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  全美数学教师理事会(NCTM)已于199810月公布了新的中小学数学课程标准讨论稿,向美国国内各界人士征求意见。这份文件以《学校数学的原则和标准》为题,总结了自1989NCTM公布《美国学校数学课程与评价标准》以来,美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见,对原标准重新进行修订,提出了面向21世纪新的课程与评价标准。

  新的标准没有改变1989年制订标准的基本方向,而是在如何使教师更好地理解和有效地贯彻标准上做了改进。从新标准的讨论稿来看,主要变化有以下几个方面。

  1.新标准把以前关于课程、数学、评价标准的三个文件(分别于1989年、1991年和1995年公布)综合为一个文件,使教师更容易掌握应当教学哪些内容、怎样教,以及如何评价。

  2.新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的。它们成为制定课程标准的基础。这六条是公平的原则、数学课程的原则、教的原则、学的原则、评价的原则和技术的原则。

  3.新标准把年级分段由三段改为四段(K~23~56~89~12),使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容、方法和要求。

  4.新标准开发、阐述了学校数学教学十项标准的总观点,并将其贯穿在各个年级的标准中,通过具体的示例详细解释。这些标准的前五项叫做内容标准,包括:(1)数与运算;(2)模式、函数与代数;(3)几何与空间观念;(4)测量;(5)数据分析、统计和概率。后五项叫做过程标准,包括:(1)问题解决;(2)推理和证明;(3)交流;(4)联系;(5)表达。

  5.新标准还有一个特别的变化,就是应用了新技术的力量,提供了计算机网络版。这样,由于网络版可以是动态的,使教师能够及时地、很容易地从因特网上得到最新的标准和有关的信息咨询。

  这份新标准的讨论稿经过广泛征求、收集意见后,将在1999年夏季由全美数学教师理事会的专门写作小组做进一步整理和修改。新的《学校数学的原则和标准》将于2000年春季正式公布。

  标准1:数和运算

  数学教学纲要应促进对数和运算的感觉(以下简称"数感")的发展,为此全体学生应──

  理解数,数的表示法,数之间的关; 

  理解运算的意义及各种运算之间如何联系; 

  熟练地运用计算工具和策略并恰当地进行估计。 

  说明:幼儿园前-12年级

  在学校数学课程中,数、运算及计算有悠久而显要的历史。此外,数学的这个领域或许要比任何其他部分,在超出学校的范围里更广泛地受到承认和尊重。这个标准的中心就是发展"数感"这样的目标,即理解数的意义,它们之间如何联系,它们的相对大小关系,如何用多种方法思考和表示它们,以及数的运算产生的结果。在教师的经验的引导下,让学生适时地发展"对于数及它们间关系的良好直觉"Howden1989)。具有良好"数感"的学生会自然地分解数,发展和运用最基本的内容,运用运算间的关系及十进制数的知识去解决问题,估计问题的合理结果,并且具有能形成对于数、问题及结果的直觉的素质(Sowder1992)。具备蕴藏于"数感"中的技能的学生,是数学的自信的使用者。 

  关于数的基本知识,是发展"数感"和教会学生解决问题的基础。学生必须能容易地回顾这些基本知识。这些基本知识包括一位数加法的结构及减法、乘法和除法的原形。对于基本知识的理解和有关的技能,可以通过探索如"7+8与7+7+1是同样的"这类问题的思考策略来发展。它们也可以通过多样的、系统的校内外实践活动来发展。大多数学生在2年级应能迅速地回忆起加法和减法的基本知识,在4年级后期容易和熟练地回忆起乘法和除法的基本知识。

  同样,熟练的计算--掌握和运用有效和精确的计算方法--是发展"数感"和在大多数的数学领域取得成功的基础。某些情形中,学生会用聪明的策略,例如把"6×2.5"看作"6个2加6个一半(0.5)"。在其他情形,学生用聪明的策略结合写在纸上的算草迅速得出精确的结果。在另一些情形,学生可以用纸和笔演练教学中的计算法则及其变形法则,特别是在数目很大或很复杂时。重要的是,学生必须具有可以有效使用和产生正确结果的方法。能应用、处理问题中的信息材料和反映、比较解题策略,会帮助学生发展对于数、运算及它们的性质的理解,增加关于基本规律的知识,使运算更流畅。

  全体学生应学会在计算时进行估计的策略,养成对数值(包括计算结果的合理性)做判断的习惯。估计的能力和习惯,依赖于对于数的理解──它们的大小,在数系中的地位,等价形式──以及用这些数进行运算的结果(例如,当一个整数乘以一个小于1的数时会产生什么样的结果?)。估计可以用来直接回答一个如"我们该要多少比萨饼?"这样的问题,或用来评价用纸、笔、计算器所得出的结果的合理性。在高中,学生应理解误差估测及其在计算中的作用,并应发展区分估计值和近似值的能力。

  计算器是可行且可靠的计算工具。全体学生应在适当的时候把计算器作为计算工具。计算器应可以运用于数学课堂中的计算,特别当解决问题中需要很多或很复杂的计算时。然而,当教学重点在于发展学生自身或由此转化的计算技能时,计算器的使用应服从于教学重点。今天,计算器已是课堂之外广泛使用的工具。课内环境应反映这一现状。

  理解数,数的表示法,数之间的关系及数系

  学生的有关数的概念和性质的知识应在他们的学校生活中不断发展。在2年级前,学生通过多种途径学习记数、表示数和比较大小,可以借助于他们能够操作的实物,如记数器和10以内的模块。2年级前,学生将会接触并应探索较大的数。实际上,他们对于大的数特别是在他们的生活中遇到的这样的数常常很感兴趣。例如,小龄的学生可以通过计算用学校的便士机换的硬币数目或收集的苏打水罐拉环的数目来认识数。低年级学生会探索和使用部分与整体的关系。24被看作两个1041,也是两个12。用多种方法来认识数,会为学习10进制记数法提供基础。

  在2年级,学生形成这样的转化,如10101的集合,也是一个10。这样的认识是通往10进制记数法的第一步(Cobb&Wheatly1998)。在低年级,学生也会通过现实问题和语言遇到并学习普通分数(如1/23/4)。例如,大多数学生已能在他们的校外生活词汇中使用"一半"

  35年级的学生继续发展和扩充关于整数的概念并思考运用解题技巧。340831000410081之和的知识,是学生理解3408如何与440833083500相联系的基础。这样的理解是发展数感的一部分,也有益于产生和运用计算技巧。

  在35年级,学生将学习和表示分数和小数,要强调它们如何与整数相联系等。理解分数或小数是单位量的部分量,是这些年级的关键概念。在这个阶段,教学中对有理数概念的强调应重于它们运算的策略。对于35年级的学生来说,有用的经验包括形成对分数和小数的实际背景的认识,用如1/2这样的已熟悉的最基本的数来比较分数,在数轴上表示分数和小数,及分数和小数间相等的表示等。运用这些理解,学生将能估计分数的和,如1/2+3/8必然小于1,因为每个加数都不大于1/2

  35年级的学生学习数也学习它们的分类和性质,例如奇数、偶数、素数、合数、平方数。认识这些建立在整除规律基础上的性质,找出素数因子或理解函数关系。

  68年级的学生用分数、小数和百分数扩大他们的工作,使得他们能够灵活运用等价关系和策略来给有理数排序和比较大小。由认为分数是单位数的部分到理解分数也是数,这个认识在中年级完成。学生关于10进制小数的知识及其运用也在这时完成。加上用有理数进行估测,学生在68年级也发展了分数和小数的计算策略。在整个中年级,对很大的数及这些数代表什么的理解继续发展。学生使用计算器或数学用表这样的工具处理和分析数据,并且学习用科学记数法表示很大或很小的数。随着由自然数到整数的扩充,中年级学生对顺序和量的知识也扩充了。在学习勾股定理和圆周长时,他们也遇到像π这样的无理数。

  在912年级,课程的其他内容比数的内容更突出,然而随着学生用更全面的观点来看已熟悉的数系,他们对数的性质的理解继续深化。科学记数法和矩阵表示,成为可能实现的事。复数也加入学生的视野,他们还认识到当实数系扩大时实数的全部性质并不能都保留。

  理解运算的意义和它们彼此间的联系

  为使运算流畅,学生必须理解算术运算的意义。这包括对一个特定的问题决定实施什么运算,同样的运算如何运用于不同的问题,运算之间有何联系,及预料会产生何种结果。

  在低年级,学生遇到各种问题涉及加减法的意义。减法可以被认为是"取走"或是比较两部分的大小。重要的是加减间的关系。2年级前,随着学生解决他们所接触的问题,可以开始学习乘除法的意义。这样的问题包括:做4份三明治需要多少片面包?怎样把一包葡萄干平分给4个人?虽然2年级前的教学强调加减法,学生却自然地会接触到像乘除法这样的其他运算问题,对此应提倡。

  乘除法的意义,尤其对于整数的运算,成为35年级教学的中心。借助图示或实物,学生进入乘除运算情景,认识加减乘除之间的关系。运用常规的和有创造性的运算策略,学生运用并认识交换律、结合律和分配律及01的特性。计算策略的发展和比较提供了揭示算术本质的机会。例如,对乘法法则的描述被分散于多处,除法的技巧蕴于反复出现的过程中。

  在68年级,重点是对有理数运算的理解。这个水平的学生也巩固和发展整数的运算。学生对于运算的直觉需要随数系的扩充而不断完善(GraeberandCampbell1993)。例如,正数被一个小于1的的分数乘所得结果小于其本身,这与学生原有的乘积总大于乘数的认识相悖。在整数的减法中结果也不再总是"往小变"。学生也应注意乘除之间的相反的关系及分数与其倒数的关系。在68年级,适当的推理是分数、小数、比和比率这些运算的基础。在低年级,学生所做的多数比较是关于加减法的,如"高多少?""多多少?"在中年级,学生在涉及数对的比率和比较时应更熟练,例如这样的问题:"3袋可可能做15杯巧克力,做60杯巧克力需多少袋可可?"

  在912年级,学生继续学习运算并建立运算与其他课题的联系。复数的加法等价于向量的加法,复数的乘法的几何解释是旋转和伸缩的结合。建立早期的函数关系--如求第n个根,绝对值,方幂--与数的运算类似。学习像封闭性这样的运算性质是理解代数系统的一部分。

  熟练地运用计算工具、策略和适当地估计

  成年人经常使用许多种有效的计算工具,包括智能计算机,纸和笔,估值及计算器。学生需要能帮助他们选择适当工具的经验。当选择一种方法时应考虑问题内容及涉及的数。这些数是否能巧妙地处理?这些内容是否需要进行估计?这个问题是否需要重复而繁杂的计算?学生应在问题环境中决定是否需要估计值或精确回答,并能对所做决定说出道理。当学生解决问题时估计与精确计算的技能应互相配合使用。

  8年级前,学生期待着发展建立在他们的知识基础上的关于数和运算的计算策略,并使之不断深化。通过师生间对运算法则的讨论,学生看到乘法解决问题的可行性及其优越性。学生应能熟练计算,以及掌握对于要解决的问题有效而精确的计算方法。发展计算的熟练程度,要求对于概念的理解,合理安排运算的程序及迅速抓住数的基本性质之间的平衡与联系。另一方面,没有概念作基础的运算策略的应用,往往被遗忘或记错(Kamii1998)。此外,缺乏熟练计算能力的理解会影响对问题的解决。

  发展2年级以前的学生对整数及其加减运算的理解,教学重点应放在发展关于各种大小的数的运算策略上,如一位数或多位数。学生自发的运算策略应被讨论和分享。2年级结束时,学生应能回顾加减的基本法则,熟练地做2位数的加法,会做2位数的减法。

  在35年级,学生中自发形成的和传统的关于整数的四则运算策略已被学习,并用于大的数,而且运用得很熟练。Gravemeijer1998)基于他的深入研究,指出:

  学生发展解决问题的能力中,作为基本工具的数学概念、记数法及运算程序是基础。在解决某些类型问题的过程中,非正规的算法可能会走在形成通常的正规算法之前。在教师的指导下,这些非正规的算法可以发展和并入传统正规算法。但是,学生可能仍选择先前的对解决问题有价值的非正规算法。

  在这些年级学生也发展并开始应用小数的乘法,复习乘除的基本法则。有理数的概念是这个阶段的教学重点,并且它们会引出分数的非正规的算法。例如,在5年级,1/4+1/2这样的问题应灵活轻松地得到解决,因为学生应清楚1/21/4的几何表示,或能用分解的策略,如1/4+1/2=1/4+(1/4+1/4)

  分数和小数是68年级的教学重点。分数和小数的计算策略,应建立在此前年级发展的概念知识上。学生到68年级应能用通常遇到的分数进行理性的运算和具体表示。在68年级,学生应发展更一般的能应用于整个分数范围的计算策略。他们也应扩充从整数到小数的计算策略。人们期望学生们能用有理数进行熟练的运算。由于学生已发展了对整数的意义和表示法的认识,他们也应发展用整数运算的方式。

  在912年级,学生应把分析和比较算法作为研究数学的一部分。通过比较算法,他们考虑哪些容易解释,哪些容易运用,哪些最有效。他们应能读图表并决定它是否描述了确定一个数能否被3整除的正确方法。学生应分析为什么要建立和如何建立算法。在这个水平上,学生能研究整数和有理数的计算方法,也研究他们在高中首次遇到的不熟悉的算法,包括找实数根或求序列的有限差

  标准2:模式、函数和代数

  数学教学纲要应包括关注模式、函数、符号和数学模型,以便所有学生能够──

  理解各种类型的模式和函数关系;

  使用符号形式表示和分析数学情形和结构;

  应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化。

  说明:幼儿园前-12年级

  模式、函数和代数包括系统地使用符号,数学体系的代数特征,现象的模型以及对变化的数学。这些概念不仅彼此互相关联,而且还与数、运算以及几何紧密相联。它们对数学的所有领域都是至关重要的,并且它们组成表达数学的基本语言。这个标准里的思想观念形成了学校课程的主要组成部分。

  在方程解的研究中,代数有根。这个科目已向几个方向发展,它包括方程的学习,抽象事物的推理,归纳,以及符号概念的中心意思。所有这些发展都应在学校课程中得到反映。

  对模式、函数和代数的学习应在低年级非正式地开始,然后在学校的学习中逐步向深度和广度发展。早期接触模式、函数和代数的概念,能为在初中后阶段和整个高中阶段更深入细致地关注这个领域的学生提供部分理解基础(Smith1998)。

  理解各种类型的模式和函数关系

  制作、认识和拓展模式对儿童们来说是非常自然的活动。早期接触模式的工作是识别规律性,认识不同形式的相同模式,以及应用模式去推测数值。例如,"红-蓝-蓝-红-蓝-蓝-红-蓝-蓝…""ABBABBABB…"具有相同的模式,所以其第12个元素是蓝。

  从简单的状况出现的模式是函数和序列的萌芽。例如,如果1个玩具2美元,那么1个玩具,2个玩具,3个玩具,n个玩具多少美元?随后接触的一个是增长的模式,例如,"1361015"一个是重复的模式,例如"113113"上述这些例子加深了对模式概念的理解。到了初中和高中,隐藏在模式和序列下的规律性变得越来越复杂,包括那些以指数方式增长的模式。接触作为函数的例子--序列,在中学得到扩展的目的是建立极限和无穷序列这些概念的基础。

  在低年级,学生注意到每一项通过前一项而得到,来描述象"2468"这样的模式,在这种情况下,后一项=前一项+2。这是递推思维的开始。以后,学生能够研究被定义的序列以及通过递推得到的序列,如Fibonacci序列"112358…"在这个序列中,每一项都是前面两项的和。在许多科目中,递推数列非常自然地出现,并可通过技术手段来研究。912年级的学生研究由递推产生的函数和模式。

  最初接触模式时,一个重要的步骤是,学生经常口头地表述隐含的规律性,而不是应用数学符号来表示(EnglishandWarren1998)。学生数学课程的一个目标是基于口语表述,提供给学生足够的经历,使他们舒适地、流利地使用数学符号表示归纳的结果。

  函数的早期萌芽和它们的表示,包括这样一些活动,记录日常气温或在图表中随时表示随着平面高度的变化产生温度的变化。在低年级可以使用函数图象来描述函数。在68年级线性函数和对函数图象的解释是学习过程中特别重要的东西。对912年级的学生来讲,尽管已经系统地学习其他一些函数,如多项式函数、指数函数、三角函数,但对函数图象的解释仍然是重要的。在高中,这种系统的学习应建立在学生早期有过的代数思想的经历上。

  熟悉函数的解析表示、数值表示以及图象表示是非常重要的。在这些表示中,能力是向思维深度和容易的方向发展。坐标几何使函数和关系的图象表示以及观察函数和关系的几何性质,如图象的对称性,成为可能。图形计算器和计算机能够帮助学生进行图象和数值表示方面的实验,检验和对比函数的不同性质。包括两、三个变量的函数之间的关系可以有几何表示,在yz平面内,当抛物线z=y2z轴旋转会得到什么?所得图象如何用代数表示?

  许多学生首次理解函数的概念是通过如下一系列教学过程,"任给一个n,如n=0123时,求2n的值"VinnerandDreyfus1989)为了帮助学生发展对函数概念的更深的理解,对函数的多种表示-如数值表示、图象表示、解析表示有相当丰富的经历是必需的。

  使用符号形式表示和分析数学情形和结构

  数量关系的符号表示是代数的灵魂。概括地说,它能使复杂的数学被简明地表达出来,而且符号和表达式能够提供探索和发现解决问题的途径。然而,这种作用也遇到会一系列概念障碍,例如,变量的概念是相当复杂的。在低年级,典型的一个例子是在下面式子中空位处的一个特定的数字是一个变量

  ○+2=11

  以后,学生会学到方程3x+2=11中的变量x,方程中的变量x,这两个变量的意义是不同的,而且它们与公式中的变量的意义不同。完全理解变量的概念需要相当长的时间,它需要丰富的实践经历作为基础(WagnerandParker1993)。

  另一个在理解数量关系的符号表示的概念困难是关于相等的概念。相等的符号可以以不同的方式被察觉。例如,对在算术计算中广泛经历的相等符号的结果。学生一个典型的察觉是,把相等符号作为计算的符号(Kieran1981)。然而,在高中之前,学生也需要学习到把相等符号作为相等和平衡的符号。总之,如果学生在发展他们工作中固定的概念基础之前,学生被要求从事较多的符号演算,但他们不能进行更多地机械性的演算(WagnerandParker1993)。关于符号概念有意义的工作基础需要持续相当长的时间,从低年级开始,直到初中或高中阶段正式接触代数这门课程。

  当儿童接触数时,他们常常采纳在本质上是代数化的策略。教师们可以以相似的方式建立这种自然的趋势。例如,一个儿童可能注意到“4+5=4+4+1”“5+6=5+5+1”等等。把他或她观察到的介绍给另一个儿童时,学生可能画出如图3—2所示的图:

  □□□□

  □□□□□

  图3—22+1

  使用图形作为一个范例以及不是一个孤立事件的记录使代数表示图象化。或者,儿童可能会说“2+1”,因为这种表达表示的是一个归纳,它就是代数化。

  在68年级,代数表示变得越来越正规,因此在符号、肖像、具体和几何之间再加上一个强有力的透视。当它们被几何化后,即使复杂的代数关系也变得清晰起来。当学生在进行系统的推理、复杂的代数符号演算时,学生很容易理解几何表示。例如,图3—3帮助我们解释为什么前n个奇数的和等于n2

  

  图3—3

  学生能够给出像“1+3+…+(2n1)=n2关系的符号表示,而且,以后学生能给出它的数学演绎证明。因此,这种代数归纳可以以两种不同的方式得到发展和证实,一种在中学阶段学生能够接受,而另外一种需要较多的数学准备。两种方式互相补充,事实上,每种方式都能揭示不同的数学情形。

  代数和几何彼此向对方渗透,正如学生把几何思想代数化。例如,一个半径为r的土球被加工成一个半径为r的土圆锥,问圆锥的高是多少?

  代数结构的概念来自于对数的演算的关注。理解封闭性(如两个正整数的和仍是正整数,而两个正整数的差不是正整数)和代数性(如加法符合交换律,而减法不符合交换律)对于学习诸多的系统,包括数系、多项式系统、函数系统和矩阵系统来说,是非常重要的。学生能够对运算进行推理,例如,他们发现减法运算是加法运算的逆运算。考虑一个复杂的数系时,询问关于数系的内部互相联系的问题,以及找出这些问题的解法,对于学习数学是非常重要的。

  数学结构中另一个重要的部分是同构的概念,即表面看似不同,而实质相同的数学结构。例如,两种不同的物理情形,可用相同的图形把他们模型化。这显示两种不同的过程具有相同重要的数学特征。

  应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化

  数学的一个强有力的应用是现象的数学模型。应用符号记法是模型化的中心。例如,分配律和交换律、物理定律、人口模型、以及对数据集的统计都可以用符号语言表示出来。在任何复杂的表格的使用中,代数是不明晰的。如果能够很好地理解数集之间的关系,那么这种理解能用变量、函数、关系的语言表示出来。

  基于以上事实,对于学生来说,从低年级开始,把众多现象数学模型化是非常重要的。随着学生对标准函数族的熟练程度,他们能够应用线性函数、指数函数等把一些现象模型化,且可用它们进行鉴别。三角函数表示周期现象是非常有用的。基于计算机的实验室的应用能够使学生快速地从物理实验中获得可靠的数据,这样就能扩大对状况所作模型的使用范围。计算机或计算器的图形、数值、或符号功能可被用于探讨这个模型可能的变量的作用。在解决涉及这些变化的情形中,最大值和最小值是非常重要的。

  对变化的最终研究是在微积分中,但学生在正式学习微积分课程之前,已经对变化讨论了很长时间。在幼儿园前—2年级,一个描绘运动员跑的距离与时间图形的学生能够指出,在一段时间内距离增长得非常快,而在另一段时间内距离增长得较慢。这个过程依赖于时间函数y=f(t),它在steep区域变化得非常快,而在shallow区域变化得非常慢。

  算术序列和几何序列的不同之处在于,序列中每项的定义依它前一项的方式。对变化的学习与递归思想相连。低年级的学生能够观察到像581114这种模式,也就是每个数比它前面的数大3。随着学习的深入,他们将学习到序列中更加复杂的变化,像13610,在这个序列中,每一项对于后一项来说,是按照比例增长的。又如24816,在这个序列中,每一项是前面一项的2倍,也就是指数关系。y=2n

  总之,模式、函数和代数这些领域内的概念和技能逐步变得深入和复杂。同样地,在这些领域,学生的思维也是随着步入高年级而逐步发展和成熟的。

  标准3:几何与空间观念

  数学教学纲要应关注几何与空间观念,从而使所有学生

  分析二维和三维几何物体的特征和性质

  选择和使用不同的表示方法,包括坐标几何和图论

  在分析数学情形时认识变换和对称的用处

  使用想象和空间推理解决数学内外的问题

  说明幼儿园前-12年级

  很多几何应通过活动来学习,用实物模型、绘画和软件作为工具。精心设计的活动,合适工具的获得以及教师的帮助使学生能够对几何结构作出推断,探究其他结构的推断,对几何进行推理。最后的目标是使学生系统学习几何形状和结构并在学习中越来越多地使用推理和证明。几何与空间观念是数学教育的重要组成部分,它们提供了通过抽象解释与反映我们的实际环境的途径,它们可以作为学习其他数学与科学知识的工具,它们有助于所有数学里的创造思维。

  几何思想在表示与解决其他数学领域与非数学背景里的问题的实效应是学生几何体验的主线。几何表示有助于学生理解面积与分数,坐标图象可以用来分析与理解函数。空间推理有助于使用地图、计划路线、设计地面方案和创造艺术。几何与空间观念也有助于学生看到他们周围的结构与对称。

  分析二维和三维几何物体的特征和性质

  从早期与周围世界的接触,儿童就开始获得形状与空间结构的体验。儿童应开始探索、识别与描述各种形状并通过探究进行观察。例如,幼儿园前-2年级可以用各种形状认识到矩形很有用,因为它们有四个"完美的角"。在以后的年级,学生描述图形的组成部分──诸如边与角,以及图形的性质。例如,用实物或几何软件对各种矩形做实验,35年级的学生可以推断矩形具有以下性质:有两对相等的边,对角线相等且平分。到68年级,学生应能演绎证明这些性质中的某些性质可以描述矩形的特征。在912年级,学生应能用演绎推理与几何公理及定理研究它们关于图形的推断的对错并用正式推理解决几何图形的问题。在所有水平,应鼓励学生提供关于他们的推断与解法的合适解释。

  诸如想象、描述、表示、分类、变换与探究的技能通过可视物体发展和形成,技术使学生能够体验大量各种二维和三维图形的相互联系,这些技能随着图形以及性质间相互关系的学习进一步抽象化,最后学生能够描述、表述、分类并探究用几何体系里逻辑链表达的关系间的联系。学生也应越来越能够在公理体系里得出定理,识别未定义的概念、定义、公理和定理间的区别,进行证明。

  选择和使用不同的表示方法,包括坐标几何和图论

  直角坐标系是有力的数学工具,它使在一种情形下难以解决的问题转化到问题易于解决的另一种情形。了解直角坐标有助于解决大量问题。特别地,坐标能表示位置、方向和距离,它是联系代数与几何的桥梁。

  儿童首先学习诸如上面、背后、靠近、之间等相对位置的概念,以后,他们可以用矩形网格确定一间房子里的物体或一张桌子上的物品位置。在中间和中学年级,坐标平面成为确定点的工具。通过使用地图上的比例尺或毕达哥拉斯定理确定平面上点的距离是中年级的一个重要发展。通过确定顶点的坐标或选择合适的点形成要设计的图形,几何图形可以被分析表达。几何软件、图形计算器和坐标纸可以帮助学生形成平面变换的理解。

  学生应通过使用直观和坐标表示,分析问题和学习数学获得经验。例如,在小学低年级,数轴提供了证实正整数加法意义的方法,而这种方法又可以扩展到其他类型的数的运算。在35年级,格子板有助于学生理解乘法,可以在中间年级或中学考虑更为严重复杂的问题。例如,要使救护车从社区各处到新医院的距离最短,中间年级的学生或许要用出租汽车几何。要使远距离城市的航线最短,912年级的学生要用球面几何。而如果学生要使乘飞机到几个城市旅游的费用最少,他们或许要用有限图论。

  在分析数学情形时认识变换和对称的用处

  变换是几何思维的重要方面。儿童入学时不仅有图形的直觉也有图形会动的直觉。通过镜子、折纸和找轨迹获得诸如滑动、"旋转"等非正式运动的体验,小学低年级学生可以在本质上把这些思想看成数学的。在更高些年级,学生关于变换的知识变得更为正式和系统化。35年级学生应探究变换的效果并能用数学术语描述它们。使用动态软件,学生就会意识到定义一个变换所需的条件。例如,用一个旋转变换一个图形,学生需要定义旋转的中心,旋转的方向以及旋转的角

  在中间年级,学生应理解全等变换,在变换中全等图形重合,即变换保距。学生应将他们的变换知识扩展到伸缩,并能从量上描述变换。

  变换应是912年级学生解决几何问题的重要工具。例如,它们在全等与相似的学习中用到。复合变换的系统学习可以使中学生从几何角度认识函数集合的代数性质。学生将能作出有关变换性质的证明并用变换在其他领域进行证明。

  使用想象和空间推理解决数学内外的问题

  空间想象包括建立二维和三维物体的表象并从不同方面认识同一物体。空间想象的一个方面包含二维和三维图形与性质的变换。在小学低年级学生用网格纸折方块作为学习预测一个网格纸能否折成一个方块的一步。在中间年级,学生应能作图并有俯视图或侧视图

  通过各种几何物体的手工操作和使用能够旋转、伸缩二维和三维物体,学生发展想象技能。

  随着年级的增高,学生应熟练分析和画出视图,数出组成部分,描述不能看到但能推出的,学生需要在当他们形成对全等、相似和变换的理解时,学会实际操作在头脑中改变实物的位置、方向和大小。

  想象可以用来作为形成推断或论证的工具。儿童确信如果他们把"菱形"看作旋转一个角度,它实际上是一个正方形。年龄稍大些的学生或许在证明两个三角形全等时,用空间推理决定合适的对应。在更高水平上,空间推理或许有助于比较平面曲域绕指定轴旋转所成的立体的体积,相似有助于学生认识比例关系。

  想象与空间推理因学生日常广泛接触计算机与其他技术而得以促进。通过将这一体验与学校几何相联系,学生可以获得解决几何与其他数学领域的问题的重要工具。

  在学生的整个发展过程中,几何与空间理解不仅增长也在结构上变化。虽然本标准阐明的焦点领域应在每个年级水平上详述,学生理解和打交道的几何物体将随他们不断升学而扩展。

  标准4:测量

  数学教学纲要应当包括对于测量的注意,使得学生能够

  理解物体可测量的属性、测量单位和测量系统;

  应用各种技巧、工具和公式进行测量。

  说明:幼儿园前-12年级

  由于测量在日常生活的各个方面的实用性和渗透性,因此它在K12年级以前的课程中是很重要的。学习测量的过程也提供了一个学习和应用其他数学知识(包括数字运算、几何猜想、统计概念和函数观念)的机会。测量包含很多重要方面,它们对于学生来说并不是那么陌生。这其中包括认识事物具有可测量的属性,例如长度、质量、面积;选择合适的测量单位;理解测量系统的各个方面以便使得概括和扩展成为可能。另外,测量可以通过各种手段(包括应用工具、规则、间接测量、成功的估算、度量)来完成。

  理解物体可测量的属性、测量单位和测量系统;

  物体的可测量的性质是指它是可以度量的。线段有长度,平面区域有面积,物体有质量。对于儿童来说,物体的自然属性比其他性质更为直观。例如,一支铅笔的长度比起它的周长和体积来说更为显而易见。帮助儿童理解物体的属性是帮助它们学习测量的一个关键步骤。测量对于儿童来说是从应用一些诸如""""之类的语言来比较物体的属性时开始的。可以通过多种途径把儿童的注意力吸引到它们要测量的属性上来。例如:一种途径,通过问像"你能在教室里发现什么东西比你矮"之类的问题来比较物体的长度;另一种途径是让学生来看是否一个平面区域(例如它的手掌)能用豆子盖住。其他的更抽象的属性,例如体积、温度、角度等是不容易描述的,它们对于35年级的学生来说更容易理解。

  在中、高年级,描述属性(测量的比),像速度、密度、三角比、分析数据等,已经成为学生们经常要做的东西。但是,无论什么水平,学生们在使用工具测量或使用公式计算大小之前应当已经对所认识的事物的属性有了许多日常的经验。

  当学生们对自然界不同的特性有不同的认识时,它们就会根据经验选择计量单位去测量那些特性。儿童们用单位去比较事物,常常用单位去"替代"其属性。例如,幼儿园前-2年级的儿童会用裁纸刀去量铅笔的长度,或用选定的正方形为单位量一块区域,测量体积时,它们会用玻璃杯里的水装满容器来测量。儿童们会应用各种物体,比如裁纸刀、吸管量长度,方形瓦片量面积,用纸杯量体积,它们的大小被记录成单位名称。在低年级,单位的"标准化"后来变得非常重要,当学生们注意到用Joey的脚量的教室长度同用Adriana的脚量的有很大出入时,决定用谁的脚作为标准单位成为重要的事情。在这个阶段学生也开始用给定的量度去认识事物,比如,一个能装满12杯沙子的容器或一支有3个裁纸刀长的铅笔。在中学阶段,学生们能创造出画一间房间和内部家具的尺度。计量单位是常规的测量系统的一部分,像英寸和英尺(在通常的英语体系中)或厘米和立方厘米(在十进制里),能在学生们用通常的事物作单位以后用作测量单位。

  测量依赖于计量单位是一个基本的认识。在低年级的后期,学生们会认识到计量单位在测量中所扮演的角色的重要。在中等年级,当学生们测量事物的较为抽象的属性时,计量单位也变得很复杂,包括米/时、磅/英寸2、单位的代数运算成为912年级的学习重点的一部分,当学生们学习测量单位时,这些单位也在不断变化着。

  学习如何选择计量单位是理解测量的主要部分。举个例子:当测量面积时重要的是要决定用哪种测量单位,比如一个正方形区域。方便也是一个要考虑的因素,用选中的测量单位测量时,所得到的应当是一个合理的数字,用裁纸刀去量铅笔而不能用它去量足球场的长度就是这个道理。准确也很重要,用较小的计量单位可在测量中得到更精确的结果。精确的要求包括计量单位的选择和使用工具的选取;这些选择决定于被测量事物的特点。在912年级,对属性的理解和单位的选取变得较为复杂。这里关键是要弄清问题存在的条件,选取一个结构来表示并进行测量。

  在美国,用英制测量还很普遍,从低年级到高年级学生们同时学习英制和十进制。学生们必须认识这两种测量体系,能够换算,并用这两种测量体系熟练地进行测量。有一个例子,一个学生说:"我住在离学校一英里远的地方,大约有2公里",学生们从此会发现了解英制与十进制的关系是非常有用的。

  了解测量系统能加强和帮助学生们理解以十进制为基础的的体系的各个方面,以及使用比例的原因。例如:因为十进制是建立在十为基础的结构上,学生学习十进制的测量有助于它们理解位置值。十进制有很好的内部结构,下一个较大单位的大小总是以同样的方式与前一个单位相联系。例如1厘米是1毫米的10倍,1分米是1厘米的十倍等等。

  有些关于测量的基本特征需要各个年级的学生研究和理解。许多种儿童们用来测面积的测量方式和使用最精确的单位是相同的。在低年级后期,学生们认识了全等三角形,它们即使位置不同也有相等的周长和面积。测量面积需要把整体分成几个部分。低年级的学生需要把1个矩形分成2个三角形,即使把每一块移走拼成新图形,它的面积与原来是相同的。他们也能注意到周长不再相等--新图形的周长不等于最初图形的周长。这样的观察能给数学理论提供有意思的内容,并涉及到像恒等不变量之类的较为复杂的概念。

  应用各种技巧、工具和公式进行测量。

  测量过程包括选择测量单位、根据被测量事物的属性比较这些单位、得出数据或数据的范围。当学生们对于被测量的属性以及测量过程中单位的重要性的认识得到发展时,他们能用技巧、工具和公式去测量。测量技巧是进行测量的战略,技巧可能是计数,反复、判断,或使用工具、公式。测量工具包括直尺、卷尺、容器、比例尺、钟表、秒表等。公式通常含有变量,给定数值后可以得出大小。

  学生们对于不同的测量技巧的选用取决于要测量的特性和测量的目的。例如:用不同的方法得出矩形地板的面积,学生们可能会用以前关于尺寸标准的经验估计面积,根据地板砖的大概面积求和得出地板面积,或测量长、宽用公式计算出面积。这些方法通过必要的单位换算可以得出大致相同的测量值。

  在测量中使用的另一个重要技巧是取近似值。所有物理测量结果都是近似值,应当鼓励学生在他们的测量结果画出界限。例如,要得到一个脚印的面积,学生们可以在脚印上画出透明的正方形格子,计算出在边界内的正方形的面积,再计算出被脚印轮廓切过的正方形的面积。学生们将认识到面积落在内、外界之间。格子分得越细,内、外边界线越接近。在现实中,细分的程度是有限的。这种近似值的应用是微积分学概念的重要先驱。

  测量工具是大多数人测量时所熟悉的装置。使用测量工具常常有赖于一些数学知识,比如分数(这意味着不能在尺子上做记号)和数列。在日益发展中,测量工具越来越技术化因而掩盖了它同属性之间的联系。例如,尺子是真正接近长度特征的工具。比较一下,强有力的几何软件用于测量角度,不如用量角器更容易观察到联系。儿童们熟悉的复杂的工业测量工具包括计时表、温度计、深度计、以及测量速度和距离的电脑传感器。选择与被测属性适合的工具是非常重要的。

  公式可以用于得出测量结果。并且无论什么时候,数学教学将会帮助学生理解这些公式。许多中小学的孩子们理解周长、面积、体积有困难(Kenneyand SilverLindqwst1989)通常,我们给出孩子们这些公式,比如:P=2l+2wA=l*wV=l*w*h,但是他们并不理解这些公式与被测量属性之间的联系,以及计量单位是如何选取的。在公式和自然事物之间应当建立起强大的联系。例如,当一个学生被告知一个矩形的尺寸--4cm*8cm--并要求用公式计算出面积时,那么这个学生必须这个公式是用平方厘米作单位计算矩形面积的一条捷径。

  另一个例子,高年级的学生能根据图36,用计算平行四边形面积的知识得出圆面积公式(A=pr2)。

  

  图36

  在35年级,学生们要了解用类似于"10∶35"的比例尺在纸上表示的矩形实际大小。比例尺,常被用在地图或计算图表的上,适用于用公式进行测量。一张地图,是运用测量工具及技术将图上距离通过比例与实际距离联系起来的一个描述。

  在中学阶段,学生们能处理更复杂的工业测量工具和测量原理。出版的关于精确测量及使用的错误方面的资料更适合于这些年级。

  测量是12年级以前的学生要学习的一个内容。对于使用具体事物尤其有意义。事实上,学生们不可能对没有亲身经历的事物用工具测量,得到对测量概念的深入理解。培养测量概念比较复杂,需要跨越多个年级,并且,教师的课程不能每年重复同样的测量理论。最终,测量对于数学本身以及数学领域外的像社会学、艺术、物理、以及学生自身的兴趣及体验都是一种重要的工具。

  标准5:数据分析,统计和概率

  数学教学纲要应关注数据分析,统计和概率从而使学生

  提出问题并搜集,整理和表示数据来解决提出的问题;

  用数据分析方法解释数据;

  形成并评价基于数据的推理,预测和争论;

  理解和应用机会和概率的基本术语。

  说明:幼儿园前-12年级

  不断发展的技术使我们分析数据的能力有了显著变化。有助于商业,政治和研究领域被用于决策的数据的数量快速增长。消费者调查被用于产品的研制和市场营销。民意测验被用于决定政治竞选的策略。实验被用于决定新的医疗处理。同样重要地,统计常常被误用来左右舆论和错误地表示商品的质量和效用。统计知识对于学生成为有识之士和明智的消费者是必不可少的,而统计推理也是需要学习的。数据分析,统计和概率的学习为学生将数学与学校其他科目以及他们在日常生活里具有的经验联系起来提供了一条自然的途径。数据是从具体背景里产生的,即从存在事物的全体或样本的观察搜集而来或通过模拟产生。学生应学会提出有研究价值的问题;设计,实施并解释一份调查;研究,实验或搜集相关数据并用它决策;确定他们对决策信心如何,最后交流这些结果。他们能够通过对数据搜集过程的反思和评价得出准确和有价值的结论。解释数据出现的偏差是可以控制的,而对统计推理的过程的理解有助于学生得出准确和有价值的结论。"这个结果事出偶然的可能性有多大?""如果试验做很多,,很多次,那么这个试验得出一个特定结果的可能性如何?"对诸如此类的问题的回答要靠以概率为基础的推理。儿童通过教室里的学生或书包里的彩色笔对机会和随机性有了最初的理解。有两种情况,一种是可控制,定义好的情况,在这种情况下,一个事件的概率易于确定,在另一种情况取样和模拟帮助他们量化一个不确定结果的可能性。

  统计和概率的坚实基础提供思考的工具和方法,这将使学生终身受益。由于儿童在学校学的一些东西对他们来说是预定的,因此他们学到涉及依赖于假设并具有一些不确定性的问题的解决方法是重要的。统计和概率所用的这类推理不总是直觉的,因而如果课程不包含这项内容,它就不会在儿童的头脑中形成。学生将受益于明智地处理变化与不确定性的能力。

  提出问题并搜集,整理和表示数据来解决提出的问题;

  为了理解统计,学生必须直接与数据打交道。这意味着以儿童对他周围世界自然而然的兴趣为基础。问"多少""哪一类""这些中的哪些"非常自然地产生。虽然这些问题不总是与问题有关,但它们确实提供了开始学习数据的机会。通过搜集与自身关注的问题有关的他们自己的数据。确定他们每天遇到的,根据这些将事物分类,学生懂得数据可以用来了解现象,回答问题和作出预测。

  随着学生进入以后的年级,他们不断提出基于时事和兴趣的探究问题。例如,68年级的学生也对环境利用或环境保护感兴趣,提出"在咖啡厅用纸盘是否更好"的问题。中年级学生更关注商品和制造商的声明,如"一种品牌的电池比另一种更经用",并关注公平问题。他们会问"去掉一个最低分并对其他分数取平均的评分方法公平吗?"通常关于事物的问题并不是清楚地显现为关于人或物的群体的问题。用数据可以提供答案的方式陈述问题是富有挑战性的。媒体提供能够得出有用信息的问题的大量例子,也提供并不是易于得出明确结果的例子。例如,调查一部分人他们倾向于哪位政界候选人可以得出一些有用的信息。然而,也可能被调查的人认为候选人都不合适,也许他们只表明哪个候选人他们比较不讨厌。由于这些复杂因素,912年级需要具备提出和探究需要使用设计试验或调查的原则的问题的经验。

  在提出一个有用的,陈述清楚的问题后,学生面临设计一个产生数据的方法的任务,这些数据有潜力回答问题。研究表明在计划搜集数据上花时间是值得的(Cobb1998RothBowen1994)。这并不说学生需要搜集他们要用的所有数据;但用到别人的数据时,学生需要考虑数据的获得方式。

  儿童可以提出简单的搜集数据的计划。在小学年级,教师帮助提出问题或提供纸,当学生搜集数据时可以把数据记在上边。"数据"可以是实物,诸如鞋子或儿童自己。。学生学习如何提出问题,构造试验,记录数据。学生可以学习数据。到912年级,学生应理解试验设计的要点,变量以及这些对结论的有用性的影响。

  一旦数据存在,它们会被整理或表示。在2年级前数据可以排序的思想是重要的。最初年级的学生提出把他们的生日数据排序的办法从而知道下一次是谁的生日(Russell1991)35年级的学生通过分析和解释书报和其他媒体的表示在数据表示方面学得更多。教师可以引入各种图表。表示的变化和复杂性应随学生年级的增加而增加。68年级的学生应开始比较数据表示的有效性。为了或向听众清楚地表示数据(Tufte1983),他们考虑范围的问题以及它对数据的影响。当学生处理较多或较复杂的数据,技术使他们能重新排列数据和易于用图表示数据,从而他们的注意力转到分析,理解和预测。表示的类型的选择必须被学生充分考虑。

  用数据分析方法解释数据;

  用好统计和概率思想,学生需要把一些数据看成一个数学实体。研究表明,从把数据看成个人的混合物到把数据看成具有必然性质的群体需要概念上的跳跃(Konold1998)。正如小学生从具体的5个物体形成5的抽象概念一样,学生必须形成数据集的抽象概念。而儿童常常对他们自己的数据(我的生日在11月,我家有5口人),将学生的信息聚在一起能够引起对数据集的本质的注意。例如,当一年级学生作出他们家庭人口数的图表时,一个孩子会说"看,没有1口人,"从而引起为什么1不是这个数据集合的数据以及数据范围是多少的讨论。过后,虽然学生仍关注他们自己数据所处的位置,他们也从整体上描述这个数据集合。例如,他们会注意到"乘公共汽车上学的学生人数比采取其他方式上学的学生人数的总和都多,或"10天后,我们的多数植物7英寸高,但高度的范围是3英寸到8英寸",到35年级,学生形成合计数据的思想并试图理解关于合计他们能够说什么。

  当学生开始把数据集合看成一个整体,他们需要熟悉用于描述这个集合的工具。学生需要不断熟悉中心,分布的测量以及数据的分布形态来描述数据集合。通过与数据打交道,38年级的学生对中位数和算术平均值的理解不断深入。他们的理解以非正式的想法为基础,如中间,聚集趋势,使事物平均或平衡观点(MokrosRussel1995)。到中年级计算几个中心的值使学生有机会比较它们对表示整个数据集合的有效性。举一个例子,考虑在表达关于各州或省年平均降雨量的信息是用中位数还是平均值。而如果有高降雨量的一些数据,中位数或许是较好选择。

  统计的中心概念使统计比较可行,这应成为幼儿园前-12年级的一个目标。在小学年级,学生或许说一个群体比另一个多或少一些属性。到中年级,学生应通过比较具体统计结果量化这些差别。从45年级开始并延续到中间年级,重点可以从分析和描述一组数据移到涉及两个或多个数据组的比较(Konold1998)

  在同样的年级水平,学生开始正式探究两个属性或变量之间的关系。当他们从中间年级到高中,学生会学到有助于分析这些关系的测量和表示。此时,学生将需要确定多个数据组的异同的新工具。学生也需要探究两组相关数据的联系与变化趋势的工具。

  当数据被表示和分析时,学生需要考虑他们的数据的相互表示。关于调查的问题这些数据能告诉他们什么?他们如何通过数据的不同表示得出更好的见解?在他们的分析部分,学生应在详尽和批判性评价特征方面不断成熟。他们应考虑他们的结论被数据支持的程度,可以得出哪些结论,以及哪些因素他们没能考察。

  最初接触数据时,学生通常只注意他们搜集的实际数据。例如,通过一个他们班级的调查,学生在描述和解释数据时,把班级看成了全部人口。然而,在现实世界,多数数据只是从考察的总体的一个样本搜集确定一个或几个合适的样本。从样本搜集数据,描述样本,以及作出与样本和总体有关部门的的合理推理是统计分析的核心。小学中低年级的学生开始形成基于统计推理的想法但尚不具备关于抽样的充分理解(Schwartzetal1998)。对58年级学生进行研究的研究人员发现学生不能预见到搜集和分析数据可以得出比他们的判断更可靠的见解(HancockKaputGoldsmith1992)。在小学高年级和中学,学生可以具备样本选择,统计推理以及量化与一个或几个样本有关的不确定性。从一个样本得出的推理的价值受很多因素的严重影响,包括样本的表示和它的大小。912年级可以开始理解这些概念。

  除此之外,912年级的学生应考虑对样本产生偏见的因素。他们还应理解量化与基于数据的决策有关的确定性。建立置信区间并由分布进行推理并不容易。广泛研究中学生的统计学家和统计教育者认为统计推理的概念是微妙的并且到中学才能充分形成(ScheafferWatkinsLandwehr1996)。学生中学毕业时应具备判断基于新闻中的数据的争论的可靠性的能力。

  理解和应用机会和概率的基本术语。

  概率与搜集,整理和表示数据,描述,分析和整理数据以及推理与预测紧密联系。它本身也是一门有趣的学科。它是一个与其他数学领域,特别是数和几何,发生联系的领域。我们在现代生活中做出的很多决策在本质上是不确定的。例如,我们需要概率"理解抽奖,保险,医学试验,工业质量控制,天气预报,运动创伤,基因和现代物理(ScheafferWatkinsLandwehr1996)"

  在幼儿园前-2年级教师应扩充儿童的词汇,介绍和强调可能性术语,如"我们今天下午可能休息",今天下午不太可能下雨。在35年级,可以在预测事件的规律时考虑机会的概念。他们通过如下活动学习这些概念,用硬币或转盘做有已知理论结果的试验,考虑他们知道的现实事件并能根据他们的经验把这些事件分为不可能的,不太可能的,可能的,或必然的。学生遇到的,特别是在学校遇到的很多现象具有可以预见的结果。如果一个转盘1/3红,1/3白,1/3蓝,那么可以预见,一定次数后,大约1/3的次数指针落在蓝色区域。通过考虑类似事件,学生进而理解一个特定结果是不确定的尽管我们知道它的可能性。在类似的一个例子里,当抛掷一个均匀硬币时,正面或反面朝上的可能性是一样的。但抛一次硬币出现哪个结果是不确定的。令人惊奇的是,如果事件是随机的并被很多很多次试验,那么结果的分布形成规律。这个必然的规律与我们的直觉相反。在如此情形下特定事件不能预测但结果的规律可以预测的思想是学习推理统计的重要概念。

  当学生对随机性的理解渐趋完备,他们能够用结果的分布量化转盘等情形中的概率。如果转盘1/43/4白,落在白色区域的可能性是多少?条件概率也可以介绍,虽然研究表明学生在涉及条件语句的概率推理方便会遇到很大困难Shaughnessy1998)。学生还可能进而理解可以指望仔细挑选的样本反映他们研究的总体的情况。从模拟产生的样本分布之后应是软件产生的模拟,从中间年级到中学逐步达到对这些概念的较深刻理解。

  标准6:问题解决

  数学教学纲要应注重于问题解决,使之成为理解数学的一部分,从而使所有学生-

  通过他们在问题上的努力学习新的数学知识;

  养成在数学内外建立公式、表达、抽象、一般化的倾向;

  应用众多的策略去解决问题,并使各种策略适应新的情况;

  对在解决问题中的数学思维进行监控和反思。

  说明:幼儿园前-12年级

  解决问题的能力不仅仅是学习数学的一个目的,而且也同样是学习数学的一种主要方法。当学生们在对数学内容的探索中应用问题解决的方法时,他们得到对数学的新的理解,并提高他们应用所知道的数学的能力。问题解决意味着去从事完成一项事先对解决问题的方法并无所知的任务。为了寻求解决问题的方法,学生们必须以不同的方法应用他们的知识,并且,也许能通过这个过程,来得到新的知识。问题解决是整个数学学习的不可缺少的一部分,而不是数学教学计划中的一个孤立的部分。它应该是支持发展数学理解的课程的一个有机部分。学生们应该有很多的机会去建立公式,设法解决那些需要相当程度的努力的复杂问题。

  通过他们在问题上的努力学习新的数学知识;

  问题解决怎样帮助学生学数学呢?精心设计的问题情景提供一种场所,在那里学生能巩固并扩展自己所知道的东西。精心挑选的问题能鼓励进行深入的数学探索。

  例如,考虑分数的观念,这是中学数学中的一个重要概念。这个概念就可以通过一种展开了的探索方式引进给学生。在此探索过程中,给学生一些不同的果汁配方(水和浓缩果汁的不同的量),并问学生哪一种果汁"果汁味更浓些"。由于没有两种配方的果汁的量相同,这个问题对于那些对分数还不懂的学生来说是一个难题。当试验了种种想法以后,学生们最后集中到了分数概念上。丢弃了其他的一些概念,学生们以各种方法仔细思考了比例并与他人作了讨论,比例这一概念出现了。

  问题解决能够,而且应该帮助学生发展在一些特殊技能方面的熟练程度。等学生们懂得足够多的时候才给学生以问题解决的机会将会使失去处理一些挑战性的问题的经验,使他们不再有问题解决的经验。当然,问题解决也不会在真空中发生,它也需要一些有关的知识。例如,考虑老师提的这样的一个问题:"在我口袋里有若干一分的小银币(pennies),若干个一角的银币(dimes),若干个五分的镍币(nickels),如果我从口袋里取出三枚硬币,我可以取到多少钱?(选自NCTM1998,第24页)"要解决这个问题,就需要一些知识--关于pennydimenickle各是多少钱的知识,加法的一些知识。学生们在解决这个问题之前并不需要在加法方面多么熟练;实际上,解决这个问题提供了进行加法练习的很好的情景。这个问题的最重要的教学目标--帮助学生对可能性作系统性的思考,并把他们的思维作组织和记录--不必等到学生把加法做得很熟练。

  养成在数学内外建立公式、表达、抽象、一般化的倾向;

  已经有一种用数学的观点认识世界的人们倾向于以一种数学化的方式来处理事务。对于那些具有数学倾向的人们,可以期望他们有怎样的行为方式呢?

  好的问题解决者常常用数学的观点来仔细地分析实际情况。在尝试一些比较复杂的处理问题的途径之前他们倾向于考虑是否可能有一种简单的解法。另一方面,他们也会作更加复杂的分析。例如,让中等年级的学生提交两个出租汽车公司的数据,并问哪个公司更加可以信赖(NRC1998),一个基于顾客的平均等待时间而很快得到的答案则是错误的。进一步的数学分析表明,平均等待时间较短的公司也有较大的方差。在此问题中,一种深入的研究倾向能导致对此问题的比较完整的理解,并得到正确的答案。

  有数学倾向的人倾向于作结构探索以找到是什么使各种事物都打上数学的记号。他们作抽象和一般化。这些人会对一个问题寻找多种方法来处理,因而建立新的联系,找新的合成物,并揭示数学的不同的方面。例如,35年级的学生以几何方式来探索平方数,寻找不同的模式。有一个学生看到要得到下一个平方数就是加一个L形的图形,从而得到了一个用前一个数来表示的第n个正方形的面积的公式。另一个学生发现第n个正方形的面积是前n个奇数的和。这些学生就明白了实际上有多种方法来考虑一个问题,发现一种方法未必意味着你已经可以对这个问题束之高阁了。

  问题解决者倾向于去探索现实、进行猜想。例如,以下的对话将会出现于一组幼儿园的儿童组,这些孩子们坐成一圈,轮流报数直到100

  昨天,我报了数'1'。后来,我又报了数'100'。如果又从我开始,我想我会再一次说同样的数。

  不,你不会的。昨天塞拉不在,今天却不同。

  昨天塞拉不在,今天约翰不在。所以将是一样的。

  孩子可以在一起探索现实,对将发生什么作出猜想。

  作为好的问题解决者的学生倾向于去检验他们的猜想,试图通过推理来对他们的猜想进行证实,或者在若干相反的现象的基础上放弃他们的猜想。例如,一群高中学生会试图为一种标准灯罩做一个模型,这种灯罩在罩子顶部有一个比底部较小的圆周。他们也许会从剪出一个矩形开始。他们也许很快认识到这不行。然而,他们将就各种模型作进一步的努力,直到解决问题。

  好的问题解决者倾向于对新问题建立公式,例如一个高中的班级能考虑这样的问题,抛物线ax2+bx+c,当两个系数固定而另一个系数变化时将会发生什么?(例如,如果ab固定,c变化,顶点沿着一条铅垂直线运动)。一个倾向于为新问题建立公式的学生可能会问:"对于三次曲线,如果你做同样的事情将会怎样呢?(注意相对极小值发生了什么情况?)

  在为学生创造一个能鼓励他们去探索冒险、分享失败和成功、互相质疑的环境以发展问题解决的倾向的过程中,教师扮演了一个重要角色。如同上面的一些例子所示,在这种类型的教室环境中,问题解决倾向的发展是学数学、做数学的自然环节的组成部分。

  应用众多的策略去解决问题,并使各种策略适应新的情况;

  问题解决策略是学生的数学装备的组成部分。当一个问题还没有合适的解法,学生们将由于有一套适用的策略来帮助他们取得进步。问题解决策略应该如同对数学装备的任何部分一样看待。应该提供学生们在策略方面的足够的教学及实践,以使学生们能应使用这些策略,策略的应用必须被嵌入课程以使学生在有各种策略可用时能作出决定什么时候以及怎样去使用它们,从而发展认识能力。

  从波里亚的工作([1945]1973)开始,对问题解决策略已经有了许多的描述。一些比较频繁地被引用的策略包括使用图表和其他的表示方法,寻找模式,罗列所有可能性,特殊值和例的试验,退一步做,猜测和检查,构造等价问题,构造较简单问题。一个显然的问题是这些策略该以怎样的明白程度进行教学。如同学生的数学装备的任何其他部分一样,如果希望学生们学会它们,就必须给策略以教学上的注意(Schoenfeld1992)。此外,如果在课堂活动中这些策略出现或被展示,学生们必须意识到这些策略,而教师应该鼓励学生予以注意。例如,当一个学生叙述一个解答以及它是如何得到的,老师也许应该说:"听起来好象是你为发现做了一个有条理的清单。有谁用了一种不同方式解决问题吗?",以此来肯定这个学生的策略。这样的语言有助于发展共同的语言和表达,并帮助其他学生理解第一个学生正在做些什么。

  某些策略,如系统地寻找模式,与内容课程目标非常接近。寻找模式是幼儿园前~235年级的"模式,函数和代数"的主要内容。其他的策略,如猜测和检查,与特定的内容并无特殊的共同之处。不同的策略是在不同的年龄成为可接受的。这一点与为了回答以下的问题的各种努力一样在一些与年级有关的讨论中将会变得越来越清楚:"_____年级,问题解决是怎样的?"有一些非常专门,并具有数学威力的策略,如反证法,它们可以在学生已经在数学复杂性上达到相对高级的程度时使用。儿童推理的模式形成这种数学策略的先兆。没有一种策略可以一劳永逸地学会,也许一个算法可以这样学会。相反,策略需要长期的学习。在应用于日益复杂的问题情景中,策略也变得日益复杂。

  对在解决问题中的数学思维进行监控和反思。

  有一个研究(Lester1985Schoenfeld1987)指出,学生在问题解决中的失败常常不是由于数学知识的缺乏,而是由于对于他们所实实在在知道的知识的非有效的应用。有效的问题解决者常常监控和调整他们正在做的事。他们要确信他们理解了问题。如果问题是书面的,他们就仔细阅读它。如果问题是以口述方式告诉他们的,他们提出各种问题直到理解问题。有效的问题解决者常常做计划。他们定期对他们所正在做的事作检查,以了解他们是否在正确的轨道上前进。如果他们感到不在前进,就停下来,考虑换一种方式,并毫不犹豫地彻底改变他们所正在做的事。

  为了让学生成为好的问题解决者,自我意识和自我评价是绝对重要的。这样的深入思考的技巧(称为"元认知")在支持他们发展的教室环境中会更好地得到发展。教师问以下的一些问题在帮助形成这些深入思考的习惯方面扮演重要的角色:"在我们开始之前,我们确认了我们已经理解这一点了吗?""我们有哪些可以选择?""我们有计划吗?""我们在前进吗?或者,我们该重新考虑我们正在做的事吗?""为什么我们认为这是真实的呢?"类似这样的问题能帮助学生形成在做一件事的过程中检查他们对问题的理解的习惯。

  通过问题解决来学习是《课程与评价标准(NCTM1989)》的一个强劲信号。那些让学生从中学习问题解决的教室是那些给学生以机会去发展问题解决的各方面的教室--倾向、策略、监控和调整--在实实在在的数学背景中。在这样的教室里的教师营造一种有目的探索的气氛。通过质疑和对话,这些教师帮助他们的学生熟悉问题解决的过程。在这些教室中的问题解决本身既是一种重要的课程目标,又是一种重要的课程工具。

  标准7:推理和证明

  数学教学纲要应当集中精力学会将推理和证明作为理解数学的一部分,以便所有学生-

  承认推理和证明是数学的本质和有力的部分;

  提出和考察数学猜想;

  发展和评价数学争论与证明;

  选择和使用各种适当的推理形式和证明方法

  说明:幼儿园前-12年级

  数学推理和证明为发展和整理人们对广阔现象的认识提供强有力的方法。进行推理和分析性的思考的人们揭示了物体和系统的性质和结构。他们注重真实世界和符号世界的形式和规则;他们在追问哪些形式是偶然的,哪些事情是必然的;并且进行猜想和证明,最后,数学证明说明了推理和判断形式的正规整理。

  上面描述的这种类型的系统推理是数学定义的一种特征,这在体现在所有的内容中。在各个年级,对严密性有不同的要求。例如,在数字和运算领域,1年级能够注意到数数时奇偶数交替出现;3年级能够猜想和判断两个偶数的和是偶数;6年级学生能够确定塞子落下时出现奇数还是偶数的可能性以及这些数字相乘的积的可能种数;10年级的学生希望利用各种方法证明一个奇数的平方总是1加上一个8的倍数。对于几何,低年级学生能够使用动手操作的方法确定新图形的面积。中等年级的学生能够拆开三角形的角来说明三角形内角和是平角。高中学生能够严密地证明这些性质。有规则的推理是数学的核心。

  所有年级水平的学生能够投入(以适合年龄水平的方式)到这种系统的思考,猜想和整理证据(理由)中,这些证据和理由是正式数学推理的前身。当小学教师意识到他们班上的学生能够非常熟练地进行推理时,他们可以对所教的内容做戏剧性的处理(Thompson1998)。学生到了初中应该能够提出解决一个问题的方案或系统地处理一些数学的问题,并且能够讲出为什么他们的想法是正确的。也就是MasonBuetonStacey(1982),描述为"说服自己,说服朋友,说服敌人。"

  承认推理和证明是数学的本质和有力的部分;

  数学有吸引力的部分原因是能够进行美妙的推理。学数学的学生应该明白这个。他们应该期望事情和谐且也应该期望明白事情之所以发生的原因。例如,思考下面的这个"魔块"问题,这可以在一本数学趣味书中找到:

  写下你的年龄,
加上5
2乘以所得的数字,
再在这个数上加上10
5去乘这个数,
告诉我所得结果,
我能说出你的年龄。

  解决方案是"从最后得数中消去最后一个零,再减去10,得数就是这个人的年龄"。这个奇妙的"回答"回避了"问题是怎样解决的?"这个问题,这是个数学问题。所有年级的学生能够揭示和解释像下面这样的问题。例如,年级较小的学生能够对这个问题作出反映,"我正在思考一个数,他的2倍是22,问这个数是多少?"中等年级的学生能用推理和非正规的代数技巧说明上面这个"魔块"问题是有理的。

  在2年级以前学生能够发现合理的推理的萌芽并理解他们所说的推理的重要性以及为什么你认为是正确的?""有人提出不同的回答吗?和为什么你这样认为",这样的问题能够建立这样的期望:得到肯定的理由或反驳的证据。ResnickManson(1984)的调查着重进行了加法推理的发展的特点的研究。当要求年龄较小的孩子回答"3+5"是多少时,比较典型地,他们通常放置两堆物体,一堆3个,一堆5(也许是他们的手指头),各自地,全部数出来"12345678"。然而较大些的孩子认为数第一堆是没有必要的,他们将自觉地从4数起(一般没有教过)。这种做法是基于承认3+5=5+3,并且从较大的数字数起更有效。看到这种发展的老师能够提出这个论题:学生在做什么?为什么这样做是合理的?接下来的班级讨论能够巩固学生的理解;这也能够说明学生这样做的理由。

  在所有各种水平中,类似的经验也很重要。在水平7,学生能够探索三角形的性质。他们注意各种联系。例如,在任意等腰三角形中两个底角相等。并且他们能够相信他们讨论的其他结论。或,他们可以使用三角形的性质发现和证明关于四边形的猜想,例如"任意四边形的内角和是多少?""它总是相等吗?"912水平学生能够看到用算式和符号证明公式(a+b+c)2和用图表证明公式(a+b+c)2,如图36所示(摘自GelfandShan1983P38),其目的是使学生提出问题和寻求猜想的习惯

  

  图36

  提出和考察数学猜想;

  一些数学猜想由于他们简明的形式和将来对数学家提出的挑战而变得著名。一个众所周知的问题是歌德巴赫猜想。

  歌德巴赫猜想定义任何大于4的整数都可以写成两个素数之和(这两个数没有必要不同)。例如,6=3+38=3+510=3+7=5+5。对于这个猜想,已经试验并发现对于1012这样大的数,其结论是正确的,但对于一般的数,它是否成立还没有被证明?

  这样的猜想是如此有趣以致常常以提出这些猜想的人的名字来命名,并载入数学史册。数学家们已经花了无数时间证明或反驳它们。常常没有比这些更好奇的东西来激发他们去探索,就是这点使得探索数学问题产生新的发现,这就是猜想,发现的主要途径就是形成猜想,教师和数学研究者都认为学生从小学开始就应该学会去作出,改进和尝试猜想。例如,小学三年级的一节课包括学生们讨论他们自己找到的有关偶数和奇数相加的模型。学生们猜想两个偶数之和仍为偶数,两个奇数之和也为偶数。他们发现了奇数和偶数的表示法,如下面奇数9的表示法:

  

  像这样的记号表示法清楚地表明,数9的单位与一个附加单位的结合,产生一个偶数。类似地,Lampert(1990)分析5年级的一节课,在那里学生的任务是不做乘法而指出546474的最后的一个数字是什么。在思考相同的例子后Yackel(1998)指出:这种分析表明,在这节课中,学生能够灵活地运用归纳和演绎的方法,在这节课的结尾,每一个学生既能作出一个模型,又能对这一模型进一步作出证明,或对另一个学生作出的模型进行解释,这足以证明小学生能够并愿意理解数学推理(8)

  在各种水平,数学的所有分支都能够提供进行推理和猜想的机会。常常,一个简单的变化而确定的任务就能提供这种机会。例如,说"当一个数集中的所有的数值都同时变成双数时,看这个新数集的平均数。教师可以换成如下的问题"如果一个样本的所有值都乘以2,变什么,为什么变,样本的平均值有变化吗?为什么?

  适当地使用技术设备也能开展有力的结构性探索。计算机和计算器现在能很容易地进行一些探索,而这曾经在时间上和效果上是很费劲的。活动的几何课程,例如,允许学生探索变换或检验大量的数据(以前只能允许几个数)。画曲线的程序允许学生探索参数值的变化。在现存的不同的以计算机为基础的微积分课程里。学生们能对更广泛的现象进行探索。例如极限和收敛(在结论被正式给出前)

  发展和评价数学争论与证明;

  在47章,对于每一个年级中有关推理和证明的内容都提供了适合该年级水平的例子,在2年级以前,孩子们能用具体的模型证明他们的推论。例如,一个孩子能通过数块的方式告诉老师结果,而在这以前,他并不知道两个数是怎样相加的。在35年级,学生们能通过观察作出数学预测并开始对他们的预测提出数学猜想,例如,一个4年级学生能够说明一个特殊的三角形和一个矩形有相同的面积。因为该三角形是由矩形分成两个相等的三角形拼成的,在68年级,学生们应该能够理解并解释更复杂的模型。堆积数的情况在第6章将描述,在912年级学生们被期望构造相对复杂的推理。

  Hanna(1998)讨论有关证明的研究,并形成"Moore"指出,高中以前的学生作出正式证明有困难,因为开始有书写证明过程的较高水平的数学课程仅出现在高中几何中并且没有一般的证明思路和证明方法"(Moore1994),在很多领域问"为什么"是提供推理和证明的机会并且是在整个课程中应该不断重现的主题。

  学会数学推理的重要内容是学会评价数学论据,学生们学会提出假设并能够确定推理过程是否正确是很重要的。有时学生作出不合适的归纳,例如"乘法产生更大的数",有时推理错误可能是微妙的。如句子"能同时被6整除和被4整除的数一定能被24整除",或学生不能辨析他们讨论的问题。对学生在推理和证明的过程中所出现大多数错误进行归纳或告诫学生注意这些错误并没有效果。虽然有些错误,例如展开(a+b2得到a2+b2,发生的频率之高是告诫学生使之不重犯。在任何情况下,学生之间进行的似合理但有缺陷的论据往往创造出讨论的机会。

  在教室里应鼓励学生提出他们的想法,鼓励每一个学生提出他们对其他学生的想法的评价,并且提供丰富的机会以便学生发展和评价数学争论,选择和使用合理的推理形式和证明方法。

  选择和使用各种适当的推理形式和证明方法

  有许多种逻辑推理方法,在数学的各个分支中,提供了许多传统的证明方法,在那里,例如,叙述论据或在几何中两列证明法或在逻辑中的真值表。在不同的论据中,分类是主要的方法(例如,这是一个X,因为他有所有X集的特征)。有许多不同的代数和几何的推理形式,比例推理,概率推理,几何推理等。有许多种论证的形式,包括对所有情况的分析法证明,举出反例的反驳法,应用一般结论到特殊情况的证明方法等。在整个过程中,随着学生水平的提高,学生们必须碰到并熟悉这些方法。

  数学推理的一个主要目标是使学生的推理能力得到发展,并且在他们的数学学习过程中,在合适的地方,获得构造证明方法的工具,应鼓励学生们仔细地思考,理解并能够解释,随着学生对论证的方法越来越熟悉,用数学语言来表达的能力也越来越得到提高。

  对于学校里各个年龄层次的学生,都应该给予他们提高和辩护他们自己的一系列推理的机会。在低年级,他们的争论可以是非正规的和简短的推理。以后,推理和证明将慢慢变得正规和复杂。

  标准8:交流

  数学教学纲要应该利用交流这一手段来加强对数学的理解,以便所有的学生能够

  组织和强化他们的数学思维以便与他人交流

  连贯而清楚地向同伴、老师及其他人表达数学想法

  通过思考他人的想法和策略扩展他们自己的数学知识

  将数学语言作为一种数学表达的精确方式来加以使用

  说明:幼儿园前-12年级

  交流是数学教育的基本部分。它是一种方式,通过这种方式,人们可以分享想法,同时它也是理清头脑的工具。当要求学生思考和推理数学问题并交流他们的思考结果时,无论是口头的还是书面的,他们就面临着向听众清楚而有信心地表达他们的想法。通过实践,学生能够发展这种能力。同时,听取别人的解释也可以使学生获得发展智力的机会。可以使数学的观念从复杂的现象中暴露出来的交谈,给参与者提供一个促使想法成熟和取得相互联系的机会。这样的活动也能够帮助学生发展表达数学观念的语言,增加对那种语言的准确性的需要。

  因此,如果数学教育中充满了丰富的交流,就可以获得下面双重的效益:学生为了学会数学进行交流和学生学会数学地交流。那些积极参加讨论的学生,在讨论中努力证明他们的解决方案是合理的----尤其是面对不同意见的时候----将对数学获得更好的理解(CobbandLampert1998),如果在数学课堂上给学生创造机会,鼓励和支持学生听、说、读、写数学,他们将学会数学地交流。

  组织和强化他们的数学思维以便与他人交流

  通过交流,想法就变成了思考、精确化、讨论和补充的目标。在这个过程中,重要的第一步是组织和理顺一个人自己的思维。想法是转瞬即逝的。当数学的想法和争论能通过演讲或书面清晰而有效地表达出来的时候,它们就更容易被验证和理解。这个过程也有助于建立这些想法的含义和它们的持久性。如果学生能把他们在课堂上听到和看到的数学提取出来作为自己的知识,他们将能够记住这些知识。如果学生能将这些数学想法讲出来或写在纸上,他们的思考也就提高了。想法一旦交流出去,就可以被考察、修补和争论。

  在数学学习中,思考和交流是绞在一起的。以思考为目的的交流能够成为数学学习的一个很自然的部分,但这需要教师高度的重视和周密的计划。例如,低年级的学生,能够学会解释他们的答案和描述他们的解题策略。教师需要将一些注意力集中在帮助学生学会怎样谈论数学上。这样,为了提高对这段话的思考,教师可以鼓励学生"谈论关于谈论数学"(CobbWoodandYackel1994)。由老师或同学精心提出的思考性的问题,可以激发学生检查他们的推理。

  书面表达也是促进思考的有效催化剂。一些教师发现人的一个有价值的活动,是在一节课的最后几分钟让学生写出他们在这节课学习到了什么和他们对这节课的内容有什麽问题,这种活动对学生是有价值的。因为他们思考了一天的工作,而且阐述了他们对这节课所学内容的自己的想法,这种活动对教师也是有用的,因为它可以作为一种评估。还有一个好处是,这种活动也能提醒学生,他们和教师一样对这节课所学内容是负有责任的。(SilverKilpatrickandSchlesinger1990)。教师还可以使用其他一些设计更加精心的写作方式来培养学生的写作思考能力,包括写日记,航海日志和记录文件目录等。每一种这样的活动都能提供学生一个组织和阐明他们想法的机会。

  连贯而清楚地向同伴、老师及其他人表达数学想法

  数学想法只有在一个团体内被接受时,才获得承认。在这个专业的数学团体中,要定期讨论关于证明一个数学结论的可接受性。要想证明一个结论是正确的,它首先必须在这个团体内得到承认。虽然学生并没有试图发表自己对早期数学研究的看法,但他们可以从经历类似的活动中获益。学生需要获得在班级这个数学团体中检验他们的想法的机会,去看一看它们是否能被理解,是否有足够的说服力。并且,学生需要知道在这个数学团体中什么可以算做是证据。

  同其他人的相互影响是使数学想法得到详细的审查、提炼和完善的最基本的方法。那些用批评的态度听取报告并且常常能给出解释和修正意见的人往往深深地致力于数学。这时就不仅仅是对这个数学想法的提炼,而且也有一种自己所有的感觉。当一名同学努力使持有怀疑态度的同伴相信一个数学断言的有效性时,在班级这个团体中出现的结果是生动的,也是很有说服力的,而那些理由却很少与书中的解释相联系。当学生们两个一起或分小组学习时,他们用来考察他们的尝试性的想法和听取小部分同学的反映及想法的机会就相对少一些。适当的相互影响的结构有助于学生学会听取和仔细表达他们的数学想法。这些经历常常是出现在较大场合前的有益准备。比如,向整个班级解释一个问题的解决方案。再有,当这些想法被大家搞懂的时候,所有学生都能因为参与讨论而获益,并且老师也可以监视学生的学习情况(lampert1990)

  在班级讨论中,模糊不清的想法可以逐渐清楚,还可以分析得更加深刻;人人都可以提问并从讨论中学到知识。当学生拿出他们解决复杂问题的方案或向同学或老师证明他们的理由是正确的时候,他们对自己的思考将有进一步的见识。通过这样的一个过程,学生们自己的思考变得清楚了,这也使他们分析和提高自己的看法成为可能。错误的概念能够被找出和纠正,新的学习也有了头绪。

  教师在组织学生讨论时是需要技巧的。首先,老师必须营造一个使学生感觉表达他们自己的想法是自由的这样一个气氛。因为,对于一些学生来说,参加班级讨论是一种挑战。例如,中年级的学生在小组讨论中不愿发言是出了名的。尽管如此,教师在中年级的数学课上仍然能够成功地营造交流丰富的环境。鼓励支持学生是至关重要的,尤其对那些母语不是英语的学生。为了使这些学生从交流丰富的数学课上学到东西,需要给他们更多的鼓励。如果课堂活动结构是适当的,他们完全可以充分地参加(borasietal1998Fusonetal1997SiversmithandNelson1995)

  再有,教师对数学交流必须拟订一个恰当的期望。在低年级,一个主要的目的是使学生能够清楚而连贯地表达他们自己,以便其他同学能够明白。到高中毕业时,学生应该能够内化交谈和争论的问题,以使他们习惯于进行清晰和完整的讨论。精心设计的问题和范例可以为学生制定适合年龄的期望。

  书面交流需要以类似的风格加以培养。在所有年级,学生可以在检验和讨论有疑问的和值得模仿的数学书稿中获益。通过学习有模仿价值的书稿,可以提高学生对清楚表达数学的特征的理解。通过考察和修改需要提高的书稿,学生可以将适当的标准和风格溶入自己的书稿。由于对学生数学知识的书面评估正在日益规范化,所以学生也需要练习适合这种规范化的要求。

  年纪较小的孩子在入学时往往具有较少的写作技巧。在最初几年,他们可以画画儿、写单词、最后可以造句子。开始的时候,把孩子们的各种各样的理由做出精确联系的不是孩子自己,而可能是老师或家长。在3--5年级,学生学习一系列概念或附加的细节。随着时间的推移,他们的书面表达就会更加精确。达到这种水平,学生就会更明白怎样使自己的书面表达适合读者要求,也更加切合自己的意图。为了某些目的,采用非正式的日常语言或以速写的方式来表达,可能是合适的,对于其他的目的,更需要学生通过正式的数学语言来表达,包括使用恰当的数学概念、精确的术语以及仔细给出的示意图。

  随着年级的升高,学生的书面表达能力也在不断发展。在6--8年级,由于学生提高了推理、分析、和概括能力,因此在他们的书面表达中就运用了更多的数学概念和形式。这种发展在9--12年级得到继续。学会数学地书写的学习过程类似于学习其他类型的书写。拥有读者的实践是重要的。所以要注意数学争论的专业性,包括数学语言的含义,数学解释和证明的表示和标准。

  通过思考他人的想法和策略扩展他们自己的数学知识

  在和其他同学讨论问题的过程中,学生可以得到几方面的收益。通常,对某个问题只有一种看法的学生可以从另外一个同学的观点中学到东西,这个观点可能揭示了问题的一个不同侧面。一个学生可能用代数的方法思考的一个问题,而另一位同学可能是利用几何的方法,或两位同学用不同的方法来数同一堆物体。例如,试图用代数的方法解决下面这个问题的同学在列方程时常常遇到困难,但他们可以从利用直观表示的方法解决这个问题的同学那里获益。

  一个农民有一些兔子和一些笼子。如果在每个笼子中放入2只兔子,那么在所有的笼子都放满以后要剩下4只兔子。如果在每个笼子中放入4只兔子,,那么在所有的兔子都放入笼子后,将有2个笼子空着。问这个农民有多少只兔子?多少个笼子?(Krutreteskii1979)

  在讨论这个问题的各种各样的解决方案中,学生有机会看到别人的观点和方法,评价这个观点和方法的正确性和实用性,并在解决以后的问题中加以使用。

  对别人的观点进行思考,评价以及建构,这个过程是相当复杂的,为了想出多种方法解决问题,学生需要学会听取同伴的意见,虽然这些同伴可能仍然处在提高自己熟悉数学概念和术语的过程中。学生也必须学会提问和探究另外一个人的想法,以便完善想法。另外,需要承认并非所有的方法都具有同样的价值,学生必须学会考察他人的方法和观点,以便确定它们的功能和局限性。通过仔细地听取和思考他人的观点,学生就学会成为对数学有着批判眼光的思考者。成为一个好的数学交流者的一部分是真正领会这些行为的意图,学会批判地回顾自己的观点。如果学生在课堂上可以经常获得从事这种行为的机会,这更有可能成为其终身的习惯。

  在这段描述中隐含着这样一种信念:学生必须严肃认真地学习,对他们自己的智力发展要承担一定的责任,同时也暗示着这样一个事实:学生需要学习值得讨论的数学问题。学生期望的能用发展较好的演绎方法进行推理的问题,对于这种讨论并不是一个好选题。然而,非常规问题常常有助于丰富交谈。技术是另外一种好的催化剂。当学生在利用计算机或计算器计算或检查数字或物体时他们有一个共同的(常常较易修订的)参考来讨论他们的数学想法。

  将数学语言作为一种数学表达的精确方式来加以使用

  学生往往习惯于使用日常的和熟悉的语言来叙述他们对数学的理解。这就为建立与正式数学语言的联系提供了基础。正如在<<课程与评价标准>>中叙述的那样"数学语言依赖语言的现成结构和逻辑,并且把学生的经验和语言与数学世界联系起来"。然而,有时日常语言和数学语言是不相匹配的。将日常语言运用到数学领域常常是不精确的和错误的。例如,"面积""因子""相似"在数学中有着特殊的含义,这不同于它们在一般语言中的用法。学生需要帮助建立它们在数学课堂和课外的语言用法的桥梁。

  给学生提供经验是重要的。这些经验有助于学生欣赏数学语言的力量和精确性。例如,68年级的学生描述各种各样多边形的形状有一定的困难,但他们能够欣赏向""""这些词语的价值。这些词语是从一般语言的各种措辞中选择出来的,包括"插入""M""正交"这些词语在这样的讨论中很自然地出现。在初中和高中应该要求学生使用精确的数学定义,然而,避免盲目地使用正规的数学语言是重要的,尤其在低年级,甚至高年级也是如此。允许学生致力于他们自己的想法,发展他们自己的非正规的表达方式,是培养他们坚持不懈和主人公精神的有效方法。事实上,由学生的不精确引起的的混淆能够帮助他们增加对使用精确定义和传统的数学形式的需要。老师对这一时刻应该是敏感的:此时学生使用自己的语言的价值高于数学精确化的价值。

  技术为语言的发展和分析提供其他的机遇和挑战。广泛使用的符号可能与那些被数学家普遍接受的符号有关(但没必要一定是一样的)。学生将通过比较标准的数学表达和那些像在电子表格和计算器中普遍使用的表达中学到东西

  标准9 联系

  数学教学纲要应强调联系以培养对数学的理解从而所有学生

  在不同数学概念识别和运用联系;

  理解数学概念是如何层层递进地建立以形成一个整体的;

  识别,使用和学习数学以外的情景中的数学。

  说明:幼儿园前-12年级

  当学生从幼儿园前到中学有机会在数学相互联系的背景和他们的兴趣及经验中看到和体验到数学知识间的丰富联系时,数学间的联系就显而易见了。通过在教学中强调联系,学生不仅学习数学,也学习数学的实用性和数学概念的相互关系。

  数学不是一个关于分支或标准的表虽然它常常是以这种方式展现的。相反,数学是一个紧密联系的学习领域。把数学看成一个整体强调了学习的必要性和对这个学科内部的联系的思考。以此观点,就需要一个联系年级间以及每个年级内部的概念的幼儿园-12年级课程。这意味着教师必须了解学生的需要,以及学生本年级前学了什么和以后要学什么。教师应在学生以前经验的基础上教学但不能重复学生已学过的。当学生每年进一步理解和形成新的数学知识时教师应帮助他们联系以前的数学知识。这也要求学生掌握已学过的知识并运用它理解和弄懂新概念。

  把数学看成一个联系的整体意味着一个单元的概念在以后的单元中运用以及每天或每课的概念以后要用到。联系紧密的单元包括一系列如此联系的作业,以促进不断复杂的数学知识的形成。在此种情景类型中学生逐步把数学看成一个紧密联系的的学科并理解定义这个学科的紧密联系的概念。

  在不同数学概念识别和运用联系;

  强调数学联系有助于学生形成对数学的理解以及获得作为数学思维一部分的认识,为使学生形成这些认识,教师需要寻找机会帮助学生看到,使用和交流联系。这可以通过教师提出指导性问题而得以完成。在全班讨论,小组对话,个别学生作业时教师都可以提出这些问题。例如,教师可以问,"我们今天学的相似三角形的知识和我们上星期讨论的放大缩小有什么联系?"在很多情况下,如果学生未能意识到数学联系,他们将失去进一步发展和理解数学的机会。

  在强调数学是一个联系的概念的整体中,数学概念是相关的学生的经验。从这个角度看,新概念被看成以前学习的数学的补充。因此,学生应能用他们已知的来认识新情景。小学生应能联系整数减法与小数或分数减法;中间年级的学生应能识别和联系同一数学概念的多种表示,诸如表示两个变量变化率的比与直线的斜率。中学学生应能联系和扩展这些表示到线性方程组的解。从幼儿园前-12年级,学生应问他们:"这个问题或数学知识与我以前学的有什么联系?"

  理解数学概念是如何层层递进地建立以形成一个整体的;

  进行联系是了解数学和数学地思考的一部分。通过研究黄金比有关的不同关系可以考虑中学学生经历的数学思维。首先,他们能够作出黄金长方形并能证明作出的长方形是黄金长方形(长与宽的比是黄金比的长方形,作法略,译者注)

  下一步,学生能发现长与宽的比大约是1618。考察菲比纳契数列,他们发现以1开始的菲比纳契数列相邻项的比逼近黄金比(161803…)。最后,从另一种体验,学生发现方程组xy=1xy=1的解也近似得到黄金比。当学生问询与这个比有关的这些数学关系时,他们开始考虑数学的联系。

  当学生开始把数学看成一个紧密联系的整体时,他们应被鼓励寻找联系以帮助他们理解和解决问题。学生应问自己,"我可以换一种方式看这个问题吗?""这个情景与我以前遇到的类似吗?"如果遇到的是用代数表示的,他们应考虑用几何表示它,如果这可以加深理解或有助于他们找到解决策略。例如,学生应把二元一次方程组与坐标平面的直线联系起来。这有助于解释为什么二元一次方程组有一个解,无解或无数多个解。当导出表面积和体积公式,学生应能描述表面积与体积的区别并能用适当的方法(公式)计算。如果概念理解与方法联系,学生就不会把数学看成规则的任意集合(NCTM1989p32)。方法和概念上的这种紧密联系应成为学校数学的基础。

  识别,使用和学习数学以外的情景中的数学。

  教师必须帮助学生在其他学习领域建立数学联系。所有课程内容都有数学成份,教师应强调蕴涵在这些不同学科的学习中的数学。但是,当这样做时,教师需要明确这些活动的数学特点。在试图建立联系时教师也应确信数学内容不被过分简化。课程联系的目的是加深学生的理解并加强学生对数学的参与。

  学生在具体背景里体验数学的机会是重要的。具体背景可以从数学内部产生也可以从其他学科产生。在所有学科中,科学与数学有最为紧密的联系,数学与科学的联系不仅通过内容,也通过过程。科学的过程与内容可以激发起一个应用于数学学习的解决问题的处理方法。在国家科学教育标准(NRC1996PP131133)里,描述了小学生的一个科学活动。在这个活动中,学生设计测天气的仪器,制作测量工具,组织和交流他们的数据,与数学的联系是充分的。

  在实际情形里用数学可以形成更为深刻的理解。在另外一个例子里,可以通过收集各种圆形物体并测量他们的周长与直径,来研究圆的直径与周长的关系。6年级的学生可以做一个实验来看周长(C)与直径(d)这两个变量之间是否有联系。通过收集数据和根据这些数据作图,学生可以看到描出的点都靠近通过(00)的一条直线。这就提示比C/d是一个常数。学生通常得到在3132之间的C/d的平均值。学生应明白这没有证明C/d是一个常数或表明它的值是314。但它引出C/d是一个常数的推断。

  最后,考虑有助于学生澄清与他们的个人生活有关的数据分析与统计的使用。参与日历活动的学前到2年级的学生可以通过记录雨天,阴天或晴天收集数据。他们可以记录,数天书,对气候判断并预测未来天气。35年级的学生可以利用因特网与其他班级合作搜集数据当他们准备计算地球周长时。。68年级的学生常常对他的同学的态度,兴趣和社会关系感兴趣。使用调查数据,学生可以联系数据分析与统计学到更多的社会研究。"选代表"的例子表明了与数学的联系。在这个例子里,学生决定参加美国环境会议的代表人数。选代表的准则----所代表的地区,性别和民族,有助于作出公平的决策。用到的比,比例和百分数扩展了学生对数学的理解。学生得出地区人口与美国全部人口的比,就找到了每个地区代表与所有代表数相应的比。关于美国人口的数据表有助于回答这一情形的具体问题,诸如"有多少人住在新英格兰地区?"数学有助于回答重要的社会问题,包括每个地区应选出多少代表。"

  912年级的学生可以用数据分析帮助他们成为懂信息和负责任的公民。他们可以搜集和分析与当前事件,政府拨款和选举有关的数据。这些活动帮助学生理解统计和数据分析在国家和省决策以及社会服务中所起的作用。

  标准10:表示

  数学教学纲要应该重视数学表示以促进对数学的理解使全体学生?

  创造和应用表示来组织、记录和交流数学思想;

  发展数学表示所需的能有意义地、灵活地、适当地使用的全部技能;

  运用表示对物理、社会、和数学的现象进行建模与解释。

  说明:幼儿园前-12年级

  用以表示数学思想的方法,在使人们能够理解和运用这些思想上,起十分重要的作用。为了简单说明这一点,考虑下面的算术问题:

  用罗马数字MCMLXXXVIIMDCCXLIII表示的两个数的乘积是什么?当第一个数被第二个数除时,商是什么?

  用所给的表示,乘法是非常困难的,而除法好象是不可能的。然而,当表示转换成标准的十进制时,分别求数19871743的乘积与商,是简单的过程。

  这个例子说明,数学符号体系和表示是人类最有意义的一项成就。数学表示已经逾数百年的推敲与完善。当学生获得(接近)数学表现和所表示的思想时,他们就掌握了可以有效发展他们进行数学思考的能力的一套工具。

  表示是一个具有多重意义的概念,有精妙、复合的语词与它相联系。词语"表示"涉及过程和结果两方面?换句话说,涉及获取某种形式的一个数学概念或关系的行动和形式本身两方面。而且,这个词语应用在表面的、明显的过程、结果中和"内在地"发生于作数学的人们头脑的那些事情中。考虑学校数学,表示的所有这些意义都是重要的。

  表示的一些形式?像表格、图形和符号表达式?占学校数学的很大部分。不幸地,这些及其他表示好象经常作为目的自身被讲授和学习。这种方法限制了作为学习和用数学的工具的表示的力量和作用。表示应该被看作帮助学生理解数学概念和关系,交流数学方法、论点和由此及彼的理解,认识相关的数学概念之间的联系,通过建模把数学应用到现实问题情景的关键因素。除了这些长期存在的、针对包括作为学校数学的重要过程的表示在内的因素之外,与电子技术相联系的表示的新形式导致了教育上更为广泛关注的需要。

  创造和应用表示来组织、记录和交流数学思想;

  如罗马数字与阿拉伯十进制表示的例子所表明的,所用的表示的形式应使一个人的能力适合理解和做数学。发展十进制表示经过了数百年这个事实还表明了另一点,那就是,许多现在我们认为是当然的表示?例如十进制或二进制形式的数字表达式、分数、方程、图象、和表格?是历经多年的文化精练的结果。这些工具对于解决问题是卓有成效的。同样明显地,为了交流的目的,公用数学语言是十分重要的。书面表示是阅读和理解他人编写的数学教材的关键。在与他人分享自己对数学的理解与看法时,它们也可能是非常有用的。基于这些原因,学生学习用以促进他们的数学学习和他们与他人进行数学思想交流的表示的常规形式是重要的。

  数学表示并不是孤立存在的。它们通常发展和应用于不同情景的课堂而且与数学概念的特殊群体相联系。理解表示的要素须包括了解与相关数学的联系,知道它的应用环境,并知道表示在具有特殊目的的事项中是怎样使用的。给一个特殊的问题,要能选取一个有助于澄清和解决问题的表示。涉及同一种现象的不同的问题,用不同的表示会更容易处理。有时,学校里对常规表示形式的处理导致学生从使用的环境和学生的其他知识和经验两方面考虑,而认为它们是随意的、无章可循的。关于数学的常规表示应该被看作组织和交流数学思想的有力工具。不但考虑常规表示怎样才能更好地教给学生,还要考虑其他的、不大常规的表示在数学教室中的作用,这是有意义的。

  表示是如此有效的工具这个事实,使得发展它们怎样困难,并且理解它们需要付出多少艰辛,都不在话下了。在低年级的教师知道对年幼儿童十进制有多困难,并且,课程为在学生中对数数和十进制表示的理解开展充分讨论留有机会。但是,当学生进行这课程时,焦点集中在展示数学自身,也许,在假设学生已经成熟到可以考虑形式上的词语,像他们的年幼的伙伴一样,不需要在他们的朴素的概念与数学的形式主义之间进行探讨。无论如何,探究表明,在所有水平上的学生,都需要发展他们对由常规表示得出的复杂观念的理解(GreenoHall1987)。一个像变量"x"一样显明的表示,要学生了解,可能是困难的。

  由学生在解决问题和探究数学思想时构造的特殊表示,可能在数学学习和工作中,对促进学生理解的发展起重要作用。尽管个别人构造的表示经常缺少常规表示的精确性和普遍性,它们的存在对学生是有意义的。特别地,他们有助于对问题的理解和解决,他们提供了记录求解方法和向他人描述这个方法的途径,并且,他们提供了一个能使学生发展他们对其他表示(包括常规表示)的本质和作用进行鉴别的经验基础。由学生构造的表示也给教师机会看透学生解释、思考数学的方式。使用这个信息,在适当时,教师可以建立起由学生个人的表示到常规表示的桥。总之,学生有机会不但学习表示的常规形式,而且构造、完善和使用他们自己的作为帮助学习和做数学的工具的表示,这是重要的。

  计算机与计算器改变了学生用常规表示所能做的,也扩充了学生能够运用的表示集合。例如,学生能够使用绘图工具或解析几何软件转动、翻转、伸展、移动图形;他们能够使用计算机的代数软件进行式子的运算;并且,他们能够用扩展的表格研究复杂的数据组。随着学生学习使用这些新的、多用工具以扩充组织和记录他们的思想的方法、增强他们对数学概念和关系的理解、并促进他们思想的交流,他们也能够考虑在电子技术中不同于常规表示的一些表示的使用方法。例如,对于一个数,科学计算器采用科学记数法表示,不同于教材通常采用的表示。一个符号演算器经常改变代数式的次序或形式。这些技术工具提供给学生和教师许多与数学表示相关的新的成果。

  发展数学表示所需的能有意义地、灵活地、适当地使用的全部技能;

  在数学的目的和表示它们的形式中间,存在复杂的关系。同样的目的或关系常常可以用不同的方式构思或表示,而这些不同的表示可能适合不同的目的。例如,在不同场合,人们可能以不同的方式考虑"48"这个数,像"41081""310181""502""一个3×16的矩形的面积,""一个边长为12的正方形的周长,""100的一半少一点,""72少一点。"这些对48的每一种表示,可能对某些目的非常有用,而对另一些目的则没用。对于学生,能够灵活地穿插在这样的表示中,选取或创造对特殊目的有用的表示形式,是重要的。

  通常,不同的表示阐明了一个复杂的概念或关系的不同侧面。例如,学生经常学习用图块的有形展示或分数线把分数表示成一个圆的扇形、一个矩形的一块或一些其他的数。在说明分数解释为整体的一部分时,这种表示形式是有用的。这种表示形式促进学生对分数相等的理解,也能帮助学生认识分数加法的意义,尤其在分数有相同分母或其和小于1时。这种表示形式还不能说明分数的其他解释,像比,表示除法或作为节拍的分数。这种表示形式既不支持对异分母分数加法的理解,也不支持对其和大于1的分数加法的理解。类似地,分数的其他普通表示,像数轴上的点或在一个集合中的离散元素的比,能说明复杂的分数概念的一部分,而不是全部。因此,为了牢固掌握关于分数和学校数学中许多其他概念,学生需要有助于他们的理解的各种表示。

  数学的一个重要方面是它的抽象性?通过分析,符号的使用摈弃了问题中不必要的部分,而"单纯的符号"能够容易地实施运算?的应用。然而,认识到特殊的对象有特殊的表示,这就能提供大量关于对象自身的信息。在许多情况下,这个事实产生于数学应用和建模起作用之后。例如,一个问题可以依照现实世界的来龙去脉进行表述,这引出:

  从在海上夜航的一艘船上,船长能够看见三个灯塔,并且能够测出它们之间的角度。如果船长从地图上知道了灯塔的位置,船长能确定船的位置吗?

  当把这个问题转换成数学表示时,船上,船和灯塔就变成平面中的点,并且这个问题可以得到解决,而不必知道它是关于船的。来自不同情景的许多其他问题可以有类似的表示。问题一经用某种形式表示,对应那种数学形式的基本求解方法就可以解出这个问题。例如,在数学建模问题中,如果某种现象被模型化得到一个二次函数,学生应该知道存在一个能被分析确定的临界值,函数图象是对称的,等等。

  当学生学习数学的时候,普通的基本表示对帮助他们建立联系也是有用的。如果学生能把乘积表示为其面积由面积分别为acadbc,和bd的小矩形组合成的矩形,那就得到了他们所学的代数式的乘积(如(x+h)2=x2+2xh+h2)与他们以前所学的两位数的乘积(如15×27=10×20)+(10×7)+(5×20)+(5×7))的联系。以这种方式,表示使学生能把数学课程中看起来不大相关的课题联系起来。

  现代技术工具为学生掌握大量不同的涉及运用多种表示的经验提供机会。例如,一些软件包允许学生同时观察一个函数的不同表示。例如,一个函数能以表格的、图象的、及方程的形式被表示。这样的软件允许学生查看一种表示会怎样变化,例如,当改变方程ax2+bx+c=0的参数时,同时影响其他的表示。类似地,解析几何软件允许学生同时考虑几何的、计算的、及符号的表示。

  在学前?12年级期间,学生会遇到多种涉及许多数学概念和关系的表示。当学生扩充他们的表示的总量时,就他们运用这些表示以发展对为不同目的的多种表示的相对优劣性的理解进行反思,对学生而言是重要的。例如,学生学习用来表示统计资料的不同表示形式,他们的学习包括有机会考虑资料与问题的类型,以确定可能用圆型图比直线型图更合适,或用框、线图代替直方图,这是重要的。

  运用表示对物理、社会、和数学的现象进行建模与解释。

  "模型"这个词有许多不同的含义。因此,在有关数学教育的讨论中,以许多不同的方式使用这个词是不足为奇的。例如,"模型"作为手工模型用于涉及学生在学校用物理教材的工作中。当教师为他的学生"模型化"解题过程时,这个词也用于举例或打比方上。而另一个用法是把这个词看作与表示大致同义的。在这一系列的用法和意义中,还有一个是专对数学的,并且,它是关于学校数学中表示的作用的这部分讨论的主要焦点。在这里,"数学模型"这个词意思是在对一个复杂的现象作理想化描述中的成分和关系的一种数学表示。数学模型能用来阐明对某种现象的理解,能用来解决问题。从这个意义上说,"做模型"的意思不但包括表示,而且包括在表示上所做的,以及对在数学模型中所作所为的意思和对被模型化现象的考虑的解释。

  许多学生参与的符号化和分析活动都是用符号刻划情景的模型的简化形式,然后,由分析得到有关情景的信息。例如,考虑一个典型的最优化问题,问题要学生确定使杂志产生最大利润的价格,已知杂志价格每提高一次,购买人数就会减少。要解这样的问题,学生可以确定一个关于利润的方程,其中利润是杂志售价的函数,然后运用图形或分析技术确定最优价格。尽管课堂描述这样的事件往往会明显地简化,这个工作仍可获得建模过程的概况。

  有一些使模型为认识现实世界的现象提供分析结构的活动。一个例子是建立一个交通流量的模型。一个被考察的普通问题的例子可以是,"为了让适当数量的汽车通过交叉路口,绿灯应该持续多长时间?"学生能够搜集数据,反映第一辆汽车通过所需时间(取平均值)、第二辆汽车、等等。他们能够用统计的方式表示这些数据,或者,他们能够构造解析函数以处理抽象问题,考虑一辆汽车开动前的等候时间,一辆汽车从启动到标准速度所需的时间,等等。这类分析考虑了交通流量的模拟,能够用之决定交通灯应该持续绿灯的时间。

  现代技术工具使学生能够解释重现许多更高级的课程中研究的情景的模型。例如,对于912年级的学生,现在可以模拟食肉类动物和被食动物的关系。最初建立的可能是,一个动物聚居地,有许多狼和兔子,后者是狼的基本食物来源。如果狼被喂养得好,它们就繁殖得多(并且更多的狼吃更多的兔子);如果狼挨饿,它们就会死去。如果狼短缺,兔子就会容易地增殖,而如果狼的数量增大,兔子就会迅速减少。运用不同方程的模拟软件允许学生输入初始条件和变化规则,然后分析、观察系统的结果。

  

  图38建模过程概览

  图38中从左下到左上(表示模型化过程),通过上边(表示数学分析)再到右下(表示对结果的解释)的一个"巡回"给出了关于情景被模型化的过程。上文中描绘的三个例子以这个方式在这里给出。不过,要注意过程的每一步都有可能存在问题。右部分是由分析得出的吗?数学模型导出了右边的关系吗?对模型的处理恰当吗?解释有意义吗?与原始情景对照结论站得住脚吗?进行建模的学生必须记住所有这些问题。

  总之,表示是表达数学思想的工具。作为理解观念和关系的一种方式,个人常常建立他自己特有的表示。社会则提供集思广益的常规数学表示,这些表示在问题解决和交流中发挥着巨大作用。在课堂上我们的一项主要任务是把这两者结合起来,使学生能有效地了解这些强有力的社会工具。

    
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