就要进一步研究代数式的运算;运算结果必须保持原有代数式的意义不变,因此就要研究如何保证代数变换的等价性,而等式或不等式的基本性质保证了“运算中的不变性”。所以,称它们为“基本性质”当之无愧,它们根源于运算,体现了运算中的不变性。总之,代数教学中,应让学生体会到,从运算的角度入手,是发现和提出各种代数问题的“基本套路”。

 

我们说,数学思想方法如手,它是解决问题的直接工具。例如,等差数列、等比数列教学中,首先是如何引导学生发现一列数具有“等差”或“等比”的特征。通常是,举出一些数列的例子,然后问“观察上述数列,你有什么发现?”如果没有“代数学的问题源于代数运算”的思想,就缺乏观察的角度和操作的手段,“发现规律”就成了“撞大运”。而具备这样的思想,学生就能自觉地想到,“算一算,看看能出现什么规律”,由此而得到它们的共同特征就成为必然。实际上,这两类数列的名称就已指明了观察的方向:“等差”意味着“相减”(运算)——“差相等”;“等比”意味着“相除”(运算)——“比相等”。

 

我们说,数学思想方法如船,在没有解决问题的直接方法时,它可以助你“渡过难关”。例如,复数源于解方程,数学史上,在《重要的艺术》(1545)中,Cardan解决了“把10分为两部分,使其乘积为40的问题,列出的方程为x(10x)=40,求得的根是人们质疑,负数怎能开平方?虚构的数。想要接受它的人就想给出几何解释,让大家实实在在地“看到”它,达到虚数不虚的目的。三个世纪后,高斯等人给出了复平面,给出了复数及其运算的几何意义,再加上在物理学中得到应用,人们终于承认了复数。进一步地,数学家把复数与三角、向量等联系起来,开辟了一片充满生机的数学新天地。显然,“用图形表示复数”的思想,不仅使“虚数”渡过了“虚假”的危机,而且推动了数学的发展。

 

数学思想方法的力量无限,它蕴含于数学知识中,需要用心挖掘,应成为数学教与学的根、手和船。

    
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