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经验之中有规律,是我们认识问题的一般过程和方法,也阐明了一个简单但很深刻的教学原理。

 

 “经验”是具体的,“规律”则是抽象的。“规律”不是从天而降的,而是从具体经验中经过不断归纳、概括才能得到的。

 

如何才能培养学生“从经验中发现规律”的能力呢?我想,如下两点很要紧:

 

首先,要培养学生“从一般规律的高度考察具体事例”的意识,逐步养成“透过现象看本质”的习惯。这是观念问题,是思维习惯问题,也是思想方法问题,需要一个长期的、潜移默化的过程,需要有意识地培养。

 

其次,要让学生掌握观察事例、从经验中归纳规律、把具体事例中得到的东西概括到全体中去的基本方法,使他们逐步学会归纳、学会抽象、学会概括,进而形成“从经验中发现规律”的能力。

 

众所周知,“具体”中蕴含的信息具有丰富性、多样性,观察也可以有不同角度,因而从同一事例中可发现不同规律;同时,表面的东西大家都能看到,“藏”在背后的才有“含金量”。所以,面对具体事例,关键是“你怎么看?”这是看问题的角度、高度以及切入点,需要知识的支撑,还需要历练。学生经常出现“不是做不到,而是想不到”的尴尬,主要是他们的阅历还不足以使自己“想得到”。这似乎是一层“窗户纸”,但捅破它却并不容易,需要有数学知识、思想方法的灵活运用能力。例如对于公式1+2++n=,能将右边看成n相加的结果,进而想到是数列12,…,n的“等差中项”,是这n个数的“平均数”,并最终形成对等差数列求和具有一般意义的“利用平均数,将求等差数列的前n项和转化为n个相同数的求和”,这就体现了看问题的高度,需要很好地把握等差数列的性质(特别是“当m+n=p+q时,am+ an = ap + aq”)。把简单的事情搞清楚,并能从中发现规律,这是需要高层次思维和高水平能力的。

 

再看“二项式定理”的例子。从乘法公式的角度,通过整式运算,学生在初中就知道(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。如何升华这些经验,使之能用于“归纳规律,获得猜想”呢?这里需要一个新的观察角度,要用排列组合的观点分析原始运算过程:

 

对于(a+b)2=a2+2ab+b2,还原到(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,分析展开式(从什么角度?),看项数、每一项的次数和系数。因为目标是要得到(a+b)n的展开式,因此要有“从特殊性中寻找一般性”的思想:

 

n=2时,项数3,次数2,每一项的形式是a2-kbkk=012)(这是“一般化”的观点,需要归纳,需要教师引导)。接下来的关键是要用组合知识对“如何获得展开式的某一项”作出解释。

 

k=0时,=a2,是由2a+b)都不选b得到的,相当于从2a+b)中取0b(即都取a)的组合数k=1时,=ab,是由一个a+b)选a,另一个(a+b)选b得到的,由于b选定后,a的选法就唯一确定,因此,ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1b的组合数,即ab共有个;k=2时,=b2,是由2a+b)都选b得到的,相当于从2a+b)中取2b的组合数。最终有

 

显然,学生具备上述分析过程中用到的所有知识,但他们缺“看问题的高度”,不会“从新角度看旧问题”。因此,为了有利于学生找到“规律”,需要进一步提供经验支持,即让学生仿照上述过程独立完成对的展开式的探究。

 

顺便提及,代数中的公式和定理,绝大部分都是用归纳法由低次到高次,由一元、二元到多元逐步归纳而发现,然后再用归纳论证去确立其正确性。因此,代数教学中,一定要强调让学生积累“归纳地去探索、发现,再归纳地定义、归纳地论证”的经验。

    
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