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数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧,下面介绍用七种办法——“七剑”,希望对同学们有所启发:

 

第一剑——套用公式法

 

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法:

 

1.等差数列求和公式:  

 

2.等比数列求和公式:

 

3.       4

 

[1] 已知,求的前n项和.

 

分析:从题目中可看出这是一个等比数列的求和,自然想到直接应用等比数列求和公式即可.

 

解:由

 

    由等比数列求和公式得   

 

                               

 

第二剑——错位相减法

 

这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列的前n项和,其中分别是等差数列和等比数列.

 

[2] 求和:

 

分析:注意到式子有两个特点,单纯从系数上看,它呈等差数列,这个数列的通项是2n1;单纯从字母上看,它呈等比数列,此数列的通项是,所以可类比推导等比数列的方法求它前n的和.

 

解:∵……………………… ①

 

…………    

 

①-②得   

 

又因为

 

再利用等比数列的求和公式得:

 

                    

 

第三剑——逆序相加法

 

这是类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n.

 

[3] 求证:(本题源自人教大纲版必修第二册下)

 

分析:这虽然看似一道组合的证明题,本质上还是数列求和,注意组合的一个公式,所以我们用逆序相加法进行尝试.

 

证明: …………………………..

 

       把①式右边倒转过来得

 

 

 

       又由可得

 

       …………..…….      .

 

   +②得   

 

          

 

第四剑——分组求和法

 

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

 

[4] 求数列的前n项和:

 

分析:可以看出该数列可分成两部分,注意到一部分等差数列,一部分成等比数列.我们使用化整为零的办法先拆开,再组合.

 

解:设

 

 

 

a1时,

 

时,

 

第五剑——裂项相消法

 

裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)常见的如下:

 

1   2

 

3

 

[5]  求数列的前n项和.

 

分析:本题符合上述的第三个公式中的情况,此时的情形.

 

解:设

 

  

 

         

 

         

 

第六剑——分段求和法.

 

针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.,对等差数列的绝对值求和也可仿效.

 

[6]  数列,求

 

分析:题目要我们求前2008项的和,从前3项可以看出它不是等差、也不是等比,那么怎么办呢?先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以6为一个周期的数列.

 

解:设

 

可得

 

 

 

……

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

5

 

[7]等差数列中,,求其前n项的绝对值的和.

 

分析:对于等差数列的绝对值的求和,我们一般是转化为分段求和来解决.

 

解:由已知可得,则当时.

 

不妨设

 

时,

 

 

 

时,

 

=

 

=

 

 

 

第七剑——活用通项法

 

先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.

 

[8]  之和.

 

分析:本题的数列也十分特殊,具有良好的美感.如果我们知道它的一个通项公式是,这样即可将之分成两部分,转化为上述的第四种方法来解决,可见对通项的识别尤为重要.

 

解:由于

 

 

 

 

 

 

当然数列求和的方法还不止这些,但是只要同学们七剑在手,勤加修炼,做到七剑合璧,融汇贯通,定能破解这一求和问题了.

 

本文发表于《数学周报》大纲高考版总 214

    
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