当前位置:首页>>高中数学>>教师中心>>教学研究>>中学数学核心概念思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践>>第八次课题会研究成果

1.概述

“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”课题组第八次会议,于2009年5月7日9日在浙江省衢州高级中学举行。本次会议由浙江省衢州市教研室、衢州高级中学承办。浙江省衢州高级中学坐落在围棋圣地烂柯山南麓,乌溪江右岸,“坐北朝南,天高地迥,人杰地灵,气象万千,内敛治学冶性之光华,外露少年青云之锋芒,承烂柯奇山灵气,续大学半百文脉”,是一处“教书育人、读书成长”的好地方。

参加本次课题会研究课和评课活动的代表,除课题组成员外,还有人教A版高中数学教材培训讲师团的所有成员,上海市部分中学的数学老师,衢州市高中教师等200多人。

本次会议与人教A版高中数学课标教材培训工作研讨会同时举行。与会人员以“数学归纳法”、“直线与圆的位置关系”的研究课为载体,对课标教材实施中的课堂教学改革开展研讨,并结合课堂教学实践中反映出的问题,研讨教材培训的实效性问题。

本次会议的过程表明,贯彻“凸现数学本质,强化概念教学,全面实现数学课程的育人价值”的核心理念,在“理解数学,理解学生,理解教学”的基础上开展教学设计和课堂教学的实践研究,是一项长期的任务。

2.“理解数学”是第一基石

教什么比怎么教更重要,数学课要教数学。这就要求教师自己先理解好数学:了解数学概念的背景,掌握概念的逻辑意义,理解内容所反映的思想方法,把握概念的“多元联系表示”,挖掘知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。在教学设计和课堂教学中,还要不断问自己:我这样做是在教数学吗?

本次会议的两个课题,从内容的本质看,更侧重于“思想方法”。“直线与圆的位置关系”一课,其内容所反映的思想方法比较明确,载体也是大家熟悉的,关键在于教学处理。下面对数学归纳法的理解问题作一概述。

许多老师从不同角度对数学归纳法的内涵及其反应的思想方法进行了深入分析。例如吴明华老师通过具体例证讨论了数学归纳法中蕴含的“归纳思想”“递推思想”“无穷思想”“模式思想”,许多老师重温了数学归纳法的理论基础,有的老师讨论了数学归纳法为什么是一种演绎推理,还有老师分析了其中蕴含的“三段论”。从中可以看到,对数学归纳法的推理形式、所反应的数学思想等的具体理解上存在差异,也许其中某些观点有偏颇甚至是错误的,但我们可以从这些不同观点中得到启发,加深对数学归纳法的理解。

在分析大家的反思成果基础上,通过与“人教A版”主编刘绍学先生的交流,并再一次认真学习了华罗庚先生的《数学归纳法》,有如下几点认识与大家分享:

第一,数学归纳法的理论基础是皮亚诺公理的性质5,由自然数的基本性质“最小数原理”就可以推出数学归纳法,“反过来,也可以用这个性质来推出‘数学归纳法’”[156],因此,“数学归纳法”和“最小数原理”是等价的;

第二,“最小数原理”很直观(可以认为是一个“常识”),但是“常识”因为司空见惯,人们一般会熟视无睹,对“数系的逻辑”没有专门兴趣的人不会自觉地去思考它(大概绝大多数人对此不会有兴趣),不经过一定时间的专门训练,数学素养不达到较高水平,就不可能自觉地应用它,这也是学生“不喜欢用数学归纳法”“不提醒就想不到用”的主要原因;

第三,作为高中数学教师,更深入地了解数学归纳法的理论基础、思想根源等是很有必要的。从学生的认知规律出发,因为自然数的性质与他们的日常经验符合,直观上容易理解、能够接受,因此让“皮亚诺公理”“最小数原理”这些“数学家的游戏”退到幕后,学生学习操作性、实用性更强的数学归纳法就够了;

第四,虽然像“数学归纳法是归纳的还是演绎的”“为什么是演绎的”“其中的三段论形式是什么”等,研究者们已有许多讨论,而且有定论,但为使我们更深入地理解数学归纳法,从而更准确有效地进行教学,对数学归纳法进行再思考、再认识是有必要的。不过,让学生辨析这些问题是没有必要的,因为学生的认知基础还不够。根据“课标”要求,只要让学生了解数学归纳法思想,会用数学归纳法证明问题就够了。这里需要强调一点:两个步骤是一个统一体,拆成“大前提”“小前提”就没有意义了(先生说:这是我从来没有考虑过的问题,把它往三段论上去套不太合适,因为它不是那个“劲”),重要的是“数学归纳法的证明过程中,必须包括两个步骤……两者缺一不可!缺一不可!”[1,11]

第五,先生说,数学归纳法的应用中,“难处不在于有了公式去证明,而在于没有公式之前,怎样找出公式[1,2],从培养学生创新精神的要求出发,根据先生提出的数学归纳法“进”和“退”两方面的应用,在选择应用素材(也是教学内容的选择)时,除了直接用数学归纳法证明的题目外,应当适当考虑那些能让学生经历“把一个比较复杂的问题,‘退’成最简单最原始的问题,把这个最简单最原始的问题想通了、想透了,然后再用数学归纳法来一个飞跃上升”[1,16]过程的素材;在此基础上,还要考虑“递推数列”等载体,让学生学习“先找出公式,再用数学归纳法证明”的方法。

3.学生的认知困难在哪里

1)“直线与圆的位置关系”的难点分析

从操作的层面看,“直线与圆的位置关系”没有什么困难,再加上内容的解析也没有难点,所以大多数老师更愿意对“数学归纳法”说点什么。在“直线与圆的位置关系”的认知分析中,老师们的重点放在“运算会出错”,“数形转化中对特例的疏忽”(严谨性出问题)等。但我认为这些都不在本节课的核心。从解析几何的根本任务出发,本课的学习要围绕“形成用坐标法解决问题的‘基本套路’”展开:建立直角坐标系,将实际问题转化为数学问题,再用坐标法解决;培养用坐标法解决平面几何问题的思维方式。而这也正是学生的认知困难所在,其原因是学生还没有养成坐标法的思维习惯而导致的“不是做不到,而是想不到”。

对坐标法特点的认识,如坐标法是具有普适性的方法,而且是定量的(不是直观定性的),其解题过程具有“程序性”等,也不是学生可以自动形成的,这是学生经历的用坐标法解决问题的过程少、经验积累不足从而导致缺乏这方面的意识。这应该通过与平面几何研究方法的比较来帮助学生提高认识。例如,平面几何中,三角形的三条高交于一点的证明要分交点在三角形内还是在三角形外,而用坐标法可以不加区分;有些几何曲线的性质,如二次曲线平行弦中点的轨迹是直线段、二次曲线的光学性质等,用综合几何方法很难证明,但用坐标法却轻而易举;有些几何问题,如三大尺规作图难题,用坐标法可以漂亮地、迅速地决定它们能还是不能,而离开代数就很难决定了;有些几何曲线,如旋轮线、对数曲线、对数螺线……如果不用坐标法,我们甚至根本无法入手去研究它们的性质。因此,为了帮助学生认识坐标法的特点,教学中应有意识地引导学生体会通过二元二次方程组的解来研究直线和圆的位置关系中体现的定量化、程序性、统一性等。另外,解析几何中体现的引入变量、用运动变化的观点认识和研究问题等,也需要教师引导,这里有两个途径:一是直线在运动(绕一点旋转或平移)过程中出现的与圆的三种位置关系的解析表示;二是用坐标法解决实际问题(台风影响)中体现的运动变化观点。

2)“数学归纳法”的难点分析

数学归纳法的学习难点,大家讨论得比较充分。李学军老师认为,难点在于对数学归纳法实质的理解,主要是对第二个步骤的理解困难李昌官老师认为难点有五个方面:(1)对数学归纳法的背景及要证明的问题的特征理解不到位,(2)如何把无穷的不断重复的递推过程用有限的、一般性的步骤来代替,(3)对第二步的作用,尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明、如何使用归纳假设等不理解,(4)深刻理解数学归纳法的精神实质需要时间,(5)对第一步重视不够;张小明老师引述了国外学者的研究结果(1)如果n0或其它值开始,此法适用吗?(2)多检验几个n值,是否比只检验n=1更有保障?(3)先假设待证的p(n)n=k时成立,这样合理吗?(4) 既然p(k)已成立,而k又可取大于n0的任意自然数,那么将kk+1不就也成立了吗?为什么还要证明?这些疑虑来自于数学归纳法形式化的表达,诸如“假设”“n=k(kN)时命题成立”等是学生发生疑惑的基本诱因(顺便提及,我们也应该问问学生,他们有哪些疑虑,有疑虑表明学生真正思考了,没有疑虑是可怕的)。

上述分析的共同点是:从原理本身而言,难点主要来自第二个步骤的理解。这大概也是所有老师都会认同的。而产生这一困难的原因,我也认为来自于数学归纳法的形式化表达。如何化解这一难点呢?再次学习华先生的《数学归纳法》,发现他的做法是:先“以识数为例”,指出小孩子会数()任何数是因为“他领悟了下一个数的表达方式,可以由上一个数来决定”;再以“从袋子里摸球”为例,指出如果保证“当你这一次摸出红玻璃球的时候,下一次摸出的东西,也一定是红玻璃球”,那么“只要第一次摸出来的确实是红玻璃球,就可以不再检查地作出正确结论:‘袋子里的东西,全部是红玻璃球’”;然后有一个过渡:“我们采用形式上的讲法,就是:有一批编了号的数学命题,我们能够证明第1号命题是正确的;如果我们能够证明在第k号命题正确的时候,第k+1号命题也是正确的,那么,这一批命题就全部正确”;接着以“前n个正整数的立方和”为例,“亦步亦趋”地指出第1号、第k号、第k+1号命题各是什么,并明确“下一步就是要在第k号命题成立的前提下,证明第k+1号命题也成立”;最后再给出含有“假设当n=k时……那么当n=k+1时……”的形式化表达。先生不愧是自学成才的数学大师,他很懂得该怎样引导学生逐步理解数学归纳法的本质。我们只要按照他采用的“先形象化,再形式化”、“先日常语言,再符号化语言”的路线,并且明确地指出:用数学归纳法证明“p(n)真,nN”,要完成两个命题的证明,第一个是证明(验证)p(1)真,即证明n=1时成立;第二步是证明命题“p(k)p(k+1)”,即以“p(k)真”为条件,证明结论“p(k+1)真”

当然,从数学归纳法的背景到应用的完整过程看,还有其他难点,例如:两个步骤之间的关系(为什么缺一不可),如何用数学归纳法解决问题(先“退”后“进”,用数学归纳法建立模型),等。

4.如何实现“思维的教学”

本次研究课的内容侧重于“思想方法”,这是实现“思维的教学”的最好载体。我们知道,思想方法的学习重在体验和领悟,逐步形成用这些思想方法进行思维的习惯,碰到问题能自觉地“往这方面想”。当然,要实现“思维的教学”,还有许多细致的工作要做。

1)精心设计学习过程

我们曾经反复强调,没有“过程”=没有“思想”。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂,是“数学素养”的源泉,是从双基到能力的桥梁;“过程”是“思想”的载体,是领悟概念本质的平台,是思维训练的通道,是培养数学能力的土壤[2]。因此,以数学知识的发生发展过程为载体,设计数学学习过程,是教学设计的首要任务。

在具体实践上,概念课、原理课与习题课、复习课应有所不同。

“直线与圆的位置关系”一课,正如老师们指出的,“内容和方法都是已知的”,所以,总的思路应该是:“教学重心前移”,在坐标法思想指导下,先与学生一起讨论清楚用坐标法解决问题的“基本套路”、直线与圆的位置关系及其判定方法(几何法与代数法);“把在思想指导下的操作、解释的机会让给学生”,选择典型事例,让学生自主研究。教学中,教师应明确地引导学生思考“坐标法的特点”和运动变化观点。在构建具体过程时,老师们对两个设计有自己的偏好,我的观点是“大框架都可以”,而且两位老师的考虑都比较周到,稍有遗憾的是不够大气,没有在关键点放开让学生自主活动,思想方法的高度不够。

“数学归纳法”的过程设计,要围绕:理解两个步骤的含义,特别是第二步是证明一个命题“p(k)p(k+1)”;理解“两步缺一不可”。同样,大家也有不同的设计思路。李昌官老师给出的设计很有启发性,值得大家参考。这一课的过程设计与“直线与圆的位置关系”应该不同,原因是它的内容和方法不是学生熟悉的。设计时应注意到:

第一,“引入”要使学生感受学习新方法的必要性;

第二,要让学生经历“生活?数学”、“形象?抽象”、“日常语言?符号语言”的过程,逐步概括出数学归纳法;

第三,使用生活实例时,要像华罗庚先生那样,用形象的语言帮助学生建立数学归纳法的“直观模型”,用“有一批编了号的数学命题……”引导学生认识其中的“数学内涵”,为归纳两个步骤、领悟数学归纳法的精神实质作好铺垫;

第四,要引导学生分析无穷多个递推过程“p(1)?p(2)真”,“p(2)? p(3)真”,p(3)?p(4)真”……的结构特征,从中归纳出一般结构p(k)?p(k+1)真”;

第五,要明确地指出,第二步要干的事情是证明一个新的命题递推关系):p(k)?p(k+1)真,即以“p(k)真”为前提,证明“p(k+1)真”;

第六,要通过典型实例(主要是反例),使学生领悟为什么“两个步骤缺一不可”;

第七,要让学生“亦步亦趋”地说明,第1号、第k号、第k+1号命题各是什么(这就是老师说的“把‘结论成立’具体化,写出nk时成立的内容,还要写出nk1时,要证明的具体内容”,其理由老师已经讲清楚了)。

2)精心选择和使用例子

人们常说,“榜样的力量是无穷的”。数学教学中,一个好例子胜过一千次抽象说教。好例子之所以重要,是因为它给学生的数学应用提供了一个“参照系”,使他们在遇到具体问题时能受到例子的启发而想到“该用这一知识”“应这样做”;同时,学生对抽象的数学知识的理解也就变得具体有形了.我们课题组成员对此有充分的共识。在具体设计时,值得考虑的是不同例子的各自作用。例如,在“直线与圆的位置关系”中,教科书以“台风影响”问题作为引入,一方面是考虑本课题的“现实需要”以引发学生兴趣,另一方面是让学生经历用坐标法“建模”的过程;老师利用分辨率造成的错觉,由“观察不可靠”而引出“量化”判断位置关系的需求,而把“台风影响”问题作为知识的应用放在最后。比较两种思路,应该是教科书的意图更全面些。另外,有些老师对黄老师在引入中的三个问题颇为赞赏,但值得注意的是,我们无法判断任意画出的一个圆和一条直线的位置关系;同样,问题3直线CD与圆O的位置关系也是无法判断的。一般而言,我们总是在一定条件下才能判断某种关系;位置关系的分类也是在一定标准下才能完成。

在“数学归纳法”一课中,大家给出了许多例子,特别是给出了丰富多彩的生活实例。但从直观、简单、有利于从中抽象出数学意义(两个步骤)等考虑,“多米诺骨牌”和“从口袋中摸球”不失为好例子。另外,在引入课题时,选择“无穷递推数列”,以引发“一一验证不可行,能否找到别的方法”的需求;在说明“两个步骤缺一不可”时,要使用一些简明易懂的反例,如数学史上知名数学家在归纳数学结论时犯的错误,或明显荒谬的命题(如“所有正整数都相等”)的证明等;在应用阶段,要注意用当前知识解释、证明已有知识的活动,如思考等差(比)数列通项公式、前n项和公式等是否已经证明(实际上只是“找到”了,但没有严格证明)、如何利用数学归纳法作严格证明等;另外,为了培养学生灵活应用数学归纳法的能力,还应当有“先退后进”的例子。

在例子的选择和使用上,还有一点是要鼓励学生举例。

3)“你是怎么想的?”“为什么?”

众所周知,要使学生真正理解数学知识,必须要有他们自己身体力行的实践,从自己亲历亲为的探索思考中获得体验,从自己不断深入的概括活动中,获得对数学概念、原理的本质的领悟.具体落实到课堂,就应以数学概念、原理的发生发展过程为线索,循序渐进地安排学生的观察(实践性探索)、思维(理性思考)和迁移(知识应用)活动,引导学生动手做、动眼看、动耳听、动口说、动笔写、动脑思、用心想,全身心地投入学习,在理解概念的过程中,实现数学能力的发展,培育理性精神[3].教学中,要“以问题引导学习”,在学生给出答案后,要追问“你是怎么想出来的?”“为什么?”让学生自己阐述获得结论的思维过程,这是促进学生思维深度参与,从而真正理解数学知识的好方法。当然,看似简单的教学行为,在课堂上真正实施起来却并不容易。从课题组成员的课堂表现看,这方面的进步是明显的,从开始的教师“喋喋不休”占据课堂大量时间,生怕学生说不清楚、讲不到位而习惯性地“替学生找理由”,到本次课题会上,几位老师都有意识地让学生回答问题、说明理由。例如,据余继光老师的统计,黄显忠老师与21位学生进行交流,教师讲的时间只占三分之一,而学生思考、练习时间超过三分之一,其中有10分钟左右,课堂处在无声的学生习作时间,三次展示学生习作,并给予点评。当然,我们还有努力的空间,就像老师指出的,数学归纳法的两堂课,“基本上没有给学生解释这两个步骤的来源以及作用的机会”。

5.结束语

从本次课题活动及会后反思材料看,大家围绕数学核心概念、思想方法展开教学设计的理论与实践研究,聚焦课堂,以提高课堂教学有效性,充分发挥数学的育人功能为目标导向开展课堂教学实践研究,取得的成果是令人满意的。上研究课的几位老师提供的教学设计,在教材内容解析、教学目标解析、教学问题诊断、目标检测设计等方面都做得比较好,教学过程基本采用问题驱动教学模式。因此可以说,我们课题组提出的教学设计思想基本成型,并已扎根于课题组成员的教学观念中。另外,值得一提的是,通过网络、杂志搜索可以发现,我们倡导的教学设计思想在一定程度上得到广大一线教师的认可和采纳。

课题研究开展到今天,以核心概念、思想方法的教学设计为载体,促进教师专业化发展的目标已有一定的达成度。具体表现在:增强了全体成员的数学育人意识,提高了教研的自觉性,提高了理解核心概念、数学思想方法本质的水平,提高了内容及其反映的数学思想方法的教学表达能力,增强了学生认知分析的针对性,教学过程设计中自觉采用“问题引导学习”的方式,对教学目标检测(课堂练习、课后习题)的针对性、有效性(不搞一步到位)的认识大大增强,等。有了这样的底蕴,成长为专家型教师就有了坚实基础。

在研究过程中,我们形成了一些观点。

关于结构体系

l         中学数学课程结构体系应以核心概念及其反映的数学思想方法为主干,所包含的知识和技能是学生后续学习所必不可少的;

l         “结构体系”中的概念是组织教学内容、形成学生良好数学认知结构的强有力的“联结点”;

l         “结构体系”是一个与学生思维发展水平相适应的、体现各年级所学的数学概念、思想方法之间螺旋递进关系的、具有连贯性和一致性的结构;

l         “结构体系”是发展学生的思维能力和理性精神的必备基础。

关于教学设计

教学设计的基本线索是:在分析概念的核心的基础上,根据学生的思维发展需要,提出现阶段要达成的目标;分析达成目标已经具备的条件和需要怎样的新条件,从而做出教学问题诊断;根据上述分析进行教学过程设计;最后是目标检测设计方案。其中,内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断是重中之重。

l         “概念的核心”就是教学重点;

l         对“了解”“理解”“掌握”等作出具体解析,才能使教学目标对教学活动发挥定向作用;

l         教学难点要以“教学问题诊断”(包括学生认知分析)为基础;

l         教学过程设计应贯彻“问题引导学习”原则,问题应有适切性,对概念及其反映的思想方法的领悟有启发,有“跳一跳摘果子”的效果;

l         目标检测应强调针对性、有效性。

其他观点举例

l         数学教学要承担“生命的教育”和“生活的教育”双重任务,数学教师要参透数学课堂的本来面目才能不辱使命;

l         理解数学、理解学生、理解教学是搞好数学教学的前提,数学教学设计的首要问题是理解数学;

l         概念教学的核心是概括,核心概念教学要不惜时、不惜力;

l         概念教学的“整体观”:首先要把概念放到概念体系中考察,理清概念的发展线索和相互关系,再考虑如何落实在每一个具体概念的教学上;

l         数学教学要做到“高立意,低起点”;

l         没有“过程”=没有“思想”;

l         一个好例子胜过一千次抽象、空洞的说教;

l         用概念作判断的训练要循序渐进,关键是培养“回到概念去”“回到定义去”的思维习惯;

l         在“预设”时不够“大气”,数学思想的高度不够,问题的思考力度不够,是造成课堂“生成”效果不佳的主要原因;

l         用“你是怎么想的?”“为什么?”等进行追问,是促进学生思维深度参与,达到对数学概念的实质性理解的好方法。

我们课题组从2006年10月开始,历经3年,召开了八次研讨会,经历了数学核心概念、思想方法教学设计的理论构想、实践检验,逐步形成了具有鲜明特色的教学设计思想和实践检验方式,“研究的立意和思想性都较为深刻且扎实具体,有示范性和可操作性”。“在课改向纵深推进的今天,需要这样抓住教改核心问题、聚焦课堂教学、能切实提高教学质量,从而实现数学教学育人目标的研究”。今后,我们将在继续关注核心概念的教学设计和课堂教学检验的同时,把研究的重点放到核心概念结构体系的构建上,这是我们课题研究继续深化的需要,也是当前高中课改需要重点研究的问题。

 

参考文献

[1]华罗庚. 数学归纳法. 上海:上海教育出版社,1963

[2]章建跃. 没有“过程”=没有“思想”. 中小学数学(高中版),20089

[3]章建跃陶维林. 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学. 数学通报,2009(7)(8)

    
【上一篇】
【下一篇】