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2008年安徽省高中数学青年教师课堂教学评比活动中,有7位参赛教师执教了相同的课题——北师大版普通高中课程标准实验教科书必修53.2等比数列的前n项和”.由于不同的老师对教学内容有着不同的理解,使得他们设计的教学过程各具特色,进而引发起笔者对这一节教材浓厚的研读和探究兴趣.

一、教材内容再现

北师大版普通高中课标实验教科书必修53.2等比数列的前n项和”一节内容呈现如下.

问题提出:

一天,小林和小明做“贷款”游戏,他们签定了一份合同.从签定合同之日起,在整整一个月(30)中,小明第一天贷给小林1万元,第二天贷给小林2万元,…,以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还1分钱,第二天还2分钱,第三天还4分钱,…,以后每天还的钱数是前一天的两倍.

合同开始生效了,第一天小林支出1分钱,收入1万元;第二天,他支出2分钱,收入2万元;第三天,他支出4 分钱,收入3万元,…,到了第10天,他共得到55万元,付出的总数只是1023 .到了第20天,小林共得到210万元,而小明才得到1048575 分,共1万元多一点.小林想:要是合同订两个月、三个月该多好!

果真是这样吗?

下面我们来计算一下双方得到的钱数.

30天后,小林得到的钱数为(万元),小明得到的钱数为(万元),则根据合同

(万元)

             .                   

如何计算呢?

思路一   

            

            

         

          .

思路二    观察,得           

                           

,得          .

可不是一个小数目!利用计算器计算,得到

        1 073 741 823() 1 073.741 823(万元).

小林听到这个结果,肯定会吓出一身冷汗!

抽象概括

我们将上述方法推广到一般等比数列求和.

                         

的两边同乘,得    .   

的两边分别减去的两边,得     

     

由此得到时,等比数列前n项和公式   

        .

因为

所以上面的公式还可以写成

        .

很明显,当时,从式可得.

从而,等比数列前n项和公式为

已知等比数列中,,求

求等比数列1,…前10项的和.(解略)

二、特色分析与教学建议

()引例的价值分析与教学建议

1.价值分析

本节引例用小林与小明做游戏给出问题情境,编者可能有如下三个方面的寓意或目的:

解决这个引例,需要计算出第10天、第20天、第30天,小林贷款得到的钱数(等差数列的前n项和),以及他还贷支出的钱数(等比数列的前n项和),因此具有复习旧知(等差数列的前n项和)、导入新课(等比数列的前n项和)、承上启下、自然过渡的特点.这样设计,使得新旧知识相互融合,学生容易将新知的学习与旧知的复习进行类比、联想.

通过游戏、故事,揭示已学和本节课即将要学习的知识点,情境自然,生动有趣,能够让学生在不知不觉中进入学习境地.其次,计算第10天、第20天贷款得到与还贷支出的钱数,学生容易上手完成,通过比较又容易引发认知冲突,激发学生的学习兴趣,培养学生理性思考的习惯.

相对而言,这个引例比用传统的国际象棋发明者奖励的故事所设计的情境要好.因为国际象棋发明者奖励这个故事涉及的知识点单一(只考查等比数列的前n项和),并且在本节课之初要想完成问题的计算、求解,进而让人感到不可思议比较困难.而这个引例涉及等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式两个知识点,且与等比数列的通项公式相联系,利于学生形成完整的知识结构,深度用类比的方法进行学习.

2.教学建议

基于以上分析,我们给出如下建议:

可以对引例的情境进行局部加工,如:有的老师用“高家庄集团资金周转不灵,猪(八戒)总向孙悟空公司孙总借钱”给出问题情境,用猪八戒担心“这猴子会不会又在耍我?”给出探究的问题,自然风趣,引人入胜.有的老师将引例改为:“一个穷人到富人那里借钱,原以为富人不愿意,哪知道富人一口答应下来,只是富人提出了如下条件:在30天中,富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比前一天多一万;但借钱的第一天,穷人要还1分钱,第二天要还2分钱,以后每天要还的钱数都是前一天的两倍,30天后两人互不相欠.穷人听后觉得挺划算,但又生怕上当受骗,所以很为难,请同学思考一下,穷人能不能答应富人贷款的条件.”这样的改造也别有风趣,未尝不可.

引例中涉及到第10天、第20天,小林贷款得到的钱数与还贷支出钱数的计算,课本中直接给出的计算结果,但是在实际教学时,对于第10天、第20天小林贷款得到的钱数与还贷支出的钱数,应该让学生经历探究、列式、计算的过程,让学生自己思考、发现、求解,这样学生才会有真切的感受.教学时,一定要注重过程和方法的展现,突出内容的思维价值.

当然,这一节课的初始,适当地复习上一节课内容(等比数列的定义与通项公式)也是十分必要的.教学中,要时刻注意,用类比的方法进行等差数列与等比数列相关内容的教学,让学生在潜移默化中理解和掌握这种思想方法.

()求解过程的价值分析与教学建议

1.价值分析

这一段内容,教材用两种方法探求的方法,之后再探究一般的等比数列前n项和,这样设计,凸显了由特殊到一般的思想、方程思想和错位相减法等数学思想方法,突出了知识发生发展的过程.

思路二中,在式的两边同乘2,得到式,只要略作引导,学生不难发现,的右边有若干个相同的项,作就会消去一些项,从而达到化简、求解的目的.这种先观察、理解具体数字表示的等比数列前n项和的求法,再类比、探究一般的等比数列前n项和的求法,学生就会容易理解和接受,有利于培养学生的知识迁移能力和探究意识.

用方程的思想探求的过程,在以前的教学过程中,还不多见.教材这样设计,既体现了一题多解的思想,又让学生感到新颖、有趣,是可取的.

2.教学建议

这一环节,应该以思路二的教学为重点.因为错位相减法不仅是探求

的主要方法,也是后面探究一般的等比数列前n项和公式的重要方法,而且在以后的数列求和中还会经常用到,所以这种方法具有典型性和代表性,教学时应该加强引导,重点强调.

思路一是用代换的方法和方程的思想探求的方法,别具特色.由于思路一在后面探究一般的等比数列前n项和公式时已经不再使用(虽然可以使用),且方程的思想学生并不难理解,因此思路一不宜放在与错位相减法同等重要或更加突出的位置进行教学,否则会冲淡本节课的重点方法(错位相减法).建议将这种方法的教学,放在本节课教学的主体内容之后,作为知识和方法的拓展与补充呈现出来,这样的教学效果可能会更好.

关于=1 073 741 823()的计算,应该让学生自己使用计算器或用实数的运算方法求解,这样不仅可以发展学生的运算能力,增强他们学习的主动性,而且可以让他们通过自己的观察、发现,产生认知冲突.

()等比数列前n项和公式推导部分的价值分析与教学建议

1.价值分析

一般形式的等比数列前n项和公式,教材是用类比的方法,利用思路二探究推导的,其间蕴含了分类讨论思想、方程思想和错位相减法等重要的数学思想方法.这一部分内容的设计,旨在让学生形成完整的知识结构,理解和掌握其中的数学思想方法.

是否等于1的讨论,是学习等比数列前n项和公式的重点和难点之一.凡涉及等比数列前n项和的问题,首先应该想到,它的公比是否等于1,再进行计算或证明.要让学生养成对含有字母参数问题进行分类讨论的习惯.

2.教学建议

一般形式的等比数列前n项和公式的推导,可以在引导学生观察、类比思路二的方法后,让学生自己上黑板板演,独立完成推理过程,最后师生再共同评点、分析,这样有利于学生增强数学思维和推理能力.若学生由推出时,未能注意到,教师可以编拟一道公比为1的等比数列,如求5+5+5++5(1005的和),让学生发现,数列555,…,5虽然是等比数列,但求其前100项的和,既不需要、也不能够直接使用公式,而是根据题意直接写出这个等比数列的前n项和,从而加深学生对公式使用条件的理解和关注.

为使学生加深对公式使用条件的理解,教师还可以选编一道含有字母参数的等比数列求和,如求().当然,本节课的重点是等比数列前n项和公式的推导与简单应用,因此对是否等于1的讨论,应适可而止,不能过于深化与拓展.

关于公式,不仅要学生注意条件,还应该提醒学生,的指数是等比数列中项的个数,而不是末项的指数,如求,利用公式求和时,的指数是30,而不是29,这些内容应该通过问题让学生自己感悟出来.

关于公式的教学,教师可以引导学生,首先观察、发现公式的指数的区别(前者的指数是,后者的指数是),再让学生自己应用,对公式进行变形转化,得到.紧接着,引导学生观察公式,知道这三个公式中共有五个量,若已知其中三个量,则可以求出其它的两个量.总之,要将学习的主动权、知识的探究权交给学生.

()例习题的特色分析与教学建议

1.价值分析

相对于教材主体内容编写的出色,课本例题、练习题的设计则相对较为平白与简易,都是等比数列前n项和公式的直接、简单、正向的应用,缺少变化与思维量. 虽然例6具有实际背景,但其解答需要应用的数学知识却与例5(1)完全相同,属于明显的重复现象,是对高中学生数学能力的过分低估.

2.教学建议

教学时,建议对例5、例6进行重新改造,设计的等比数列前n项和公式的应用问题,要有一定的思维量,要有正、逆两个方向的问题,以培养学生思维的层次和能力.关于等比数列前n项和公式的例题配备,笔者以为人教A版必修5配置的两道例题,其形式与思维层次相对较好,现抄录如下:

求下列等比数列前8项的和:

,…;.

某商场今年销售计算机5000.如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000(结果保留到个位)

三、教材改进建议

诚如以上所言,北师大版课标实验教科书必修53.2等比数列的前n项和”这一节教材,引例自然有趣,突出了问题的情境性和知识的前后联系;等比数列前n项和公式的推导,突出了知识的发生发展过程,突出了由特殊到一般的思想、方程思想、类比思想和错位相减法等数学思想方法,利于学生学和教师教.当然,在这一节教材中,也有若干值得推敲和改进的地方.

1.引例的第二段“到了第10天,他共得到55万元,付出的总数只有1023.到了第20天,小林共得210万元,而小明才得到1048575分,共1万元多一点”这一段文字,第10天、第20天小林贷款得到的钱数与还贷支出的钱数,是否可以用填空的形式,让学生自己设法计算求得结果,而不是直接给出计算结果?

2.教材中若干文字、标点与格式是否需要改进?如引例中“支出”、“付出”,“钱数”、“总数”等(不一致);思路二中,“观察,得(这一句话是否多余?);抽象概括部分,当时,;当时,等表述的形式(前后形式不一致);以及问题提出与抽象概括两个部分中,式子编号的使用(是否雷同?).

3.在例5右侧旁注“问题与思考”中,“这几个量有什么实际意义?”不知道编写是指什么?因为在等比数列通项公式和前n项和公式中,共有五个量,这几个量的实际意义会随具体的问题而确定,不知道这一句话是否也需要改进?

注:此文已发表于《中学数学教学》(安徽)2011年第2期,并由中国人民大学书报资料中心G35《中学数学教与学》2011年第8期全文转载.

    
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