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首先祝贺大家升到高一级学校,重新开始新的征程,在出发前你必须做好几件事,其中之一就是要多点知识储备,而这些知识可能是你以前忽略的.下面帮同学们整理一番,希望引起同学们足够重视.

 

一、二次函数的性质.

 

二次函数是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(时,函数在处取得最小值,无最大值;当时,函数在处取得最大值,无最小值.可是由于在中考时由于多是给出公式,所以很多同学对这个知识以为就是简单的代入公式计算而已,其实它涉及到很深的领域,所以请同学们务必重新认识.

 

【例1时,求函数的最大值和最小值.

 

分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值.

 

解:作出函数的图象.当时,,当时,

 

 

【牛刀小试】求二次函数上的最大值和最小值,并求对应的的值.

 

答案:当时,;当时,

 

二、韦达定理

 

我们已经知道,当一元二次方程的判别式时,的两个根为:

 

 

所以:

 

 

定理:如果一元二次方程的两个根为,那么:

 

 

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为韦达定理.上述定理成立的前提是

 

【例2是方程的两个根,试求下列各式的值:

 

       (1)      (2)      (3)         (4)

 

分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算.这里,可以利用韦达定理来解答.

 

解:由题意,根据根与系数的关系得:

 

(1)

 

(2)

 

(3)

 

(4)

 

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

 

 

 

等等.韦达定理体现了整体思想.

 

【牛刀小试】1.若是方程的两个根,则的值为(    )

 

A                 B                        C                         D

 

2.已知关于的一元二次方程

 

(1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;

 

(2) 若方程的两根为,且满足,求的值.

 

答案:1.A2

 

配方法.13

 

三、因式分解法

 

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.不少同学由于这方面能力没及时得到训练,结果造成终生遗憾.

 

因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.

 

立方和、差公式

 

 

 

这就是说,两个数的立方和(),等于这两个数的和()乘以它们的平方和与它们积的差()

 

运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.

 

【例3

 

(1)                     (2)

 

解(1

 

             

 

(2)

 

             

 

十字相乘法

 

大家知道,.反过来,就得到:我们发现,当的二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.具体情况下图:

 

 

这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.有人把它总结为“分解两边,对准中间”

 

【例4把下列各式因式分解:

 

(1) (2)

 

 

解:(1)

 

(2)

 

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法,看是否符合一次项系数,否则用加法,先绝对值,然后调整,添加正、负号.

 

【牛刀小试】

 

(1)  2       (3) (4)

 

答案:(1

 

2=

 

3=

 

(4) =

 

四、配方法.

 

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成完全平方)的技巧,通过配方,找到已知与未知的联系,从而化繁为简,何时配方,需要我们适当预测,并且合理的进行“裂项”与“添项”“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.

 

配方法最基本的依据是二项完全平方式,,将个公式灵活应用,可得到各种基本配方形式,如:

 

 

 

 

 

说明最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方,它主要适用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式,二次函数、二次代数式的讨论与求解.

 

因为篇幅关系,这个暂不举例了,同学们可参考【例2

 

此外,还有象因式分解法中的分组分解法,式的运算中的分母(分子)有理化等等,希望有兴趣的同学也要找些时间灵活掌握.

 

(本文发表于《高中数理化》2008年第9期)

    
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