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一、教学反思

以学生的学习为视角,可以对这节课的教学进行如下反思:

1)学生对课堂提问,回答是否积极?学生能否独立或通过合作探索出问题的结果?

2)学生处理课堂练习题情况如何?可能的原因是什么?

3)教学任务是否完成?

下面我们着重分析一下提问的效果。

在回答教学设计中的各项提问时,大多数学生存在一定困难,特别是“问题1:任意画一个锐角α,借助三角板,找出sinα的近似值.”和“问题5:现在,角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角αsinα怎样定义好呢?

对于问题1,除了由于时间久而遗忘有关知识外,学生不熟悉独立地由一个锐角α,构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因,他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。

对于问题5,教师强调“在坐标系下怎么样?”后,有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高,学生仅利用锐角三角函数的有关知识,难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此,教师必须要提供必要的脚手架。

教师在课堂上提供了练习:

学生对(1)的回答并不理想,尤其是计算cosπ,没有一个学生回答是﹣1. 学生的这种表现可能是他们还没有形成一个较清晰、完整的计算任意角三角函数的算法步骤,所以即使遇到一个简单的问题,也不知如何操作。

从教学进程看,原来教学设计中的教学任务过于丰富,超出学生的学习能力。方案中一节课要完成的教学任务可能需要23个课时。

二、形成新的教学设计的理论基础

1. 数学概念二重性理论

以色列数学教育家Sfard(1991,1994)等人提出,数学中,特别是在代数中,许多概念既表现为一种过程操作,又表现为对象。例如,加法,a+b既代表两个集合中的元素合并或添加起来的过程,又代表合并或添加后的结果。函数:既代表定义域中的元素按对应法则与值域中元素做对应的过程,或者给自变量输入一个数值,则按一定规律输出一个值的过程,又代表特定对应下变量之间的关系结构。一个数学概念往往兼有这样的二重性:过程—对象,算法—结果,操作行为—结构关系。相应地,它们分别具有以下特性:动态—静态,细节—整体;历时(继时)—共时(同时)。

Sfard等人的研究进一步指出,概念的过程和对象这两个侧面有着紧密的依赖关系。形成一个概念,往往要经历由过程开始,然后转变为对象的认知过程。即在概念形成过程中,遵循“过程先于对象发展”的认知顺序。Sfard认为数学史上概念产生、形成的许多例子都证明了这一发展方式,许多研究也表明个人的认知在这一点上是一致的。Piajet也有类似的论述,“数学的抽象并非来自于操作的对象,而是来自于操作本身,这是数学抽象的基础。”

概念在过程阶段表现为一系列的固定步骤,具有操作性,相对直观,容易仿效学会。但是,由于操作过程的历时性,即步骤前后次序排列,并且每一步中包含不少细节,这种非结构的、序列的认知图式,只能以逐条的、庞大的方式进行加工,因此对于容量相当有限的工作记忆,很难加工和储存,导致认知的重负。如果概念停留在过程阶段,思维所考虑的因素呈序列动态,就不易全面掌握,较难抓住要害和实质。当概念进入对象状态时,便呈现一种静态结构关系,这种图式包含的节点越多,层级越丰富,信息容量就越大,而且便于检索,使得可以从整体上把握概念的本质。Sfard认为,对象与“概念意象”(concept image)类似,是思维的虚构物,并非真实的存在。对象的形成使我们的经验有序和结构化。对象不能独立于概念图式存在,即对象是对已有的图式和新信息进行再加工、重组的结果。概念的结构对象是“关系性理解”(Skemp, 1976)的基础—“知道做什么,并知道为什么这样做”。就象一个人运用分类寻找信息,或依靠地图寻找某条街道。

 “对象”的形成以直觉思维或反省思维为基础,意味着许多隐喻关系的诞生,意味着对程序性经验的内化、压缩之后产生的一个“附加值”(added value)——对于不同数学概念、符号、性质及其关系的深刻洞察。“对象”的内部表征主要是意象的,即数学家所说的一些模模糊糊的图形、符号、甚至人性化的东西,共同组成一幅内隐的、整体的、较少细节的具体化图式。由于具体化图式的结构是非命题的,因此难于用言语表述,但是以这种图式为基础产生的事实知识(factual knowledge)可以用词汇描述。

2.APOS理论模型

根据Piaget对儿童数学逻辑思维发展的研究,在建构一个更复杂的数学结构时,反省抽象过程通常涉及四种特殊的建构过程:(1)内化:为了建构所知觉的现象的意义,把一连串具体的活动转换为可以在头脑中进行的运算。学生因此获得每一步操作的意义,而不仅仅是形式的操作各种数学的符号、语言、图象以及各种表象。(2)组合或协调:即通过组合或协调已有的运算过程建构一个新的过程。(3)压缩或凝聚。即把一个动态的过程转换为一个静态的对象。“外部活动或心智运算此时成为思维或同化的对象。”因此我们可以把一些数学知识看作一个整体结构来思考。随着从动态的过程到静态对象的循环往复,我们的数学知识从一个小的结构到成为一个更复杂的结构,不断发展。 “压缩”的哲学意义就是建构一个新的形式,它不仅与原来的形式有关而且把其作为新形式的内容。(4)一般化。把已有的图式结构应用于更广泛的情形。例如当个体能把两个量的比看作对象时,利用已有的等量图式应用于两个量的比得到比例的概念。此时,个体不需要改变原来的图式,只是把以前的图式(例如两个整数(式)相等)看作现在的特例。因此这种一般化的本质是扩大了原来图式应用范围,是外延一般化。

美国杜宾斯基等人[2]认为,这四种建构过程的结果分别对应不同认知水平的概念,因此他运用动作(action)、过程(process)、对象(object)和图式结构(schemas) 四种心智建构描述个体理解高级数学概念的内涵,其中动作、过程、对象是三种基本建构,这些心智结构又以某种方式组织成处理问题情境的图式。而一个人数学知识的发展既表现为从低层级的心智结构向高一层级心智结构的序列发展,又表现为不同水平上心智结构之间灵活、协调的相互作用。这就是APOS理论。

各个心智建构及其相互作用的本质如下:

活动 是指基于物理的或心智的对象所发生的转换,促使转换发生的动因是对象的一些外部的表面特征,例如个体是依据对程序步骤的回忆或在公式、法则的按步指导下完成操作或运算。一个动作可能只包含一个步骤也可能包含多个步骤,但下一步只能由上一步引出。

过程 当个体能够反思全部动作图式时,受外部驱使的动作逐渐转换为受个体控制的心智运算,这个转换活动称为内化。在过程水平个体可以不必进行实际操作活动而在“头脑中思考”全部操作步骤,并伴随反复操作最终趋于较少意识参与的自动化水平。它类似Piaget提出的“运算”概念。一个过程可以包含几个可以获得相同结果的不同程序。例如符号2(x+3)与2x+6分别对应两个不同的计算序列,但从过程水平看是相同的,因为它们输入相同的值总是得到同样的输出值。

一旦学生建构起一个过程,就可能协调两个或更多的过程成为一个新的过程或者建构过程的反演。动作与过程的区别在于转换是受外部驱动还是受个体支配。

对象 当个体可以反思获得相同结果的所有不同运算程序,并且能看作一个整体,可以被更高水平的运算(新的动作或过程)来操作时,表明一个过程正在凝聚并向一个心智对象转换。当问题要求从对象通过解凝聚(de-encapsulate)返回,重新表征过程建构时,个体必须把这个概念首先看作对象。例如“考虑全体正实数集合R+,规定:;k⊙a = ak. 证明R+构成实数域R上向量空间。”就要求先把“线性空间”概念看作对象,然后通过解凝聚回到相应的各个“过程”—证明对两种运算封闭,并满足8条公理性质。

图式 是指与这个概念有关的所有动作、过程和对象以及与这个概念有关的其它概念图式形成一个新图式。图式的意义在于不需实际解题,就可以明确一个问题是否与这个概念有关。图式的发展一般经历由低到高的三个阶段:第一阶段,个体还不能明确组成图式的各成分之间的关系。第二阶段,能认识各个成分之间的关系,但还不能感知它们作为一个单个整体对象的面貌。第三阶段,能把组成图式的各个成分及其关系作为一个程序组块,即个体能把一个图式作为一个整体对象来思考和操作。这个过程称为图式的主题化。因此APOS理论中的“对象”实际有两种建构方式:把过程概念压缩或通过图式的主题化

如果一个图式没有主题化,认知个体就表现为虽然掌握相关知识,但遇到一个新情境下的问题,不能有意识地应用知识解决问题。图式在这里类似Tall等提出的概念意象[3],即个体心智中存在的与给定概念有关的所有认知结构,包括各种心智表象、有关性质和(运算)过程。区别是图式强调组成成分之间必须协调、不能存在矛盾。

各种水平的心智结构并不是以替代的形式从低向高发展,而是共存在与这个概念有关的图式中,并随着个体的概念发展而不断精致。

对任意角三角函数概念教学的启示

要建立任意角三角函数概念,角的概念先扩大,角的表示(过程的):正角、零角、负角,象限角,与角α终边相同的角,{α+k·360°}到{α+2kπ}(结构的),学生对角的概念的图式重新组织,整理成弧度的形式才更适宜后面内容的学习。

任意角三角函数与锐角三角函数的关系是“上下位”关系,即任意角三角函数的概念是抽象度更高、包摄范围更广的概念。因此,学生学习这个概念是以顺应为主的认知过程,产生与原认知结构不协调的方面是:首先,要建立锐角三角函数的一个等价的表示过程,即放在直角坐标系下,用终边上点的坐标来表示,进一步用终边与单位圆的交点的坐标表示。其次,在不同象限下,角β所对应的三角函数的表示,符号等;第三,任意角三角函数的定义域、值域。

APOS理论表示就是

活动1:取一个锐角α0放在坐标系下,始边与χ轴的正半轴重合,终边在第一象限内。让学生观察,进而探索发现,用终边上点的坐标计算sinα0, cosα0, tgα0.体验用单位圆与终边交点的坐标表示sinα0, cosα0, tgα0.

过程1,学生能内化上面的过程,用符号运算表示出任意的第一象限内的角α的三角函数,例如,单位圆与终边交点P的坐标是(x,y),则.

活动2,学生观察终边在其它象限下的角的三角函数的情形。主要是表示,以及三角函数值的符号的变化。

过程2,学生能内化上面的体验。知道不同的象限角的三角函数与其终边与单位圆交点的关系,表示,以及函数值符号的变化。

对象1,对上述过程进行压缩,归纳概括出定义,即利用单位圆定义任意角的三角函数,并明确确定其定义域、值域。

图式1,学生能与已有的相关知识建立起联系。例如弧度的概念,锐角三角函数、函数的概念等等。此时学生能回答诸如“锐角三角函数与任意角三角函数的区别是什么?”

杜宾斯基强调,学生建构概念意义的过程并非都沿着:活动—过程—对象—图式的顺序线性发展的,而是经常会由对象通过解压缩返回到过程,或者掌握一个过程的逆过程,由一个过程复合另一个过程形成新的“过程”,等等。例如,上述过程的逆过程包括:由三角函数值判断角所在的象限;由给出的角(特殊值)求其终边与单位圆的交点,等等。随着进一步学习,学生的任意角三角函数概念还要不断发展,例如角α与-α,2π-α,π-α,π+α等的三角函数值的关系,此时,学生计算一个角β的三角函数值的方法途径(过程)更多,这样学生就形成许多新的“过程”,因而在处理有关问题时就更灵活。因此,要使学生形成良好的任意角三角函数概念,就要重视对“过程”的教学和反思。

3.数学史的启发

数学史反映了人类探索数学规律的自然发展过程,这个过程对教学设计中如何预设学生的认知发展顺序,以及预测学生可能的学习困难都很有启发。以本设计为例。陈振宣先生在2008年第10期《中小学数学》(高中版)上撰文“三角函数定义的比较研究”,提出原来教材中采用的定义方式其实是欧拉于1748年提出的,现教材中定义的方式是上述方法与单位圆相结合后的产物,所以从认知的角度讲,可能前面的方法更容易让学生接受,当然单位圆的方法有更多优点,特别是在后面的学习中,它的作用会愈发突出。因此,在采用单位圆定义之前,可以先用坐标系的方法作为铺垫,这在白涛老师关于“任意角三角函数”的教学设计中已有体现。

三、对新的教学设计的建议

综上,作为任意角三角函数的第一节课,我认为中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系(过程的),并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义(对象的)。因为大量有关三角函数的运算还要依赖后面的知识才能完成。

以上述理论为基础,对任意角三角函数概念的教学设计,可以在原设计方案基础上,当学生组织起锐角三角函数的概念,例如计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论(与点的位置的选取无关)后,首先提供“坐标系”作为脚手架,并引发学生的认知冲突—“在坐标系下,如何研究一个任意角的三角函数?”并以坐标系为平台,有层次的研究随角的变化,即第一象限下的锐角(认识研究方法的变化,以及符号表示的变化)——0~2π范围内的角(认识该范围内角的三角函数的表示方法,特别是值域的变化)——不同象限下终边相同的角(逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程)。

通过观课及课后的研讨,我的另一点体会是,教学设计既要重视“承上”,即与学生原有认知结构的联系,也要重视“启下”,即从后续知识发展的角度审视教学安排。有关的例子,一个是老师谈到,锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角,再构造三角形,而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下,对学生概念的迁移会更有帮助。另一个是,我想到的,本章第一节“任意角和弧度制”,应该完成用弧度制表示一个角α及其终边相同的角的集合如何表示,会对本节课“任意角的三角函数” 概念的教学更有意义。

    
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