当前位置:人教网2010>>高中数学>>教师中心>>教学研究>>理论与实践

不少学生和家长抱怨说:数学学习化时间最多,精力最大,但收效最微。浙江某地区调查发现对数学学习有厌学情绪的学生占70%,社会的现实不能不引起数学教育工作者的深思。

美国一本《数学教学法》(Max.A.Sobel &Evan.M.Maletsky)有一段发人深思的话:“在教学上应该有这样一个“公设”(几何作图公理的称为“公设”):学生对他们真正有兴趣的东西会做得最认真也会做得最好。所以,制造和保持兴趣成了中学数学教师最重要的工作之一。它也是教师所遭遇到最困难的问题之一。

无独有偶中国最古老教学论《学记》中也有一段名言:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者。”尽管说法不同,视角有异,但实质上说的是教学上同一件事。而且都清楚地告诉人们:减轻学习负担,提高教学质量的关键是激发学习兴趣,改进学习方法,只有让学生对所学内容真正感兴趣了,专注认真了,教学质量上升乃是水到渠成的必然结果。把这一条称为“教学公理”是当之无愧的。

那么又应该如何制造和保持学习的兴趣呢?说说容易,做做难,知易行难。这应该是教育科研中的热点,笔者对此作过长期的思考,做过一些非正规的试验。

1.人是自然的一部分,对自然规律存在天然的好奇心,爱因斯坦说:“这个世界可以由音乐的音符组成,也可以由数学的公式组成。”数学中存在奇异美,利用数学中的奇异巧合,自然激发学生固有的好奇心,兴趣油然而生。

利用两个全等含有30°,60°的直角三角板,在平面上如图1放置,其中连接CE,其中点为M,判断⊿MBD是什么三角形?

A点为原点,BAD所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图1.则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(-b,0),E(-b,a).

            图1

 

 

说明:这一结论的证明过程既简明又奇妙!

不难发现四边形BCED是梯形,对它的面积计算有两种途径:

    

   

   

 

    这就证明了勾股定理。这不是巧合,而是严格的逻辑证明。

 

2.有意识搭建创新思维实践平台,让学生享受创新成功的喜悦,是制造与保持学习兴趣的重要途径之一。

创新思维实践一

4块全等的矩形,长为a,宽为b,将他们围成一个边长为a+b的中空正方形,如图2,中空的小正方形边长为a-b

 

从图2易见: 这样获得乘法公式:

通过变量代换:

  解得 

代入①的两边,得,即

此即平方差公式。

反过来,以代入②,又获得公式①。可见公式①与公式②是等价的。

再观察公式①,当a+b为定值M时,有

当且仅当a=b时,。从而有

由此发现如下重要结论:

a与b的实数之和为定值M时,则ab的最大值为

a,b为正实数时,恒有:

其中称为a,b的几何平均数, 称为a,b的算术平均数,所以两正实数的几何平均数不大于它们的算术平均数,这就是著名的平均不等式。当且仅当a=b时,等号成立。

类似地,当a与b之积为定值n时,那么有:所以,当a与b(正实数)之积为定值n时,a+b的最小值为

通过以上分析,凡是勇于动手又动脑的人,都能发现公式①与②和平均不等式以及相应的最大值、最小值,可见发现与证明数学公式和定理并不神秘。

创新思维实践二

你喜欢玩橡皮泥吗?请用橡皮泥做一个如图3的立方体,棱长为a+b.

a、b为边长,将正方体切成如图4,图5,图6,图7的四块。然后分析计算它们的体积。用长方体的体积等于底面积乘高得:

左前块如图4   a2(a+b)         左后块如图5 ab(a+b) 

右前块如图6    ab(a+b)      右后块如图7   b2(a+b)

(图4-图7)

四块体积之和显然等于立方体的体积(a+b)3,所以

移项得 

化简得

请看从玩橡皮泥,动手又动脑,大家都能发现乘法公式、数学定理,公式并不神秘,关键是动手又动脑,就能有所发现,有所创新。你会发现原来数学学习并不枯燥,能使你享受到成功的喜悦,这种精神享受是任何物质享受所无法替代的。

 从小接受上述良好的数学训练,会把你送入数学的殿堂,使你成为“具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人。”这是数学发现的潜力,是十分可贵的品质。

 3.改造历史名题,揭示数学思维方法的奥秘,展示数学的魅力,是制造和保持对数学浓厚兴趣的另一有效途径。

荒岛寻宝

有两位武林高手,无意中来到一座荒岛,发现一个山洞,他们两人仗着武艺高强大胆进入洞中,开始是羊肠小径,十分黑暗,峰回路转,豁然开朗,展现出一广阔的大厅,足有几百平方米,他们四处查看,发现壁上有小储藏室,其中有一小铁盒,且被锁上,打不开,于是就把这个小铁盒带出洞外,用石头把锁打断,盒中有一块布制的图,上面说明荒岛南端有一广场,标明有两颗大树A和B,另有一土台(C)上装有绞架。从绞架直行至一颗大树A,记住所走步数,然后左转弯(即按顺时针方向旋转90°)前进同样步数到一点D;再从绞架C走到另一棵树B,记住所走步数,右转弯(即按逆时针方向旋转90°)向前走同样步数到达点E,最后说在DE的中点M处埋有巨大宝藏。两人大喜,迅速到荒岛南端,果然有一广场,确有两颗大树,但绞架因年久失修,已经风化得无影无踪。两人空有一身武艺,却无法找到宝藏地点的准确位置,空欢喜一场,于是只好在广场乱挖一气,空手而回。

亲爱的读者,在失去绞架的确切位置的条件下,是否还能找出宝藏的埋藏地?两位武林高手,空有一身绝技,但无科学知识,只好遗憾而归。而我们已经了解直角坐标系的知识,掌握了点的简单旋转的规律,完全有能力找到宝藏的确切位置,你愿意试一试吗?

图8

分析:图8是示意图,取AB的中点O为原点,A、B分别在轴的正、负半轴上,其坐标分别为A(a,0)B(-a,0),绞架C所在地已失去,不妨用未知数(x,y)表示它的坐标。按点的旋转变换规律你就可以找到D、E的坐标,然后求DE的中点M的坐标,你会发现点M的坐标与x,y无关,很容易找到点M的所在地。

解:取大树A、B的连线为轴,AB的中点O为原点,A、B的坐标分别为A(a,0)B(-a,0)绞架C的坐标为(x,y),其中x,y都是未知数(设而不求)

C绕点A按顺时针方向旋转旋转90°到达D,分别过C、D作x轴垂线,垂足为H、F,在

AD=AC, 

所以FD=HA=a-x。所以点D的坐标为(a+y,a-y)。

Ex 轴的垂线,垂足为G。在

GB=HC=y,所以点E的坐标为(-a-y,a+x)

所以DE的中点M的坐标为

所以点M在轴上到原点的距离为AB的一半,这样与点C(绞架)的位置无关。我们在失去绞架的条件下,只要量一量AB间的距离,AB的中点0沿着与AB垂直方向,向上走距离a即到达宝藏的埋藏地M。

这一事例说明知识就是力量。知识经济时代的到来是必然的趋势。学习科学的价值是不容忽视的。

这是笔者原创的实例。在课内或课外指导学生阅读交流,可以激发学生的学习热情。在教学中注意开发这类资源,是贯彻“数学教学公理”的措施之一,也可能有助于增效减负的实现。

在当前急功近利与应试教育盛行的社会氛围中,我们能做些什么有益于数学教育改革的工作呢?中央领导一再要求在工作中贯彻科学发展观,数学教育中是否应该提倡按数学教育科学规律进行日常教学呢!以上所述只是个人观点,提出来,请大家讨论,希望能引出广大教师的真知灼见。

参考文献:

1.Max.A.Sobel &Evan.M.Maletsky著《数学教学法》九章出版社

2.陈振宣、章志强著《数学启智》上海辞书出版社

 

    
【上一篇】
【下一篇】