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概率与统计是高中数学内容的六大主干知识之一,其中概率主要考查几何概型的计算和互斥事件、相互独立事件的概率的计算,用排列组合的知识计算古典概型,与离散型随机变量相结合考查概率等问题;统计主要考查抽样的操作步骤、统计分析的基本流程、变量的相关性、线性回归的基本方法等等以下就这部分知识的相关知识点及其注意事项进行归纳,希望有利于提高同学们的复习效果

 

专项

考点

知识盲点

盲点提示

掌握程度自测

 

 

 

古典概型与几何概型

 

1)你知道古典概率的求法吗?

作答                   

 

2)你知道几何概率的求法吗??

作答                

3)你还记得古典概型与几何概型的联系与区别是什么?

作答                

4)对立事件的概率与对立事件的概率加法公式你记牢了吗?

作答                

1

2

3)两种概型的联系都是每个基本事件的发生都是等可能的区别是几何概型的基本事件个数是无限的,而古典概型的基本事件个数有限的

4互斥事件的概率加法公式:

对立事件的概率加法公式:

 

 

1.颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:

①两数之和为5的概率;

②数中至少有一个奇数的概率;

③第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率

 

 

 

条件概率与相对独立事件发生的概率

1)你还记得条件概率计算公式吗?

作答                

2)你还记得有关相对独立事件的概率公式吗作答                

3)你还记得独立重复试验发生的概率的一些公式吗?

作答                

 

 

1)条件概率计算公式是

2)两个相对独立事件同时发生的概率公式是:

两个相对独立事件有至少有一个发生的概率为

两个相对独立事件恰好有一个发生的概率是

两个相对独立事件都不发生为

3)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是

2.甲乙两人参加世博青年志愿者的选拔.已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才能入选.

①求甲答对试题数ξ的概率分布(列表)及数学期望;

②求甲.乙两人至少有一人入选的概率.

 

 

 

离散型随机变量的分布列、期望与方差

1)你还记得求离散型随机变量的分布列的步骤吗?

作答                

 

2)你还记得数学期望的公式吗?

作答                

 

3)你还记得方差的计算公式吗?它有何作用

作答                

4)你还记得符合二项分布的数学期望与方差的简捷公式吗?

作答                

1)①找出随机变量的所有可能是值;②求出各个取值的概率

③画表填入相应数字

i

 

 

 

 

 

2)数学期望的计算公式是:

3)离散型随机变量的方差的计算公式方差:;方差反映了随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散长度,方差越小越稳定性越高,波动性越小

4对于二项分布,

3.一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数:

①现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率;

②现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数新课标123(www.xkb123.com)的分布列和数学期望

正态分布

1)你知道正态分布与期望、方差的关系吗?

作答           

2你知道正态分布曲线的一些性特征吗?

作答           

3)你还记得标准正态分布的一些计算法则吗?作答           

正态分布的期望与方差:若,则的期望与方差分别为:.

⑵正态曲线的性质.

 呈现出中间高、两边低的钟形曲线. 关于直线对称,

一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖”.表示总体的分布越分散;越小,曲线越瘦高,表示总体的分布越集中.

3)若求出;而

4..已知随机变量,若,则       学科网(Zxxk.Com)

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随机抽样用样本估计总体

1)你还记得三种抽样分方法的共同特征吗?

作答                

2)你还记得在已知频率分布直方图条件下求出平均数、众数、中位数的方法吗?

作答                

3)你还知道茎叶图的表示方法吗?

作答          

(1)三种抽样方法的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的可能性相等

 

(2)众数是最高矩形底边中点的横坐标;中位数两边的频率相等,即:两边的小矩形面积要相等;平均数应是直方图的重心,即:每个小矩形的面积乘以它在底边中点的横坐标的积的和.

 

(3) 茎叶图是将数组的数按位数进行比较,将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主杆的后面,这样就可以清楚地看到每个主杆后面的几个数,每个数具体是多少的一种统计工具

5.根据题中的频率分布直方图,估计该班同学数学成绩的众数;②中位数;③平均分.

变量的相关性与统计案例

1)你还记得如何从散点图看出两个变量的相关关系吗?

2)求线性回归方程你还记得吗?

3)如何作独立性检验?

(1)在散点图中,如果点散布的位置从左下角到右上角区域,称之为正相关;如果点散布的位置从左上角到右下角区域,称之为负相关

(2) 第一步:先把数据制成表,从表中计算出

第二步:计算回归系数的ab(试卷上会给出公式)

第三步:写出回归直线方程

(3) 第一步构造列联表;

  第二步:计算随机变量(试卷上会给出公式);

第三步:将得到的观察值与临界值加以比较得出结论

 

 

⒍下列说法:

将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;

设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;

线性回归方程=bx+a必过

曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;

在一个2×2列联表中,由计算得k2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%;

其中错误的个数是  (   )      

 A.1    B.2   C.3    D.4

本题可以参考两个分类变量xy有关系的可信度表:

 

P

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

k

 

2.12

2.7

3.8

5.0

 

6.6

 

⒈解答:: 将一颗骰子先后抛掷2次,此问题中含有36个等可能基本事件       

①记“两数之和为5”为事件A,则事件A中含有4个基本事件,

所以PA=

答:两数之和为5的概率为                             

②记“两数中至少有一个奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件,

所以PB=

答:两数中至少有一个奇数的概率                           

③基本事件总数为36,点(xy)在圆x2+y2=15的内部记为事件C,则C包含8个事件,

所以PC=

答:点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率

2.解:①依题意,甲答对试题数ξ的可能取值为0123,则

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e 

甲答对试题数ξ的数学期望:

Eξ=6ec8aac122bd4f6e

②设甲.乙两人考试合格的事件分别为AB,则

P(A)=6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e P(B)=6ec8aac122bd4f6e

因为事件AB相互独立,

∴甲.乙两人考试均不合格的概率为 6ec8aac122bd4f6e

∴甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为 6ec8aac122bd4f6e

答:甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为6ec8aac122bd4f6e      

3.解答:①记事件A任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数,由题意知 新课标123(www.xkb123.com) .  

      ξ可取1234,则新课标123(www.xkb123.com)

新课标123(www.xkb123.com)   

ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

新课标123(www.xkb123.com)

新课标123(www.xkb123.com)

新课标123(www.xkb123.com)

新课标123(www.xkb123.com)

新课标123(www.xkb123.com)

ξ的数学期望为新课标123(www.xkb123.com)

⒋解析:因为

所以

 

解析:众数是最高矩形底边中点的横坐标,即:众数为.

中位数两边的频率相等,即:两边的小矩形面积要相等.左边三个小矩形面积之和为0.04+0.06+0.2<0.5, 而左边四个小矩形面积之和为:0.3+0.3=0.6>0.5,故中位数必然在[70,80).,故中位数约为70+6.7=76.7 ()

本班同学的平均分应是直方图的重心,即:每个小矩形的面积乘以它在底边中点的横坐标,然后相加得到.

()

故众数为75分;中位数为76.7分;平均分为76.2.

⒍解析:根据方差的定义可知,加上或减去一个常数,方差不变,故正确;对于x增加一个单位时,y平均减少5个单位,故错误;对于可知其正确;对于上一些点不一定呈相关关系;对于5,当k2=13.079时,它们的相关关系为靠近95%,故它也是错的,综上有3个正确命题,故选C

(本文发表于《数学金刊》杂志20105月刊)

    
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