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增效减负、提高质量是数学教学的基本追求。广大数学教师对这个问题的研究,大多集中在如何提高解题教学的有效性上。许多老师给出的答案是:选择“牵一发而动全身”的题目,先引导学生“一题多解”,再让学生进行反思,总结解题的方法,找出其中的规律,再对题目进行变式、推广和拓展,使学生掌握解决“这一类”问题的方法,从而实现“解一题,通一类”的目的。他们都以波利亚的下列论述为支撑:“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域。”

 

值得注意的是,绝大多数老师都是“二传手”,自己并没有真正读过原著,对“有意义的但又不复杂的题目”到底指什么并没有直接感受,这样可能造成理解偏差。我查阅了波利亚的《怎样解题》,没有发现这段论述(也许在他的别的著作中,希望知道的老师告诉我)。但无论怎样,“从一个题目出发……把学生引入一个完整的理论领域”确实是一个好想法,我认为其中体现了“解题教学要有整体观,要体现数学的整体性”的思想。“挖掘问题的各个方面”实际上是要求关注问题所涉及的不同数学知识及其内在的一致性、联系性,从问题的发展中找到数学知识的生长点,从而把学生引入“一个完整的理论领域”。显然,波利亚提出的做法是“从具体到抽象,从特殊到一般”,是一种归纳的方法。必须注意到的是,他心目中的真正目标是那个“完整的理论领域”,“题目的挖掘”只是手段而已。所以,仅就解题教学而言,“解一题,通一类”的想法,关注的只是“这一类题目”,往往把目标局限在“这一类题目怎么解,有多少不同的解法”,与“完整的理论领域”相去甚远,因此并不是波利亚的本意,至少不是他的主要想法。

 

对解题教学,注重数学的整体性很重要。但从“以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心,使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中,成为善于认识问题、解决问题的人才”的要求出发,更重要的是要在数学概念、定理、公式、法则……的教学中树立“整体观”。这是因为数学基础知识中蕴含的数学思想更加本质,体现的思考方法更加基本,适用范围更广,迁移能力更强。例如,“代数的根本在于数的运算和运算律”。因此,代数的教学,无论是数、式、方程、不等式,还是向量,都应强调从运算的角度发现和提出问题、分析和解决问题,这就是“代数的整体性”。而在具体对象的研究中,则要遵循“定义——表示——性质、公式、法则……”的“基本套路”。例如,等差数列的研究中:

 

首先要给定义,即回答“什么叫等差数列”。从名称就可以想到,这类数列的本质特征就是“施行减法运算所得的‘差相等’”,稍作细化就可以得到定义。

 

然后是表示等差数列。an= a1 +(n1)d实际上是“从定义出发”得到的代数表达式,具有普遍意义;其中的a1d是数列的“基本量”;它可以有an= am+(nm)d等多种变式;几何表示则是均匀落在一条射线上的点,这条射线的起点是(1a1),斜率是d;等等。

 

接着研究性质。这里主要考察“运算中的不变性、规律性”,以及对“特例”的研究。例如,“当n+m=p+q时,有an+am=ap+aq”就是从运算入手的;其特例则是abc成等差数列时有2b=a+c

 

等差数列的前n项和公式,也是等差数列的一个特有性质,其基本思想是“用基本量表示”:Sn =a1+a2++ an=na1+[1+2++(n1)d]= na1+d,而它又可以看成是1+2++n=的一般推广。当然,它也是从等差数列性质推出的一个结果:利用“如果n+m=p+q,则an+am=ap+aq”,将不同数求和化归为相同数求和,这是等差数列特有的方法。

 

上述研究中,注重了“运算”的核心作用,强调了研究问题的“基本套路”,用数形联系的观点看问题,注意从概念出发思考问题,特殊与一般相互转化,以及通过对基本性质的变式、推广等深化认识等等,所有这些都与“数学的整体性”紧密相关,与解答一些特定题目相比,在提高学生认识和解决问题能力上发挥的作用更大。

    
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