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大家好,听说过我吗?我是双曲线的儿子之一——渐近线.可以说我最有个性了,其它的圆锥曲线就没有我了,所以命题专家经常想到我,经常在考题中出现,可是大家知道我有什么本领吗,有的同学说不就是焦点在轴上的双曲线的渐近线就是、焦点在轴上的双曲线的渐近线就是,如果这样想就未免太简单了,大家来见识一下我的本领再说吧!

 

本领一、巧定开口大小.

 

这个本领想必大家都知道了吧,可以用来快速的作出比较标准的双曲线.一般地,若双曲线含于两条渐近线的一对顶交角的区域内,那么交角越大,双曲线的开口就越大.这里就不细说了.

 

本领二、巧求离心率.

 

一般地,设渐近线的斜率是,则双曲线的离心率为(焦点在轴的双曲线)或(焦点在轴的双曲线).或许同学会奇怪,这是怎么来的.我来说一下大家就能理解了.

 

对于双曲线的渐近线是,设它的斜率是,将之平方得,故有(焦点在轴的双曲线).另外一个证明留给聪明的读者.

 

1 已知是某双曲线的一条渐近线方程,求该双曲线的离心率.

 

解:由已知可得.如果双曲线的交点在轴上,则;如果双曲线的交点在轴上,则

 

本领三、巧断交点问题.

 

已知双曲线的渐近线是,它我们可以判断直线与双曲线的交点个数

 

1.        当直线的斜率时,如果,显然它就是渐近线,与双曲线没有任何交点,如果,则它与双曲线有一个只有一个交点.

 

2.        当直线的斜率时,,则与双曲线有两个交点.

 

3.        当直线的斜率时,则与双曲线没有交点

 

2 已知直线与双曲线有两个不同的交点,试确定的范围.

 

解:由可得,

 

从而,解得

 

又因为的渐近线方程是,所以.

 

 

本领四、巧联焦点三角形.

 

这个本领最强大,也最实用,经常是命题专家喜欢我的重要原因.下图中,可知有

 

 

特别如图2可知:双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长.这个性质很重要.

 

3 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍,则有双曲线的离心率是             

 

解:由已知可知,所以

 

怎么样,我这个“亮相”还不错吧,大家应该对我的另眼相看了吧!

 

本文发表于《学生新报》总第 70

    
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