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1999年高校扩大招生以来,各地高中学校发展异常迅速,学生数、班级数不断增长,一大批青年教师进入高中阶段承担课堂教学任务.由于教学任务繁重,学习和总结、反思的时间有限,这些青年教师的培养周期明显缩短,他们的教学基本功的培养成为当下各级教育主管部门和各级教研机构高度关注的问题.高中数学新课程实验已经进入到第三个年头,课改后的2009年高考在即.如何提高课堂教学的有效性,如何提高青年教师的课堂教学水平,如何提高09年高考备考工作的针对性和有效性,这些都是大家急切期盼得到指点和帮助,期望得到答案的问题.研讨和解决这些问题,正是我们开展这次中学数学教育专家宣讲团送教下乡活动的主要目的.

 

关于课堂教学的有效性

 

课堂教学的有效性是一个永恒的话题.在大家纷纷反思课改初期的偏激狂热、课改实验向成熟理性方向推进的时候,关于课堂教学有效性的实践与研究,已经成为广大教研人员和一线教师的重要课题.

 

如下几个观点是十分重要而深刻的,它们是:数学教学的主要目标是数学精神、数学思想、数学方法和思维能力的培养.数学教学的主要内容应该是数学知识和技能.知识是能力培养的载体.数学教学不可能承载起人为地强加给它的所有人文社科类学科应该承担的教学目标.数学教学的育人功能,主要通过挖掘数学内容蕴含的价值观资源,与数学知识的教学融合起来进行,而不是人为地割裂开来,走形式化、表面化的道路.

 

有了以上观点和认识的支持,我们反思当下课改实验中出现的若干异常现象,就会越来越觉得研究和讨论有效的课堂教学的必要性.

 

课堂教学的有效性涉及课堂教学过程中的各个环节、各个方面,主要包括:情境设置的有效性,教学方法的有效性,例题选择的有效性,课堂提问的有效性,课堂练习的有效性,学生活动的有效性,课堂评价的有效性,板书板演的有效性和课件使用的有效性等.

 

下面我们通过一些案例,从几个不同的角度来分别说明课堂教学的有效性问题.

 

一、情境设置的有效性

 

教学情境是教师为了完成教学任务和达成教学目标,所设计的问题、故事、素材、场景、环境等,主要用于导入新课、揭示新知内涵、激发学生学习兴趣和引导学生探究等方面.有效的教学情境,应该是亲切自然的,富有启发性和趣味性,有一定的思维含量,符合学生的知识水平和思维能力,切合学生的生活经验,有利于学生体验和感悟知识的发生发展过程,有利于学生通过独立思考、自主探究和合作交流获得知识.

 

下面的案例如果没有特别说明,均来自2008年安徽省高中数学青年教师课堂教学评比第一组7位老师,执教的课题都是“等比数列的前n项和”.

 

案例1. (BY老师)教师先带领学生复习等比数列的定义和等比数列的通项公式,再出示引例:“一天,小林和小明做‘贷款’游戏,他们签定了一份合同.从签定合同之日起,在整整一个月(30 )中,小明第一天贷给小林 1 万元,第二天贷给小林 2 万元,…,以后每天比前一天多贷给小林 1 万元.而小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还 1 分钱,第二天还 2 分钱,第三天还 4分钱,…,以后每天还的钱是前一天的两倍.

 

合同开始生效了,第一天小林支出 1 分钱,收入 1 万元;第二天,他支出 2 分钱,收入 2 万元;第三天,他支出 4 分钱,收入 3 万元,…,到了第 10 天,他共得到 55 万元,付出的总数只是 10 2 3 .到了第 20 天,小林共得到 210 万元,而小明才得到 1048575 分,共 1 万元多一点.小林想:要是合同订两个月、三个月该多好!”

 

评析:这个例子完全来自教材,没有改变.问题在于教师直接在幻灯片中给出了两个不同数列的前n项和的结果,没有给学生思考、讨论的时间和空间,简单地理解教材编写的意图,简单地应用了课本的引例,说明教师理解教材、使用教材的能力还需要加强,也说明了教材编写者对学生思维能力的培养,对教材呈现的内容与实际教学的关联认识和研究还不到位.这样的问题还出现在GJ老师的新课引入中.GJ老师的引例也是课本原例,只是她给出了如下一张表:

1

支出1分钱

收入1万元

2

支出2分钱

收入2万元

3

支出4分钱

收入3万元

10

总支出10.23

总收入55万元

20

总支出1.048575万元

总收入210万元

这张表的问题在于,她没有给出两个不同数列求前n项和的式子,让学生自己探究求解,而是直接给出了部分计算结果,急于求出答案,急于让学生见到小明的感叹“这是我做的最成功的一笔生意!”这样的噱头,丢掉了让学生自我思考、自主探究的思维过程.

 

案例2.(HW老师)教师先给出引例:“国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说.国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:‘请在棋盘的第一个格子里放上1粒麦子,在第2个格子里放上2粒麦子,在第3个格子里放上4粒麦子,依此类推,每个格子里放的麦子数都是前一个格子里放的麦子数的2倍,直到第64个格子放满为止’.国王说:‘你怎么只要这么一点东西呢?好,我答应你了’.你认为国王有能力满足发明者上述要求吗?”

 

教师带领学生探究写出式子及结果18446744073709551615后,发表感叹:“OK,陛下国库里的麦子不够啊!”,然后直接进入一般形式的等比数列前n项和公式的推导.

 

评析:本案例没有直接使用原课本引例,而是用了一个经典的传统历史故事,有凸显数学文化的意味.但是,由此也可以看出,教师对课本引例的理解还不到位.原课本引例,不仅是为了创设一个新课引入情境,更主要的是为新知学习服务,主要目的是由旧引新,即通过等差数列前n项和公式的复习回顾,自然过渡到探究等比数列前n项和公式的学习,体现了由特殊到一般的思想.对于教材中的例题,我们可以根据自己对教材的理解,适当地进行改造或更换,但是更换或改造前,一定要理解教材编写的意图,明白更换的理由.否则教师就会没有真正领会教材编写意图,而使新课导入效果大打折扣.

 

案例3.(无为襄安中学谢业建)教师先带领学生复习等比数列的定义与通项公式,然后让学生用公比与首项说出等比数列的各项,…,,之后出示引例:“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一口答应了下来,但提出如下条件:在30天中,富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多一万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,但怕上当受骗,所以很为难.请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意吧!”

 

教师与学生共同完成列式过程,然后探究求的方法.

 

评析:谢业建的引例是对原教材引例的改造,问题的给出(“穷人听后觉得挺划算,但怕上当受骗,所以很为难.请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意吧!”)恰到好处,给学生营造了思考的空间,问题情境符合人的心理状态和生活实际,同时又渗透了德育教育.旧知复习用字母表示,倾向于理性思考,能够直接为新课学习内容服务.可贵的是,他理解了课本编者所给引例的意图.对求结果的探究过程,过渡到探究求一般的等比数列前n项和,体现了由特殊到一般的思想.值得注意的是,谢老师给出的引例,文字表述中多次出现“上一天”等口头用语,不利于学生理解题意.

 

XL老师的新课导入,也是通过对原教材的引例加以改造实现的.她用“高家庄集团资金周转不灵,猪(八戒)总向孙悟空公司孙总借钱”给出问题情境,用猪八戒担心“这猴子会不会又在耍我?”给出探究的问题,自然风趣,引人入胜.

 

案例4.(MS老师)此案例选自S老师参加全国第四届高中数学青年教师优秀课评比教案和他摄制的录像课导入部分,课题是:任意角的三角函数.

 

1.导入:

 

学生集体朗读:东升西落照苍穹,影短影长角不同.昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣.然后教师口述:日出日落,寒来暑往,自然界中存在许多“按一定规律周而复始”的现象,称之为“周期现象”.我们曾学习过用“指数函数”模型刻画人口增长问题、储蓄中复利计算问题,用“对数函数”模型刻画地震的震级变化、溶液酸碱度的PH值变化,那么用怎样的数学模型来刻画周期现象呢?周期现象一般与周期运动有关,一个简单而基本的例子便是“圆周上一点的旋转运动”.请看下例.

 

(设计意图:学生集体朗读,一是集中注意力尽快进入上课状态,二是在理科教学中增加点文学味,三是引出周期现象,诗句引自湖南版必修2,接下来指出在必修1中学习过两种重要的函数模型,意在调动学生学习“函数”一章的经验,提出用怎样的数学模型来刻画周期现象,让学生初步了解本节课学习的任务.接下来的教学设计,在结构上尽可能与“函数”一章相同,突出“建构—研究—应用”这一主线)

 

2.情境——选择数学模型:

 

问题:摩天轮的中心离地面的高度为h0,它的直径为2r,逆时针方向匀速转动,转动一周需要360(一秒转了多少度?),若现在你坐在座舱中,从初始位置点A出发(如图),求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.

 

教师:让我们想象一下整个运动过程,高度h是怎样变化的?

 

 

师生:开始高度h先渐渐增高,之后渐渐降低,然后再渐渐增高,最后回到初始位置;第二周、第三周、…,周而复此,呈“周期现象”.

 

教师:已学过的函数没有这种性质,应该用一个怎样的函数模型来刻画?

 

教师:让我们不妨先从一个简单、具体的情形入手.例如过了20秒后,你离地面的高度为多少?

 

学生:.

 

教师:人距离地面的高度hh0+MP,其中h0是不变量,MP表示点P到水平位置OA的距离,是变量,可以通过点P旋转∠POA的大小,利用初中锐角三角函数来计算.随着时间的变化,点P的位置在变化,角度∠POA也在变化,进而MP的值发生变化.

 

(设计意图:P的位置随着角度而变化,一是为下面引出三角函数做准备,二是突出“函数味”,这也是初、高中对三角函数学习的不同之处)

 

教师:进一步,再计算几个.

 

师生:过了50秒,;过了70秒,.一般地,过了t秒呢?想法(愿望).

 

教师:随着摩天轮的转动,角度也不知不觉地推广了任意角.对任意角sin如何定义?引出任意角的三角函数.

 

(设计意图:先猜想再探究,是一种合情推理,使教学环节显得生动,同时感受到接下来新知识学习的必要性.以实际问题解决为背景,引入任意角三角函数的概念,是想让学生感受到“数学是自然的”、“数学是有用的”)

 

3.探究——分析数学模型

 

教师:对任意角sin如何定义?

 

 

对前面这个问题往下分析,虽然可以通过转化为锐角三角函数计算各种情况,但表述上太繁琐,当时间为t秒时,猜想: 形式简洁,让我们实在不愿舍弃,于是hh0±MP比较,要想两者和谐统一,必须,即.

 

师生小结:如图,P圆周上旋转运动,引起POA的变化,任一个POA,对应着唯一点P,进而有唯一的MP,得到sinPOA=±.

 

教师:这样表述,在说明±MP时,还是不够简洁明了.

 

教师:MP何时取正值,何时取负值?根据这些特点,用怎样的一个量来代替±MP,可以使上面的表述更简洁?它的绝对值与MP长度相等,符号在一、二区域能是正的,在三、四区域都是负的.

 

师生:引入直角坐标系,用点P的纵坐标y来替代MP或-MP.

 

(设计意图:这样安排是想让学生感受到任意角三角函数定义中“坐标系的引入”,“坐标比值法的规定”不仅有必要、有好处,而且顺其自然,体会“数学是自然的”,而不是完全出自数学家心灵的自由创造)

 

评析:应该说,这样的新课引入确实很新颖,有创意.但是这样的新课引入,其不足之处也十分明显.一是引入的过程比较冗长,过于繁琐,难度较大,学生理解有困难(其实执教者已经意识到了);二是引入部分的内容,与新课内容不是正相关.让学生读古诗,由于时间仓促,学生未必能及时理解其中体现的周期性意义;三是摩天轮旋转任意角,先由说明,必须要有,这实际上已经应用了任意角的三角函数,而且是先用任意角的三角函数,然后再探究任意角三角函数的定义,违背了思维发生发展的规律;四是引入部分的难度比新课内容难度大,花如此大的精力和如此多的时间,起到的效果却是人为地增加学生理解新课知识的难度,实在是得不偿失,没有必要.因为本节课的教学目标只要求学生能够从函数的角度(三要素)理解任意角三角函数的定义,理解用单位圆定义任意角的三角函数比较简捷,理解任意角三角函数定义的合理性即可.至于对三角函数周期性的理解,以及对实际生活中许多现象周期性的认识,则需要有一个过程,不可能在这一节新课中完成和达到.

 

概念课的教学,我们提倡尽可能多地让学生了解概念产生的背景,但是更应该注意,引入的情境必须简捷明了,应该与新知识的教学正对应、正相关,应该剔除其非数学本质的东西,删除过分枝节化、繁琐化的内容,这样的情境才会有利于学生从若干数学现象中归纳和概括出数学概念,有利于学生理解数学概念的本质,这样的情境设计和新课导入才会具有较高的价值和效能.

 

    
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