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等差数列是一个基本的“数列乐章”中最精彩的一章.一个数列是不是等差数列,请听一下这个“四重奏”,相信对这个“主题曲”会有更深刻的认识:

 

一、定义法.如果一个数列的后项减去它的前一项是一个常数,我们则称这个数列是等差数列,用公式表示为是常数).

 

1.已知数列满足满足=1=2且,,如果求数列的通项公式.

 

分析:本题的形式上可能有些复杂,可是如果我们如果抓住等差数列的定义即可破解.我们猜想这个数列是等差数列,则必须,即,于是将两个式子相加就成为必然.

 

解:因为

 

所以(1+2)得

 

从而有根据等差数列定义可得是以首项为,公差2的等差数列,通项公式为

 

二、通项法.大家知道等差数列的通项公式是,我们如果将它稍作变形,即得,更进一步,我们可得.这里我们将看成一个函数,n看作一个自变量.故该函数A不等于0)是一次函数,则该数列一定是等差数列;当A=0,即,说明该数列是一个常数列(公差是0).

 

例:若数列的通项公式是,求的值.

 

解析.由上述可知数列是以公差为2,首项为1的等差数列.于是可知也是等差数列,它的公差是4,首项为3,则根据等差数列的求和公式可得=

 

三、法.根据等差数列的求和公式我们可得到.进而我们又可得.如果数列的前n项和n的二次函数(其中常数项为0)或是,那么该数列分别是公差不为0的等差数列和公差为0的常数列.

 

例:已知数列,其前n项和,求数列的通项公式.

 

解:由于上面的分析可知该数列是一个等差数列.因为,所以当时,则,显然当时也成立,故

 

点评:一般地,当不是一个缺少常数项的二次函数时,如,那么该数列从第二项起才成等差数列.

 

四、中项法.我们知道三个数是等差数列的条件是,则数列是等差数列的条件是该数列的任意连续三项满足

 

例:已知,若数列满足证明是等差数列.

 

分析,要证明是等差数列,从定义显然看不出来,也没出现通项的一次函数型,更没有的影子,所以我们发现的上面三条途径入手尝试收效不大,这里我们考虑用中项法求解.

 

证明:

 

 

            ①

 

       ②

 

②-①,得

 

                           

 

                            

 

③-④,得 

 

即 

 

 

是等差数列.

 

以上“四重奏”中 “定义法”的起着引领的作用,当然每个都对“主题曲”都有贡献,不可偏废,相信同学能经常弹奏,定然会发出更和谐的旋律.

 

(本文发表于数学周报)

    
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